T - FER

4. REGULACIJA BRZINE VRTNJE I POLOŽAJA ELEKTROMOTORNOGPOGONA S ELASTIČNIM PRIJENOSNIM MEHANIZMOM• Primjena PI regulatora brzine podešenog prema simetričnom optimumu daje slaboprigušene odzive elektromotornog pogona s elastičnim prijenosnim mehanizmom.• Stoga je važno istražiti mogućnost prigušenja odziva pogona uz zadržavanjejednostavnog i široko primjenjivanog PI regulatora.• U slučaju da za PI regulator brzine vrtnje ne može dati dobro prigušen odziv, potrebnoje primijeniti složenije strukture regulatora:- regulatora stanja,- polinomskog regulatora.• Kada se postigne dobro prigušen (kvaziaperiodski) odziv regulacijskog kruga brzinevrtnje, tada je postupak optimiranja nadređenog regulacijskog kruga položaja jednakkao kod pogona s krutim prijenosnim mehanizmom.Copyright: Nedjeljko Perić1

4.1. Regulacija brzine vrtnje uz primjenu PI regulatora i regulatora stanja• PI regulator brzine vrtnje može se proširiti dodatnim stabilizirajućim povratnim vezamapo različitim stanjima mehaničkog sustava• Uvođenjem samo jedne dodatne povratne veze:- po prijenosnom momentu m,- razlici brzina vrtnje motora i tereta ∆ω,• dobiju se regulatori stanja reduciranog reda: PIm, odnosno PI∆ω regulator.• Uvođenjem dviju dodatnih povratnih veza po brzini vrtnje tereta ω 2 i kutu uvijanja ∆αdobije se regulator stanja punog reda.• Nedostatak uvođenja dodatnih povratnih - ugradnja dodatnih senzora.• To se može izbjeći realizacijom djelomičnog ili potpunog estimatora stanja .Copyright: Nedjeljko Perić2

• Nadalje se provodi analitički postupak optimiranja i usporedne algebarske isimulacijske analize regulacijskog sustava za četiri spomenuta tipa regulatora za širokiraspon dvaju karakterističnih odnosa parametara procesa:- odnosa frekvencija r T=Ω EM 0 Σ,- odnosa momenata inercija r T / T .M=M 2 M1• Primjenjuje se kvazikontinuirani postupak optimiranja prema optimumu dvostrukogodnosa.• Pretpostavlja se mjerljivost svih korištenih varijabli stanja mehaničkog sustava.• Zahvaljujući načelu razlučivanja (engl. separation principle), rezultati optimiranjavrijede i u slučaju primjene estimatora stanja punog reda.• Razmatraju se i sljedeći praktički aspekti sinteze regulacijskog sustava:- utjecaj izbora vremena uzorkovanja na stabilnost i kvalitetu vladanja sustava,- robusnost sustava s obzirom na pogreške modeliranja zatvorenog regulacijskogkruga struje i zasićenje regulatora.Copyright: Nedjeljko Perić3

Struktura regulacijskog krugaGE () sGei () sαω R () zT z m1 Rd () z( Kω1+Kω2)1− e− Ts m1 R()s 1 m1( s) Model2 () s++mehaničkog−TIz − 1 −sTs ei + 1α 1 () ssustavaω 2m () zGmω () zT zα 1m () z T+ ω 1m () zB − 1K ω1+T z+ ∆α m () z+K ∆α+−K ω 2Gmω () zω 2m () zα 2m () z TTB z − 1T za)RegulatorProcesCopyright: Nedjeljko PerićGΣ () sK ω 2ω R () s + Kω1+ Kω2+ m1 R()s 1−Ts I −Ts Σ + 1ω 2 () s++K ω1++b)m s 1( ) Modelmehaničkogsustavaω 1 () s∆α( s)K ∆αω 2 () sSl. 4.1.ω 2 () s4

• Struktura digitalnog regulacijskog kruga brzine vrtnje s regulatorom stanja punog redaopisana je blokovskom shemom na slici 4.1.a).• Diskretni regulacijski krug sa slike 4.1.a) nadomješta se u svrhu kvazikontinuiranesinteze s pojednostavljenim kontinuiranim regulacijskim krugom prikazanim na slici4.1.b).• Pritom se serijski spoj idealnog impulsnog elementa i ekstrapolatora nultog reda G E (s),te digitalni mjerni član brzine vrtnje G mω (z) nadomješta kontinuiranim PT 1 članomGΣ1()= s1 + TsΣ(4-1)s vremenskom konstantom:T TTΣ = + Tei+ = Tei+ T2 2gdje je T ei nadomjesna vremenska konstanta podređenog regulacijskog kruga struje.•Copyright: Nedjeljko Perić5

Na mjesto regulatora u regulacijskom sustavu (Sl. 4.1) mogu se ugraditi različiti tipoviregulatora prikazani nadomjesnim kontinuiranim shemama:ω Rω 1+−ω 1KTs−K ω1m 1R+ + +Kω1Ts Im 1R−−ω 1+K mm+K ω1Iω1 ω Rω 1a)b)c)ω R + Kω1+ m 1Rω R + Kω1+Kω2+ m 1R− Ts I −− Ts I −ω 1+K∆ω ω 2+∆ωK ∆α+++K ω1K ω1+ω 1 d)K ω 2ω 2∆αω 1a) PI, b) PIm, c) PI∆ω, d) regulator stanja punog reda.Copyright: Nedjeljko PerićSl. 4.2.6

Optimiranje regulacijskog kruga• Prijenosna funkcija zatvorenog regulacijskog kruga:Gcl( s)ω () s B() s 2ζΩ s+1= = =ω () s A() s a s + a s + a s + a s + a s+1−12 2 025 4 3 2R5 4 3 2 1(4-2)• Izrazi za koeficijente a 2 i a 3 karakterističnog polinoma A(s) dani su u tablici:RegulatorPIPImPI∆ωRegulatorstanjaCopyright: Nedjeljko PerićKoeficijenti a 2 i a 3 karakterističnog polinoma A(s)11 2a2 = K − 1TT I M+ 22T− I 02+−ω Σζ Ω Ω02112a3 = K − 1TT I MT + 2− 0+ T−ω Σ( ΣζΩ )IΩ02111a2 = Kω1TT I MΣ + Kω1KmTT I M2 + 2ζ2TIΩ02+ Ω− − − − 202− − − − − 20211 11a3 = Kω1TT I MΣ( TΣ + 2ζΩ0) + Kω1KmTT I M22ζ2Ω02+ TIΩ11 2a2 = K − 1TT I M+ 22T− I 02+−ω Σζ Ω Ω0211 12a = K TT ( T + 2ζΩ ) + K K TΩ + TΩ− − − − − 23 ω1I MΣ Σ 0 ω1∆ωI 02 I 02111 1 22= (1+ 2 I M+ 22 I 02+1+ω ω )Σζ Ω ( ω ω2)∆αI BΩ02− − − − 21 02a K K TT T K K K TT111a3 = ( Kω1+ Kω2) TTI MΣ( TΣ + 2ζΩ0) + ( Kω1+Kω2)KωTIΩTab. 4.1.7

dok za ostale koeficijente a 1 , a 4 i a 5 vrijede sljedeći izrazi neovisni o tipu regulatora:a−11= T I+2ζ 2Ω 02(4-3)11 2a = K − TT ( 2ζΩ− T + Ω− )4r I MΣ0Σ0(4-4)1a K TT T5= − Ω −2r I MΣ Σ 0(4-5)gdje je "pojačanje regulatora" K r određeno kao:Kr=RSωTKK1, za PI, PImi PI∆ωregulator+ K , za regulator stanja punog redaω1 ω2(4-6)• Karakteristični polinom u prijenosnoj funkciji zatvorenog kruga, reda n = 5, može sezapisati u obliku karakterističnom za optimum dvostrukog odnosa:Copyright: Nedjeljko Perić8

2 3 4 5 5 2 3 4 4 2 3 3 2 2As ()= DDDDTs + DDDTs + DDTs + DTs + Ts+15 432e 4 3 2 e 3 2 e 2 e e(4-7)• Izjednačenjem nižih (dominantnih) koeficijenata a 1,…,a l+1(l - broj parametararegulatora) prijenosne funkcije zatvorenog kruga (4-2) s odgovarajućim koeficijentimakarakterističnog polinoma dvostrukog odnosa dobiju se:- izrazi za l −1 pojačanja različitih tipova regulatora (Tab. 4.2.),- jednadžbe za računanje nadomjesne vremenske konstante zatvorenogregulacijskog kruga T e (Tab. 4.3.),- zajednički izraz za integralnu vremensku konstantu T I svih regulatora:TI−1= T −2ζ 2Ω 02e(4-8)• Optimalni parametri regulatora računaju se uvrštenjem optimalnog iznosa 0,5dominantnih karakterističnih odnosaD2= = D l + 1= 05... , .Copyright: Nedjeljko Perić9

• Neovisno o tipu regulatora dobiju se sljedeći izrazi za nedominantne karakterističneodnose:D4=1 TMΣTI( 1+2ζTΩ Σ 0)2 3 4 2K DDTΩr32e0(4-9)1 TMT TID5= = KK2 3 4 5 2DDDTΩr42 3 2DDTT3 2 eΩ0T T ( 1+2ζTΩ )Σ Σ Σr3 2 e 0 MΣIΣ02(4-10)• Veza između nadomjesnih vremenskih konstanti T e i T Σ dana je kao (slijedi iz (4-9) i(4-10)):Te=TΣDDDD5 4 3 2( 1+2ζTΣΩ0)(4-11)• Postupak optimiranja regulacijskog kruga brzine vrtnje razrađuje se nadaljepojedinačno za svaki tip regulatora.Copyright: Nedjeljko Perić10

• Postupak se pojednostavljuje polazeći od realne pretpostavke, prema kojoj sezanemaruju relativni koeficijenti prigušenja mehaničkog sustava ζ, ζ 1 i ζ 2.K ω1DT22eIzrazi za pojačanja PI regulatora i različitih tipova regulatora stanja.Ω202PI2TTI MΣΩ02−2ζ( TΩ−2ζ) −12 e 02 2PImTITMΣ( 1+ 2ζTΣΩ0)2 3 4 2DDDTΩ4 32e0K m -2 2 −12DT2 eΩ02−Kω1TMΣTIΩ02−2ζ2( TeΩ02 −2ζ2)−1−12K T TΩω1M2 I 02PI∆ωRegulator stanja punog redaTTK ΩFI22I MΣ 02TMΣΩHG021+2ζTΣΩ0ω12 2−TΣΩ0−2ζKJDT2 eΩ02−2ζ2( TeΩ02 −2ζ2)−1Ω0DDDT4 3 2 eΩ02 2−12DT2 eΩ02− ( Kω1+ Kω2) TM ΣTIΩ02−2ζ2( TeΩ02 −2ζ2)K ∆α -−1 −1( Kω1+Kω2)TBTIK2 3 3 −13∆ω DDT3 2 eΩΩ0 02− Kω1TMΣTIΩ02( TΣΩ0 + 2ζ) −Ω0( TeΩ02 −2ζ2) TTI MΣ( 1+2ζTΩ Σ 0)K −12 3 4 2ω 2K TΩΩDDDTΩω1I0 024 32e0−Copyright: Nedjeljko Perić Tab. 4.2.11

Jednadžbe za računanje nadomjesne vremenske konstante T e zatvorenog regulacijskogkruga brzine vrtnje uz primjenu PI regulatora i različitih tipova regulatora stanja.PIPIm2 3 33 22DDΩΩ T − D( TΩ + 2ζ) Ω T − ΩΩ − 2ζ ( 2ς+ TΩ)Ω T −3 20 02e 2 Σ 0 02 e 0 02 2 Σ 0 02 e−( 4ζ 2 − 1)( T ΣΩ0 + 2ζ ) Ω02 + 2ζ2Ω0= 02 3 2−1 4 2 3 32 2DDD4 3 2ΩΩ 0 02( TΣΩΩ0 02+ 2ζΩ02 − 2ζ 2Ω0)( 1+ 2ζTΣΩ0)Te − DD3 2Ω02Te + 2D2ζ2Ω02Te+22+ ( 1− 4ζ 2) Ω02T e+ 4ζ 2( 2ζ2− 1)= 02 3 2 2−1 4 2 22PI∆ω DDDΩΩ ( 1+ 2ζT Ω)T − DΩ T + 2ζ Ω T+ 1− 4ζ= 04 32002Reg.stanja T = TΣeDDDD5 4 3 2( 1+2ζTΣΩ0)Tab. 4.3.Σ0e 2 02 e 2 02 e2Copyright: Nedjeljko Perić12

PI regulator• Uz ζ=ζ 1 =ζ 2 =0 te uvrštenjem optimalnog iznosa dominantnih karakterističnih odnosaD2 = D3 = 05 , , izraz za računanje nadomjesne vremenske konstante T e (Tab. 4.3.)prelazi u:3 2 −2−2PT ( ) = T −4TT − 8Ω T+ 8ΩT = 0e e Σ e 02 e02Σ(4-12)• Pokazuje se da je jedno od rješenja kubne jednadžbe približno jednako T Σ , što jenerealno mala vrijednost nadomjesne vremenske konstante T e .• Stoga se polinom P(T e ) dijeli s TTe − Σ, što daje kvadratnu jednadžbu:2 2 −2PT ( )/( T−T) ≈T −3TT− ( 3T+ 8 ) = 0e e Σ e Σ e ΣΩ02(4-13)sa sljedećim fizikalno prihvatljivim rješenjem:T ≈ 3eT + 21 2T + −Σ Σ8Ω2 4202(4-14)Copyright: Nedjeljko Perić13

• Nadomjesna vremenska konstanta T e , određena prema (4-14), mijenja se u funkcijiparametara procesa T Σ i Ω 02 između sljedeće dvije krajnje vrijednosti (Sl. 4.3a)):- "meka veza", T Ω < r = T Ω > 1, r EM>> 1:T 38 T ≈4Te =, Σ Σ(4-16)• U slučaju "meke veze" vrijeme odziva ovisi samo o vlastitoj frekvenciji tereta Ω 02 , tj.raste s povećanjem odnosa inercija r M .• U slučaju "krute veze" dobije se rezultat u skladu sa simetričnim optimumom, kaospecijalnim slučajem optimuma dvostrukog odnosa.Copyright: Nedjeljko Perić14

a)b)10010.25100.0010.0010.25101.000.1010.1 1.0 10.00.010.1 1.0 10.01.21.00.810.25c)10.0Podrucje dobroprigušenog odziva00.050.10d)0.60.41.00.20.00.1 1.0 10.00.10.1 1.0 10.0Rezultati analize optimiranog regulacijskog kruga brzine vrtnje s PI regulatorom.Copyright: Nedjeljko PerićSl. 4.3.15

• Među dva pogona s jednakom nadomjesnom vremenskom konstantom procesa T Σ = T ei+ T brži odziv (manji T e ) ima pogon s krućim prijenosnim mehanizmom, tj. s većomvlastitom frekvencijom mehaničkog sustava Ω 0 (Sl. 4.3.a).• Nepovoljan, slabo prigušen odziv dobije se u području malih odnosa inercija (približnor M< 1), kao posljedica velikih iznosa karakterističnog odnosa D4 > D4max = 07 ,(Sl. 4.3.b).• Odziv je, također, slabo prigušen za slučajeve "srednje-krute" i "krute veze" (r EM≥ 1),kao posljedica velikih iznosa faktora ∆ = DD > ∆ ( D) < , (Sl. 4.3.c).4 5 max 5065• U tim slučajevima oscilacije odziva imaju relativno visoku frekvenciju i maluamplitudu (vidi simulacijske rezultate).• Tako, visokofrekvencijske oscilacije praktički iščezavaju u slučajevima "krute veze"(približno uz r EM> 3) (Sl. 4.3.d).Copyright: Nedjeljko Perić16

PIm regulator• Uz ζ = ζ 1 = ζ 2 = 0 i uvrštenjem optimalnog iznosa dominantnih karakterističnih odnosaD2 = D3 = 05 , , jednadžba za računanje nadomjesne vremenske konstante T e (Tab. 4.3.)prelazi u:1322 2 3 1 2 2D4ΩΩ0 02TΣ Te− Ω02Te+ 1=08(4-17)• Analiza kubne jednadžbe pokazuje da je jedno od rješenja uvijek negativno, dok jemeđu ostala dva rješenja fizikalno prihvatljivo ono nižeg iznosa:T e=ϕ + π2ρcos( ) + ρ3(4-18)gdje je:ϕ =FHGarccos 27 2 2DT4 ΣΩ24Ω0240IKJ−1(4-19)Copyright: Nedjeljko Perić17

ρ =43 4 02DT ΣΩ(4-20)• Rješenje je realno, ako je :D2 2Ω022 2≤ Dmax= =23 3TΣΩ03 3rEM1+r4 4M(4-21)• Uz optimalan iznos 0,5 karakterističnog odnosa D 4 i relativno velike iznose odnosa r M ir EM dobila bi se kompleksna rješenja za nadomjesnu vremensku kosntantu T e .• Ovo se može izbjeći smanjenjem karakterističnog odnosa D 4 , i to upravo na graničniiznos D 4max da bi se dobio najbrži odziv regulacijskog kruga (najmanji T e ).• Karakteristični odnos D 4 računa se prema:D= min( 05 , ; D )4 4max(4-22)Copyright: Nedjeljko Perić18

PI∆ω regulator• Uz ζ=ζ 1 =ζ 2 =0 i uvrštenjem optimalnog iznosa dominantnih karakterističnih odnosaD2 = D3 = 05 , , jednadžba za računanje nadomjesne vremenske konstante T e (Tab. 4.3.),prelazi u:1322 2 4 1 2 2D4ΩΩ0 02Te− Ω02Te+ 1=02(4-23)• Fizikalno prihvatljivo (realno) rješenje bikvadratne jednadžbe (4-23) je:Te=1+ 1− 05 , D ( 1+r )424 01/ 8⋅D ΩM(4-24)uz zadovoljenje uvjetaD2≤ Dmax=1 +4 4r M(4-25)Copyright: Nedjeljko Perić19

Regulator stanja punog reda• Uvrštenjem optimalnog iznosa dominantnih karakterističnih odnosa D2 = D3 = 05 , ,izraz za nadomjesnu vremensku konstantu T e , prelazi u:TT = 4ΣeDD5 4( 1+2ζTΣΩ0)(4-26)• Budući da regulator ima 4 slobodna parametra, osim dominantnih karakterističnihodnosa D 2 i D 3 mogu se i nedominantni odnosi D 4 i D 5 postaviti na proizvoljne iznose.• Uz optimalan izbor nedominantnih karakterističnih odnosa Dzanemarenje relativnog koeficijenta prigušenja dobije se:= D = , i uz4 505T = 16 eTΣ(4-27)• Nadomjesna vremenska konstanta T e ≠ f(Ω 0 )Copyright: Nedjeljko Perić20

• Vrijeme odziva regulacijskog kruga za slučaj "izrazito meke veze"(≈r = Ω EMT < 0025 , ) manje u usporedbi sa sustavima s PI, PIm, ili PI∆ω regulatorom.Σ• Naprotiv, za slučajeve "srednje-krute" i "krute veze" (r EM> 1), vrijeme odziva bilo biznatno veće i kompenzacija poremećaja znatno lošija nego uz primjenu regulatorareduciranog reda.0.350.300.250.200.150.100.05modifikacija( )0.000.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0Sl. 4.4. Odzivi regulacijskog kruga brzine vrtnje na skok referentneveličine, optimiranog uz različiti izbor odnosa D 4 i D 5 (r EM = r M = 1).Copyright: Nedjeljko Perić21

Rezultati simulacije• Vladanje optimiranog regulacijskog kruga brzine vrtnje ispituje se simulacijom naračunalu.• Ispitni signali su skokovita promjena referentne veličine ω R i skokovita promjenaporemećajne veličine - momenta tereta m 2 (udarno opterećenje).• Vrijeme uzorkovanja T postavlja se na T = 1/( 5Ω) = 20ms.• Uz tako nizak iznos vremena uzorkovanja zanemarive su razlike u vladanju stvarnogdiskretnog i optimiranog nadomjesnog kontinuiranog regulacijskog kruga.• Prikazuju se usporedni odzivi za različite tipove regulatora.Copyright: Nedjeljko Perić22

"Meka veza", r EM = 0.31 0.2 50.080.060.040.020.00PI regulator0.060.040.020.00PIm regulator0.060.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6PI ∆ω regulator0.060.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6Regulator stanja punog reda0.040.040.020.020.000.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60.000.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6Sl. 4.5.Copyright: Nedjeljko Perić23

"Srednje kruta veza", r EM = 11 0.2 50.080.060.040.020.00PI regulator0.150.100.050.00PIm regulator30.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.06PI ∆ω regulator0.06Regulator stanja punog reda0.040.040.020.020.000.000.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9Sl. 4.6.Copyright: Nedjeljko Perić24

0.05 0.025 0PI regulatorPIm regulator0.060.060.040.040.020.020.000.060.040.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5PI∆ω regulator0.000.060.040.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5Regulator stanja punog reda0.020.020.000.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.50.000.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5Sl. 4.7. Usporedni odzivi optimiranog regulacijskog kruga brzine vrtnje s PI regulatorom irazličitim tipovima regulatora stanja za slučaj "krute veze" (r EM = 3) i različite iznoserelativnog koeficijenta prigušenja mehaničkog sustava ζ (r M = 1).Copyright: Nedjeljko Perić25

PI regulator• U slučaju "meke veze", PI regulator osigurava povoljan, dobro prigušen odzivregulacijskog kruga samo za odnose inercija r M≥ 1.• Vrijeme odziva raste, a propad brzine vrtnje uslijed udarnog opterećenja pada spovećanjem odnosa inercija r M .• Kvalitativno slično vladanje regulacijskog kruga dobije se i za slučaj "srednje kruteveze" - relativno male oscilacije odziva uočljive i uz odnos inercija r M= 1.• Oscilacije su izraženije u odzivu na udarno opterećenje.• Ovaj se učinak javlja kao posljedica derivacijskog djelovanja nula prijenosne funkcije sobzirom na moment tereta.• Oscilacije odziva na udarno opterećenje pojavljuju se i kod pogona s "krutom vezom".• Amplituda ovih oscilacija veća je i prigušenje slabije uz niže iznose relativnogkoeficijenta prigušenja mehaničkog sustava ζ.Copyright: Nedjeljko Perić26

PIm regulator• Prednost uvođenja dodatne povratne veze po prijenosnom momentu m dolazi doizražaja kod pogona s malim odnosom inercija r M< 1.• Tako se u slučaju "meke veze" potpuno prigušuju oscilacije odziva karakteristične zaregulacijski krug s PI regulatorom.• Kod "srednje-krute veze" dolazi do značajnog prigušenja oscilacija odziva u odnosu nasustav s PI regulatorom.• No, pritom se javlja negativni učinak velikog prebačaja brzine vrtnje tereta ω 2 u odzivuna udarno opterećenje.• Bolje prigušenje visokofrekvencijskih oscilacija odziva na udarno opterećenje pogona s"krutom vezom".• Uz ζ ≈ 0 usporava se odziv regulacijskog kruga s PIm regulatorom – izbjegnute suoscilacije karakteristične za PI regulator.Copyright: Nedjeljko Perić27

PI∆ω regulator• PI∆ω regulator ima nekoliko bitnih prednosti u odnosu na PIm regulator:- odziv je dobro prigušen u cijeloj (r M , r EM )-ravnini,- nema izraženog prebačaja brzine vrtnje u odzivu na udarno opterećenje pogona sa"srednje-krutom vezom",- vrijeme odziva pogona s velikim odnosom inercija r M>> 1 je manje.• Nedostaci PI∆ω regulatora su:- veći propad brzine vrtnje tereta ω 2 u odzivu na udarno opterećenje pogona s"krutom vezom" i vrlo slabo prigušenim mehaničkim sustavom,- sporiji odziv pogona s malim odnosom inercija..Copyright: Nedjeljko Perić28

Regulator stanja punog reda• Usporedni odzivi pokazuju da regulator stanja punog reda objedinjuje sva dobrasvojstva regulatora nižeg reda.• K tome, ovaj regulator postiže brže odzive i bolju kompenzaciju poremećaja za slučaj"izrazito meke veze" uz D 505 = , .• Posljedica je izraženo forsiranje referentne veličine momenta motora m 1R i povećanjemvršne vrijednosti kuta uvijanja prijenosnog mehanizma ∆α ≈ m/ c.• Proizvoljnim smanjenjem karakterističnog odnosa D5 = D5 > D min 5ispod optimalnevrijednosti 0,5 smanjuje se regulacijsko forsiranje pod cijenu usporenja odziva.• Isto se tako u slučaju "meke veze" povećanjem odnosa D5 = D5 > D min 5iznad optimalnevrijednosti 0,5 može smanjiti vrijeme odziva uz popratno povećanje regulacijskogforsiranja.Copyright: Nedjeljko Perić29

Utjecaj izbora vremena uzorkovanja na stabilnost regulacijskog sustava• U prethodnom razmatranju izabrana je relativno mala vrijednost vremena uzorkovanja.• S praktičnog je stanovišta važno analizirati do koje se granice može povećavati vrijemeuzorkovanja, a da se značajno ne naruši stabilnost regulacijskog kruga.• Analiza se provodi za PI regulator i regulator stanja punog reda.• Izbor vremena uzorkovanja T povezan je s recipročnom vrijednošću vlastite frekvencijemehaničkog sustava Ω 0 (3-43).• Stoga je pogodno uvesti bezdimenzionalni faktor uzorkovanja.Ks =Ω 0T(4-28)koji će se mijenjati od iznosa 0,2 do 1.Copyright: Nedjeljko Perić30

• Povećanjem vremena uzorkovanja raste nadomjesna vremenska konstanta T Σ , i omjerfrekvencijar = Ω T = Ω ( T + T)= Ω T + KEM 0 Σ 0 ei 0 ei s(4-29)• Najmanja moguća vrijednost omjera frekvencija r EM dobije se uz T ei→ 0:r = Ω EM minT = 0Ks(4-30)Copyright: Nedjeljko Perić31

PI regulator• Prijenosna funkcija zatvorenog diskretnog regulacijskog kruga jeGz ()ωm()z Bz ()= = =ω () z Az ()1 ω1R−1K T TzBI() z−1( z− 1) A () z + K ( 1+ T T) z−1B () zp ω1I pp(4-31)• A p (z) i B p (z) su polinomi u nazivniku i brojniku prijenosne funkcije procesaGp() zω z B zm()p()1= = = Gmω() z ⋅GEGeiG11Gαω()zm () z A () z1Rdp(4-32)• Zatvoreni diskretni regulacijski krug brzine vrtnje je stabilan ako se svi poloviprijenosne funkcije (4-31) nalaze unutar jedinične kružnice kompleksne z-ravnine.• Numeričkim ispitivanjem ovog uvjeta za različite faktore uzorkovanja 02 , ≤ K s≤1,odnose inercija 01 , ≤r M≤10i odnose frekvencija r ≤ EM minr ≤10 dobivene su u (r EMM,r EM )-ravnini granične krivulje stabilnosti diskretnog regulacijskog kruga (Sl. 4.8.)Copyright: Nedjeljko Perić32

• Iz prikazanih odziva i graničnih krivulja stabilnosti mogu se uočiti dva negativnaučinka povećanja vremena (faktora) uzorkovanja:1. Proširenje područja nestabilnosti u (r M , r EM )-ravnini. Povećanjem faktorauzorkovanja K s proširuje se područje nestabilnosti prema nižim iznosima odnosainercija r M .2. Usporenje odziva regulacijskog kruga. Povećanjem faktora uzorkovanja povećavase i odnos frekvencija r EM , odnosno T Σ .10.0Podrucjenestabilnostia)0.060.050.2 0.5 0.75 1b)1.010.8 0.6 0.5 0.40.040.030.020.10.1 1.0 10.00.010.000.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6Sl. 4.8. a) granične krivulje stabilnosti i b) odzivi regulacijskog kruga (r M = 1).Copyright: Nedjeljko Perić33

Regulator stanja punog reda• Prijenosna funkcija diskretnog regulacijskog kruga brzine vrtnje s regulatorom stanjapunog reda (Sl. 4.1.a) je:Gz ()ω2 m()z B()z= = =ω () z Az ()R−1( K + K ) T TzB ( z)ω1 ω2I pω2−1A () z + K B () z + K B () z + K B ()( z z− 1) + ( K + K ) T TzB () zp ω1 pω1 ω2 pω2 ∆α p∆α ω1 ω2I pω2gdje je:- A p (z) polinom u nazivniku,- B pω1 (z), B pω2 (z) i B p∆α (z) polinomi u brojniku sljedećih prijenosnih funkcija:(4-33)Gpω1() zω z B z1m()pω1()= = = Gmω() z ⋅ GEGeiG11Gαω()zm () z A () z1Rdp(4-34)Copyright: Nedjeljko Perić34

Gpω2() zω z B z2m()pω2()= = = Gmω() z⋅GGGGE ei 21 αω()zm () z A () z1Rdp(4-35)Gp∆α() z∆α()z= = GGGE ei ∆α()z =m () z1Rd'Bp∆α()z=Ap()zzz ( −1)• Numeričko ispitivanje pokazuje da je regulacijski krug brzine vrtnje s regulatoromstanja stabilan za sve iznose faktora uzorkovanja K s≤ 1 u cijeloj (r M , r EM )-ravnini.• Izbor vremena uzorkovanja nije kritičan za razliku od sustava s PI regulatorom Sl. 4.9.BpA∆αp() z() z(4-36)Copyright: Nedjeljko Perić35

0.2 0.5 0.75 10.060.050.040.030.020.010.000.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6Sl. 4.9.Copyright: Nedjeljko Perić36

Robusnost regulacijskog sustava s obzirom na pogreške modeliranja dinamikezatvorenog regulacijskog kruga struje• Podređeni zatvoreni regulacijski krug struje (momenta) uobičajeno se opisuje PT 1članom s vremenskom konstantom T ei .• Stvarni model zatvorenog regulacijskog kruga je višeg reda.• Stoga je potrebno ispitati robusnost optimiranog regulacijskog kruga brzine vrtnje sobzirom na pogreške modeliranja regulacijskog kruga struje.• Ispitivanje se provodi polazeći od točnijeg opisa zatvorenog regulacijskog kruga strujeopćim PT 1 modelom:Gei() sis () m1() s 1= = =2 2i () s m () s D T s + T s+1R 1R 2i ei ei(4-37)• Podešenje regulacijskog kruga struje prema tehničkom optimumu daje D 2i= 05 , .• Uz D 2i≤ 05 , dobije se (kvazi)aperiodski odziv regulacijskog kruga struje, te sepojednostavljenje PT 2 člana s PT 1 članom smatra opravdanim.Copyright: Nedjeljko Perić37

PI regulator• Za različite iznose karakterističnog odnosa D 2i i faktora uzorkovanja K s određene sugranične krivulje stabilnosti.• Uz veću pogrešku modeliranja regulacijskog kruga struje, područje nestabilnostiregulacijskog kruga brzine vrtnje širi se prema nižim iznosima odnosa inercija r M , s timda ostaje u području "srednje-krute veze".Podrucjenestabilnosti10.01.00.50.250Granične krivulje stabilnosti regulacijskogkruga brzine vrtnje s PI regulatorom zarazličite iznose karakterističnog odnosazatvorenog regulacijskog kruga struje D 2i ifaktora uzorkovanja K s = Ω 0 T (ζ = 0,05).0.10.1 1.0 10.0Sl. 4.10.Copyright: Nedjeljko Perić38

Regulator stanja punog reda• Regulacijski krug brzine vrtnje s regulatorom stanja je stabilan:- za sve iznose karakterističnog odnosa D 2i≤ 05 ,- sve iznose faktora uzorkovanja K s≤ 1 u cijeloj (r M , r EM )-ravnini.• Dakle, regulator stanja u usporedbi s PI regulatorom daje povoljnije vladanje sustava.0.10D= DPI5 50.08D= 13 , DPI5 50.080.060.060.040.040.020.020.000.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.40.00-0.020.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4Sl. 4.11. Ilustracija osjetljivosti na izbor vremena uzorkovanja T = K s / Ω 0 i pogreškemodeliranja zatvorenog regulacijskog kruga struje.Copyright: Nedjeljko Perić39

Zasićenje regulatora brzine vrtnje• Kod naglih promjena referentne veličine ω R regulator brzine vrtnje ulazi u zasićenje, tj.izlazna veličina regulatora poprima granični iznos M 1lim .• Za vrijeme zasićenja regulatora, izlazna vrijednost integralnog člana regulatora binekontrolirano rasla.• To dovodi do zakašnjelog izlaska regulatora iz zasićenja, te vrlo velikog nadvišenjabrzine vrtnje (tzv. reset-windup učinak).• Pojava reset-windup učinka izbjegava se tako da se istovremeno s ograničenjem izlazneveličine regulatora ograniči i izlazna veličina integratora.• Učinkovitost prikazanog algoritma ilustrira se na primjeru dugog zaleta pogona(Sl. 4.12).- regulator izlazi iz zasićenja i odziv se smiruje bez naglašenog nadvišenja ioscilacija brzine vrtnje,- za vrijeme zasićenja regulatora, zalet pogona odvija se s konstantnim momentommotora M 1lim , regulacijski krug je faktički otvoren, te do izražaja dolazi slaboprigušeni konjugirano – kompleksni par polova.Copyright: Nedjeljko Perić40

ulazna varijabla ω R, ω 1m , ω 2m , ∆α m ;izlazna varijabla m 1Rd ;konstanta T, K ω1 , K ω2 , K ∆α , T I , M 1lim ;varijabla e, y I = 0, y P ;početak1 e := ω R - ω 2m ;2 y I := y I + (K ω1 + K ω2 )⋅T / T I ⋅ e;3 y P := K ω1 ⋅ω 1m + K ω2 ⋅ω 2m + K ∆α ⋅∆α m ;4 m 1Rd := y I - y P ;5 ako (|m 1Rd | > M 1lim ) tada6 m 1Rd = M 1lim ⋅sgn(m 1Rd );7 y I := m 1Rd + y P ;8 krajkrajLista pseudokoda digitalnog regulatora stanja punog reda suključenim antireset-windup algoritmom resetiranja integratora.Copyright: Nedjeljko Perić41

1.21.00.80.60.40.20.00.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.61.21.00.80.60.40.20.0-0.20.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6Sl. 4.12. Odziv dugog zaleta pogona uz primjenu regulatora stanja punog reda suključenim algoritmom zasićenja integratora (r M = 1; r EM = 0,3).a)b)Copyright: Nedjeljko Perić42