Linearna algebra - Matematika

Dr Branko MaleševićETF - Matematika 2, 2008., 2009.1. VEKTORSKI PROSTORI1.1. Polja skalaraPolazni pojam u definisanju pojma vektorskog prostora je pojam polja F = (F, +, ⋅) kao algebarske strukturesa od ranije poznatom aksiomatikom. Napomenimo da neutralni element za sabiranje označavamo sa 0 F ineutralni element za množenje označavamo sa 1 F . Elemente polja F nazivamo skalarima.Primer 1.1.1. Primeri polja: Z p (p -prost broj), Q, R, C.1.2. Definicija vektorskog prostoraDefinicija 1.2.1 Neka je V neprazan skup čije elemente zovemo vektorima i neka je F = (F, +, ⋅) poljeskalara. Algebarska struktura:V = (V, +, ⋅)naziva se vektorski prostor V nad poljem F ako za binarnu operaciju sabiranja vektora + : V 2 −→ V i spoljnuoperaciju množenja skalara i vektora ⋅ : F × V −→ V važe aksiome:(V 1 )(V, +) jeste Abelova grupa,(V 2 ) α ⋅ (x + y) = α ⋅ x + α ⋅ y za svako α ∈ F i x, y ∈ V ,(V 3 ) (α + F β) ⋅ x = α ⋅ x + β ⋅ x za svako α, β ∈ F i x ∈ V ,(V 4 ) α ⋅ (β ⋅ x) = (α ⋅ F β) ⋅ x za svako α, β ∈ F i x ∈ V ,(V 5 ) 1 F ⋅ x = x za svaki x ∈ V .Drugim rečima, vektorski prostor V možemo odrediti ured - enim parom (V, F) tako da važi:(i) V neprazan skup (njegove elemente zovemo vektorima).(ii) F je polje (njegove elemente zovemo skalarima).(iii) U skupu V je definisana binarna operacija + : V 2 −→ V , koju nazivamo sabiranje vektora, takva davaži aksioma (V 1 ).(iv) Definisana je spoljna operacija ⋅ : F ×V −→ V , koju zovemo množenje vektora skalarom (tj. elementom)polja F za koju važe aksiome (V 2 ) − (V 5 ).Napomena 1.2.1. Uobičajeno je da skalare označavamo malim slovima grčkog alfabeta: α, β, γ, . . . i davektore označavamo malim slovima abecede: a, b, c, . . . . Dalje, α + F β označavaćemo sa α + β, odnosnoα ⋅ F β označavaćemo sa αβ. U daljem razmatranju nulu polja 0 F i jedinicu polja 1 F označavaćemo sa 0 i 1respektivno.Napomena 1.2.2. Neka je V vektorski prostor nad poljem skalara F. Ukoliko je F = R, tada vektorskiprostor nazivamo realnim vektorskim prostorom, dok za F = C nazivamo kompleksnim vektorskim prostorom.1

1.3. Primeri vektorskih prostoraPrimer 1.3.1. Vektorski prostor ured - enih n-torki: F n = (F n , +, ⋅) . . .Primer 1.3.2. Vektorski prostor polinoma stepena ne većeg od n: F n [x] = (F n [x], +, ⋅) . . .Primer 1.3.3. Vektorski prostor funkcija: V = (F F , +, ⋅) . . .Primer 1.3.4. Opšti funkcijski prostor 1 W = (V X , +, ⋅) i specijalni funckijski vektorski prostori neprekidnihfunkcija C[a, b], diferencijabilnih funkcija D[a, b] . . .1.4. Osnovne osobine vektorskih prostoraTeorema 1.4.1. Ako je V = (V, +, ⋅) vektorski prostor nad poljem skalara F, tada za svaki skalar λ ∈ F isvaki vektor a ∈ V važi:1 o . λ ⋅ 0 = 0,2 o . 0 ⋅ a = 0,3 o . λ ⋅ a = 0 =⇒ λ = 0 ∨ a = 0.Dokaz. . . . .Teorema 1.4.2. Ako je V = (V, +, ⋅) vektorski prostor nad poljem skalara F, tada za svaki vektor a ∈ Vvaži:4 o . −a = (−1) ⋅ a.Dokaz. . . . .1.5. Vektorski potprostoriDefinicija 1.5.1. Neka je V = (V, +, ⋅) vektorski prostor nad poljem skalara F. Tada podskup W ⊆ Vodred - uje vektorski potprostor W vektorskog prostora V ako važi:1 o . W ∕= ∅.2 o . Za skup W restrikcije operacija + = + ∣ W: W 2 −→ W i ⋅ = ⋅ ∣ W: F × W −→ W odred - uju vektorskiprostor W = (W, +, ⋅).Drugim rečima, skup W ⊆ V (W ∕= ∅), za vektorski prostor V = (V, F), odred - uje vektorski potprostorW vektorskog prostora V ako je W = (W, F) vektorski prostor. Prema aksiomatici vektorskih prostoraproizvoljni vektorski prostor sadrži nula vektor 0. Samim tim svaki vektorski prostor V za koji postoje ine-nula vektori (V ∕= {0}) ima bar dva tvz. trivijalna potprostora ({0}, +, ⋅) i (V, +, ⋅), svi ostali potprostorinazivaju se pravi potprostori.Teorema 1.5.1. Neprazan podskup W ⊆ V odred - uje vektorski potprostor W vektorskog prostora V nadpoljem skalara F akko važiDokaz. . . . .1 gde je V dati vektorski prostor i X dati skup(∀x, y ∈ W )(∀α, β ∈ F ) α ⋅ x + β ⋅ y ∈ W.2

Definicija 1.7.2. Neka je V vektorski prostor nad poljem skalara F. Skup vektora B = {x 1 , . . . , x n } ⊆ Vjeste bazni skup (baza) za vektorski prostor V ako važi:1 o . Skup {x 1 , . . . , x n } jeste generatortski, tj. L({x 1 , . . . , x n })=V.2 o . Skup {x 1 , . . . , x n } jeste linearno nezavisan skup vektora u V .Primer 1.7.1. . . .Primer 1.7.2. . . .Definicija 1.7.3. Ako vektorski prostor ima bar jednu bazu koja sadrži konačno mnogo elemenata, tada seprostor naziva konačno-dimenzionalni vektorski prostor.Teorema 1.7.1. Ako je V konačno-dimenzionalni vektorski prostor nad poljem skalara F, tada sve bazeimaju isti broj elemenata.Definicija 1.7.4. Ako vektorski prostor V, takav da V ∕= {0}, nad poljem skalara F ima bazu sa nelemenata, tada se prirodan broj n naziva dimenzija konačno-dimenzionalnog vektorskog prostora. Koristimooznaku n = dim(V ).Napomena 1.7.1. U slučaju trivijalnog vektorskog prostora V, kada je V = {0}, smatramo da je nultedimenzije, tj. dim(V ) = 0.Primer 1.7.3. . . .Napomena 1.7.2. Ako vektorski prostor nema konačnu bazu, tada za takve vektorske prostore pojam bazetakod - e može uvesti na odgovarajući način. Takvi prostori se nazivaju beskonačno-dimenzionalni vektorskiprostori.Primer 1.7.4. . . .Teorema 1.7.2. Neka je V konačno-dimenzionalni vektorski prostor nad poljem skalara F sa baznim skupomB = {x 1 , . . . , x n }. Svaki vektor x ∈ V može se na tačno jedan način izraziti kao linearna kombinacija u odnosuna poredak baznih vektora x 1 , . . . , x n .Dokaz. . . .Napomena 1.7.3. Neka je V konačno-dimenzionalni vektorski prostor nad poljem skalara F sa baznimskupom B = {x 1 , . . . , x n }. Za vektor x ∈ V predstavljanje x = α 1 ⋅ x 1 + . . . + α n ⋅ x n , u odnosu na poredakbaznih vektora x 1 , . . . , x n , odred - uje koordinate α 1 , . . . , α n vektora x u bazi B.1.8. Izomorfizmi vektorskih prostoraDefinicija 1.8.1. Dva vektorska prostora V 1 = (V 1 , + 1 , ⋅ 1 ) i V 2 = (V 2 , + 2 , ⋅ 2 ) nad istim poljem skalara Fsu homomorfni prostori ako postoji preslikavanje f : V 1 −→ V 2 takvo da važi:(∀x, y ∈ V 1 )(∀α, β ∈ F ) f(α⋅ 1 x + 1 β⋅ 1 y) = α⋅ 2 f(x) + 2 β⋅ 2 f(y).Preslikavanje f nazivamo linearni operator ili homomorfizam vektorskog prostora V 1 u vektorski prostor V 2 .Posebno, ako je homomorfizam f bijekcija tada ga nazivamo izomorfizam vektorskog prostora V 1 u vektorskiprostor V 2 . Same vektorske prostore V 1 i V 2 smatramo izomorfnim prostorima, što označavamo V 1∼ = V2 .Teorema 1.8.2. Svaki n-dimenzionalni vektorski prostor V nad poljem skalara F izomorfan je vektorskomprostoru ured - enih n-torki F n .4

2. UNITARNI PROSTORI IANALITIČKA GEOMETRIJA U R 32.1. Unitarni prostoriDefinicija 2.1.1. Vektorski prostor V nad poljem F realnih ili kompleksnih skalara (F = R ili F = C)naziva se unitarni ili pred-Hilbertov prostor ako za skalarni ili unutrašnji proizvod (. , . ) : V 2 −→ F važeaksiome:(S 1 ) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) za svako x, y, z ∈ V ,(S 2 ) (α ⋅ x, y) = α(x, y) za svako α ∈ F i x, y ∈ V ,(S 3 ) (x, y) = (y, x) za svako x, y ∈ V ,(S 4 ) (x, x) ≥ 0 za svako x ∈ V ,(S 5 ) (x, x) = 0 ⇐⇒ x = 0 za svako x ∈ V .Na osnovu (S 3 ), primetimo da i u slučaju kompleksnog unitarnog prostora vrednosti (x, x), za x ∈ V , jesurealni brojevi i dotano na osnovu (S 4 ) jesu nenegativni realni brojevi.√Definicija 2.1.2. Norma (intezitet) vektora x iz unitarnog prostora V je nenegativan broj ∥x∥ = (x, x).Za tako odred - enu normu kažemo da je norma indukovana skalarnim proizvodom.Primer 2.1.1. Uvod - enje skalarnog proizvoda i norme u vektorski prostor R n . . .Primer 2.1.2. Uvod - enje skalarnog proizvoda i norme u vektorski prostor C n . . .Primer 2.1.3. Uvod - enje skalarnog proizvoda i norme u vektorski prostor C[a, b] . . .2.2. Osnovne osobine normeTeorema 2.2.1. (Cauchy, Буняковский, Schwarz) Neka je V unitaran prostor nad poljem skalara Fi sa skalarnim proizvodom (. , . ) : V 2 −→ F . Tada za normu indukovanu skalarnim proizvodom važi:sa jednakošću akko su x i y linearno zavisni vektori.∣(x, y)∣ ≤ ∥x∥ ⋅ ∥y∥ (x, y ∈ V )Teorema 2.2.2. Neka je V unitaran prostor nad poljem skalara F i sa skalarnim proizvodom (. , . ) : V 2 −→ F .Tada za normu indukovanu skalarnim proizvodom važi:1 o . ∥x∥ ≥ 0 (x ∈ V ),2 o . ∥x∥ = 0 ⇐⇒ x = 0 (x ∈ V ),3 o . ∥α ⋅ x∥ = ∣α∣ ⋅ ∥x∥ (α ∈ F, x ∈ V ),4 o . ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ (nejednakost 3 trougla za x, y ∈ V ).Dokaz. . . .3 jednakost važi akko je y =0 ili x=αy za α ≥ 05

Definicija 2.2.1. Vektorski prostor V nad poljem skalara F naziva se normiran vektorski prostor ako zanormu ∥ . ∥ : V −→ R važe aksiome:(N 1 )(N 2 )(N 3 )(N 4 )∥x∥ ≥ 0 za svako x ∈ V,∥x∥ = 0 ⇐⇒ x = 0 za svako x ∈ V,∥α ⋅ x∥ = ∣α∣ ⋅ ∥x∥ za svako α ∈ F, x ∈ V,∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ za svako x, y ∈ V.Primer 2.2.1. . . .Primer 2.2.2. . . .Definicija 2.2.2. Neka je vektorski prostor V normiran sa normom ∥ . ∥, tada funkcija:d = d(x, y) = ∥x − y∥ : V 2 −→ Rse naziva metrika na V .2.3. Geometrija unitarnih prostoraU ovom delu razmatramo slučaj realnog unitarnog prostora V i geometriju takvih prostora zasnovanu nanejednakosti Cauchy–Буняковский–Schwarz-a:(x, y)(x, y)≤ 1 ⇐⇒ −1 ≤ ≤ 1 (x, y ∕= 0).∣ ∥x∥ ⋅ ∥y∥ ∣ ∥x∥ ⋅ ∥y∥Definicija 2.3.1. Neka je V realni unitarni vektorski prostor, tada ugao ized - u dva ne-nula vektora x i yodred - ujemo kao realan broj φ = ∕ (x, y) ∈ [0, π] takav da važi:cos φ =(x, y)∥x∥ ⋅ ∥y∥(x, y ∕= 0).Definicija 2.3.2. Za ne-nula vektore x i y kažemo da su ortogonalni vektori u unitarnom prostoru V ako je(x, y) = 0, navedeno označavamo x ⊥ y.Napomena 2.3.1. Dodatno smatraćemo da je nula vektor ortogonalan na svaki vektor iz unitarnog prostoraV.Definicija 2.3.3. Za dva vektora x i y kažemo da su paralelni (kolinearni) vektori u unitarnom prostoru Vako su linearno zavisni, navedeno označavamo x ∥ y.Teorema 2.3.2. Neka su x i y med - usobno ortogonalni vektori unitarnog prostora V, tada važi:Dokaz. . . .∥x∥ 2 + ∥y∥ 2 = ∥x + y∥ 2 .Teorema 2.3.1. Neka su x i y vektori unitarnog prostora V, tada važi:∥x + y∥ 2 + ∥x − y∥ 2 = 2∥x∥ 2 + 2∥y∥ 2 .Definicija 2.3.4. Skup vektora {x 1 , . . . , x n } unitarnog prostora V je ortogonalan skup vektora ako za svakadva različita indeksa i, j ∈ {1, 2, . . . , n} važi (x i , x j ) = 0. Ukoliko, pored prethodnog, važi i ∥x i ∥ = 1 za svakiindeks i ∈ {1, 2, . . . , n} tada taj skup vektora je ortonormiran skup vektora.6

Teorema 2.3.3. U unitarnom prostoru svaki ortogonalni skup ne-nula vektora jeste linearno nezavisan.Dokaz. . . .2.4. Vektori u R 3Za realni vektorski prostor R 3 ured - eni par (P, Q) odred - uje usmerenu duž −→ P Q za P, Q ∈ R 3 . U ovom deludefinišemo pojam vektora u R 3 polazeći od skupa svih usmerenih duži nad kojima razmatramo jednakostusmerenih duži na način koji sleduje. Usmerene duži −→ P Q i −−→ XY su jednake, u oznaci −→ P Q = −−→ XY , ako suispunjeni sledeći geometrijski uslovi: (i) prave p(P, Q) i p(X, Y ) su paralelne; (ii) poluprave p[P, Q) i p[X, Y )su isto usmerene i (iii) duži P Q i XY su podudarne. Relacija jednakosti usmerenih duži jeste jedna relacijaekvivalencije skupa svih usmerenih duži. Vektor ⃗a u R 3 definišemo kao klasu ekvivalencije:⃗a def= { −−→ XY ∣ −−→ XY = −→ P Q} −→ P Qgde je −→ P Q fiksiran predstavnik klase ekvivalencije. Nula vektor ⃗0 je klasa ekvivalencije za koju se prva idruga koordinata usmerene duži podudaraju. Uobičajeno je da oznaku predstavnika klase poistovećujemo saoznakom klase.Teorema 4.1.1. Za vektor ⃗a u R 3 postoji tačno jedna tačka D ∈ R 3 takva da je ⃗ a = −→ OD, gde je O = O(0, 0, 0)(koordinatni početak).Napomena 4.1.1. Tačka D = D(α, β, γ) ∈ R 3 odred - uje koordinate vektora ⃗ a, što zapisujemo ⃗ a = (α, β, γ).Skup vektora u R 3 jeste skup:V def= {⃗a ∣ ⃗a – vektor u R 3 },koji predstavlja količnički skup polaznog skupa usmerenih duži po relaciji ekvivalencije jednakosti usmerenihduži. Za vektor ⃗a = (α, β, γ) ∈ V intezitet vektora u R 3 odred - √en je sa ∣⃗a∣ = α 2 + β 2 + γ 2 . Nad skupomSvektora V definišemo dve operacije:1 0 . Sabiranje vektora −→ P Q, −→ RS ∈ V odred - eno je vektorom −→ P T = −→ P Q + −→ RS, gde je −→ QT = −→ RS. RTQ2 0 . Množenje skalara α ∈ R i vektora ⃗a = −→ P Q ∈ V odred - eno je sa vektorom α ⋅ ⃗a tako da: Pa) Ako je α ∕= 0 i ⃗a ∕= ⃗0 tada (i) pravac vektora α ⋅⃗a je paralelan sa pravcem vektora ⃗a; (ii) smer vektora α ⋅⃗aje isti sa smerom vektora ⃗a ukoliko je α > 0, inače je suprotnog smera ukoliko je α < 0 i (iii) ∣α ⋅⃗a∣ = ∣α∣ ⋅ ∣⃗a∣.b) Ako je α = 0 ili ⃗a = ⃗0 tada α ⋅ ⃗a = ⃗0.Teorema 2.4.2. Skup vektora V u odnosu na sabiranje vektora + : V 2 −→ V i množenje realnog skalara ivektora ⋅ : R × V −→ V odred - uje jedan realan vektorski prostor V = (V, +, ⋅).2.5. Skalarni proizvod vektora u R 3Definicija 2.5.1. Neka su dati vektori ⃗ a = (x 1 , y 1 , z 1 ), ⃗ b = (x 2 , y 2 , z 2 ) ∈ V, tada skalarni proizvod vektora⃗a i ⃗ b u R 3 , u oznaci ⃗a ∘ ⃗ b, jeste realan broj:⃗ a ∘ ⃗ bdef= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .Teorema 2.5.1. Realni vektorski prostor V vektora u R 3 odred - uje unitaran prostor u odnosu na skalarniproizvod ( ⃗ a, ⃗ b) = ⃗ a ∘ ⃗ b za ⃗ a, ⃗ b ∈ V. Tada, norma indukovana skalarnim proizvodom je ∥ ⃗ a∥ = ∣ ⃗ a∣ za ⃗ a ∈ V.7

Na osnovu geometrije unitarnih prostora za dva ne-nula vektora ⃗a, ⃗ b ∈ V važi:⃗ a ∘ ⃗ b = ∣ ⃗ a∣ ⋅ ∣ ⃗ b∣ ⋅ cos φ,gde je φ = ∕( ⃗ a, ⃗ b) ugao izmed - u dva posmatrana vektora. Odatle sleduje:⃗ a ∘ ⃗ b = 0 ⇐⇒ ⃗ a = ⃗ 0 ∨ ⃗ b = ⃗ 0 ∨ ⃗ a ⊥ ⃗ b( ⃗ a, ⃗ b ∈ V).Definicija 2.5.2. Neka je V unitarni prostor vektora u R 3 i neka je ⃗ a ∈ V ∖{ ⃗ 0} fiksiran ne-nula vektor.Algebarska vrednost ortogonalne projekcije vektora ⃗ v ∈ V na vektor ⃗ a jeste broj pr ⃗a ( ⃗ v) def= ∣ ⃗ v∣ ⋅ cos∕ ( ⃗ v, ⃗ a).Ortogonalna projekcija vektora ⃗ v ∈ V na vektor ⃗ a jeste vektor ⃗ v ′ def= pr ⃗a ( ⃗ v) ⋅⎧Napomena 2.5.1. Važi: pr ⃗a ( ⃗ ⎨ ∣ ⃗ v ′ ∣ : ako su ⃗ v ′ i ⃗ a istog smera,v) =⎩−∣ ⃗ v ′ ∣ : inače.Teorema 2.5.2. Za ne-nula vektore ⃗ a, ⃗ b važi: ⃗ a ∘ ⃗ b = ∣ ⃗ a∣ ⋅ pr ⃗a ( ⃗ b) = ∣ ⃗ b∣ ⋅ pr ⃗b ( ⃗ a).Dokaz. . . .2.6. Vektorski proizvod vektora u R 3Neka je V unitarni prostor vektora u R 3 . Posmatrajmo pravaougli koordinatni sistem zOxyz, gde je ⃗ i=(1, 0, 0) sa [Ox)-poluose, ⃗ j =(0, 1, 0) sa [Oy)-poluose i ⃗ k =(0, 0, 1) sa[Oz)-poluose. Smatramo da ured - ena trojka vektora ( ⃗ i, ⃗ j, ⃗ k) odred - quje desni trijedarako je smer poluose [Oz) tako odred - en da rotacija poluose [Ox) ka poluosi [Oy), u smeru suprotnom od kretanja kazaljke sata, ima najkraći put gledano sa tačaka poluose[Oz). Dalja razmatranja odnosiće se na prethodno odred - Oyen koordinatni sistem, x sa fiksiranim trijedrom desne orjentacije 4 ( ⃗ i, ⃗ j, ⃗ k). Za tri vektora ⃗ a=(x 1 , y 1 , z 1 ), ⃗ b=(x 2 , y 2 , z 2 ), ⃗ c=(x 3 , y 3 , z 3 )∈Vsmatramo da ured - ena trojka vektora ( ⃗ a, ⃗ b, ⃗ c) odred - uje u koordinatnom sistemu Oxyz:∣ x 1 y 1 z 1 ∣∣∣∣∣∣∣ (i) desni trijedar ako:x 2 y 2 z 2 > 0 ,∣ x 3 y 3 z 3 ∣ x 1 y 1 z 1 ∣∣∣∣∣∣∣ (ii) levi trijedar ako:x 2 y 2 z 2 < 0 ;∣ x 3 y 3 z 3 ∣ u suprotnom ne odred - x 1 y 1 z 1 ∣∣∣∣∣∣∣ uju trijedar ako je ispunjeno:x 2 y 2 z 2 = 0.∣ x 3 y 3 z 3Definicija 2.6.2. Za dva vektora ⃗ a = (x 1 , y 1 , z 1 ), ⃗ b = (x 2 , y 2 , z 2 ) ∈ V vektorski proizvod vektora ⃗ a i ⃗ bodred - en je kao vektor:∣ ⃗i ⃗j ⃗ k ∣∣∣∣∣∣ ∣ ∣ ∣ ⃗ a × ⃗ defy b =x 1 y 1 z 1 = 1 z ∣∣∣∣ 1x ⋅ (1, 0, 0) − 1 z ∣∣∣∣ 1x ⋅ (0, 1, 0) + 1 y ∣∣∣∣ 1⋅ (0, 0, 1) ,∣∣y 2 z 2 } {{ } ∣ x 2 z 2 } {{ } ∣ x 2 y 2 } {{ }x 2 y 2 z 2 ⃗i⃗j⃗ ktj.4 druga mogućnost je da je fiksiran trijedar leve orjentacije⃗ a × ⃗ b = (y1 z 2 − y 2 z 1 , x 2 z 1 − x 1 z 2 , x 1 y 2 − x 2 y 1 ).⃗a∣⃗a∣ .8

Teorema 2.6.1 Za dva ne-nula vektora ⃗ a = (x 1 , y 1 , z 1 ), ⃗ b = (x 2 , y 2 , z 2 ) ∈ V, koji nisu paralelnih pravaca,vektorski proizvod ⃗ c = ⃗ a × ⃗ b ima sledeće osobine:1 0 . Pravac vektora ⃗ c je normalan na ravan koju odred - uju vektori ⃗ a i ⃗ b.2 0 . Smer vektora ⃗ c je odred - en tako da ured - ena trojka ( ⃗ a, ⃗ b, ⃗ c) bude desni trijedar.3 0 . Intezitet vektora ⃗ c je odred - en veličinom površine paralelograma koji je formirannad vektorima ⃗ a i ⃗ b, tj. važi ∣ ⃗ c∣ = ∣ ⃗ a∣⋅∣ ⃗ b∣⋅sin φ, za ugao φ = ∕ ( ⃗ a, ⃗ b).Dokaz. 1 0 . . . . 2 0 . . . .⃗cq⃗b φ ⃗a Napomena 2.6.1. Smer vektora ⃗ c je takav da rotacija vektora ⃗ a ka vektoru ⃗ b, u smeru suprotnom odkretanja kazaljke sata, ima najkraći put gledano sa završne tačke vektora ⃗ c.Teorema 2.6.2. Za skalar λ ∈ R i vektore ⃗ a, ⃗ b ∈ V važi:(i) ⃗ a × ⃗ b = ⃗ 0 ⇐⇒ ⃗ a = ⃗ 0 ∨ ⃗ b = ⃗ 0 ∨ ⃗ a ∥ ⃗ b ,(ii) ⃗ a × ⃗ b = −( ⃗ b × ⃗ a) ,(iii) λ ⋅ ( ⃗ a × ⃗ b) = (λ ⋅ ⃗ a) × ⃗ b ,(iv) ⃗ a × ( ⃗ b + ⃗ c) = ( ⃗ a × ⃗ b) + ( ⃗ a × ⃗ c) .2.7. Mešoviti vektorski proizvod vektora u R 3Definicija 2.7.1. Za tri vektora ⃗ a = (x 1 , y 1 , z 1 ), ⃗ b = (x 2 , y 2 , z 2 ), ⃗ c = (x 3 , y 3 , z 3 ) ∈ V mešoviti vektorskiproizvod vektora ⃗ a, ⃗ b i ⃗ c odred - en je kao realan broj:[ ⃗ a, ⃗ b, ⃗ c ] def= ⃗ a ∘ ( ⃗ b × ⃗ c ).Teorema 2.7.1. Mešoviti vektorski proizvod vektora ⃗ a = (x 1 , y 1 , z 1 ), ⃗ b = (x 2 , y 2 , z 2 ), ⃗ c = (x 3 , y 3 , z 3 ) ∈ Vmože se predstaviti kao determinanta:∣ x 1 y 1 z 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣[ ⃗ a, ⃗ b, ⃗ c ] =x 2 y 2 z 2 .∣ x 3 y 3 z 3Dokaz. . . .Posledica 2.7.1. Važi:[ ⃗ a, ⃗ b, ⃗ c ] = −[ ⃗ a, ⃗ c, ⃗ b ] = −[ ⃗ b, ⃗ a, ⃗ c ] = −[ ⃗ c, ⃗ b, ⃗ a ].Teorema 2.7.2. Ako vektori ⃗ a = (x 1 , y 1 , z 1 ), ⃗ b = (x 2 , y 2 , z 2 ), ⃗ c = (x 3 , y 3 , z 3 ) ∈ V nisu koplanarni u R 3 , tadaapsolutna vrednost njihovog mešovitog proizvoda jednaka je zapremini V paralelopipeda konstruisanog nadta tri vektora dovedena na zajednički početak, tj. V = ∣ [ ⃗ a, ⃗ b, ⃗ c ] ∣.Dokaz. . . .Napomena 2.7.1. Za vektore ⃗ a = (x 1 , y 1 , z 1 ), ⃗ b = (x 2 , y 2 , z 2 ), ⃗ c = (x 3 , y 3 , z 3 ) ∈ V važi:odnosno:[ ⃗ a, ⃗ b, ⃗ c ] = 0 ⇐⇒ ⃗ a, ⃗ b, ⃗ c – koplanarni u R 3 ⇐⇒ ⃗ a, ⃗ b, ⃗ c – linearno zavisni u R 3 ,[ ⃗ a, ⃗ b, ⃗ c ] ∕= 0 ⇐⇒ ⃗ a, ⃗ b, ⃗ c – nekoplanarni u R 3 ⇐⇒ ⃗ a, ⃗ b, ⃗ c – linearno nezavisni u R 3 .9

2.8. Tačka, prava i ravan u R 3(i) Tačka u R 3 . Rastojanje izmed - u tačaka M 1 = M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ), M 2 = M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) ∈ R 3 dato je formulom:Tačka M = M(x, y, z) ∈ R 3 sa koordinatama:∣M −−−→ √1 M 2 ∣ = (x 2 − x 1 ) 2 + (y 2 − y 1 ) 2 + (z 2 − z 1 ) 2 .deli duž M 1 M 2 u razmeri ∣M 1 M∣ : ∣MM 2 ∣ = m : n.x = mx 2 + nx 1m + n , y = my 2 + ny 1m + n , z = mz 2 + nz 1m + n(m, n > 0)(ii) Prava u R 3 . Za tačku M 0 = M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) ∈ R 3 i ne-nula vektor ⃗p = (a, b, c) ∈ V postoji tačno jednaprava p u R 3 koja sadrži tačku M 0 i ima vektor pravca ⃗p. Neka je ⃗r = (x, y, z) vektor položaja proizvoljnetačke M = M(x, y, z) ∈ p (⃗r = −−→ OM), tada vektorski oblik jednačine prave p je dat sa:(∗) ⃗r = ⃗r M0 +t⋅⃗p (t ∈ R).Prethodna formula kojom se odred - uje skup tačaka M u R 3 , u zavisnosti od t ∈ R, može se uzeti za definicijuprave p. Na osnovu vektorskog oblika jednačine prave izvode se razni oblici jednačine prave koje navodimo.Parametarske jednačine prave:x = x 0 + t ⋅ a, y = y 0 + t ⋅ b, z = z 0 + t ⋅ c(t ∈ R).Kanonske jednačine prave:x − x 0= y − y 0= z − z 0= t (t ∈ R).a b cAko je a = 0 ∨ b = 0 ∨ c = 0 u prethodnoj jednakosti članovi koji dovode do deljenja sa nulom se izostavljaju.Pri tom, dodatno, ako je a = 0 pišemo x = x 0 , ako je b = 0 pišemo y = y 0 , ako je c = 0 pišemo z = z 0 .Jednačina prave kroz dve tačke M 1 = M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ), M 2 = M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) ∈ R 3 je data u obliku kanonskejednačine:x − x 1= y − y 1= z − z 1= t(t ∈ R).x 2 − x 1 y 2 − y 1 z 2 − z 1Prethodna formula kojom se odred - uje skup tačaka M u R 3 , u zavisnosti samo od t ∈ [0, 1], može se uzeti zadefiniciju duži M 1 M 2 .Formula za rastojanje proizvoljne tačke M = M(x M , y M , z M ) ∈ R 3 do prave p, koja je odred - ena 5 sa tačkomM 0 = M(x 0 , y 0 , z 0 ) ∈ p i vektorom ⃗p = (a, b, c) ∈ V, je data sa:d(M, p) = ∣( ⃗r M −⃗r M0 ) × ⃗p∣.∣⃗p∣Formula za rastojanje izmed - u dve prave (p) ⃗r = ⃗r M1 + t ⋅ ⃗p (t ∈ R) i (q) ⃗r = ⃗r M2 + s ⋅ ⃗q (s ∈ R) je data sa:d(p, q) = ∣( ⃗r M2 −⃗r M1 ) ∘ (⃗p × ⃗q)∣∣⃗p × ⃗q∣(⃗p × ⃗q ∕= ⃗0)).5⃗r = ⃗r M0 + t ⋅ ⃗p(t ∈ R)10

(iii) Ravan u R 3 . Za tačku M 0 = M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) ∈ R 3 i ne-nula vektor ⃗n = (A, B, C) ∈ V postoji tačnojedna ravan π u R 3 koja sadrži tačku M 0 i ima vektor normale ⃗n. Neka je ⃗r = (x, y, z) vektor položajaproizvoljne tačke M = M(x, y, z) ∈ π (⃗r = −−→ OM), tada vektorski oblik jednačine ravni π je dat sa:(∗∗) (⃗r−⃗r M0 )∘⃗n = 0.Prethodna formula kojom se odred - uje skup tačaka M u R 3 može se uzeti za definiciju ravni π. Odatle se izvoderazni oblici jednačine ravni koje navodimo.Jednačina ravni kroz datu tačku:A(x − x 0 ) + B(y − y 0 ) + C(z − z 0 ) = 0.Opšti oblik jednačine ravni:Ax + By + Cz + D = 0 ( D = −Ax 0 − By 0 − Cz 0 ).Segmetni oblik jednačine ravni:xa + y b + z c = 1 (a = − D , b = A − D , c = B − D ),Codred - ujemo za D ∕=0. Za tačke M 1 = M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ), M 2 = M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ), M 3 = M 3 (x 3 , y 3 , z 3 ) ∈ R 3 jednačinaravni π kroz tri tačke odred - ena je iz [ −−−→ M 1 M , −−−→ M 1 M 2 , −−−→ M 1 M 3 ] = 0, tj.∣ x − x 1 y − y 1 z − z 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ x 2 − x 1 y 2 − y 1 z 2 − z 1 = 0∣ x 3 − x 1 y 3 − y 1 z 3 − z 1(M = M(x, y, z) ∈ π).Rastojanje tačke T = T (x T , y T , z T ) ∈ R 3 do ravni π date u opštem obliku Ax + By + Cz + D = 0 je dato sa:d(T, π) = ∣Ax T + By T + Cz T + D∣√A2 + B 2 + C 2 .Na kraju napomenimo da se prava može zadati i kao presek dve ravni:⎧⎨pri čemu (A 1 , B 1 , C 1 ) × (A 2 , B 2 , C 2 ) ∕= ⃗0.⎩A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0⎫⎬⎭11

3. SISTEMI LINEARNIH JEDNAČINA1 0 . Sistem linearnih jednačina, nad poljem F, za n-torku nepoznatih (x 1 , . . . , x n ) nad poljem i konstantea ij , b i ∈ F ( i ∈ {1, 2, . . . , m} i j ∈ {1, 2, . . . , n} ) , jeste konjukcija jednačina:⎧a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1n x n = b 1(S)⎪⎨ a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2n x n = b 2⎫⎪ ⎬..⎪⎩⎪a m1 x 1 + a m2 x 2 + . . . + a mn x n = b ⎭ mAko je b 1 = b 2 = . . . = b m = 0, tada sistem linearnih jednačina (S) se naziva homogeni sistem. U suprotomako postoji b i ∕= 0, sistem linearnih jednačina (S) se naziva nehomogeni sistem. Skalare b 1 , b 2 , . . . , b m ∈ Fnazivamo slobodnim članovima sistema.Sistem linearnih jednačina (S) se može napisati u matričnom obliku:⎡⎤ ⎡ ⎤a 11 a 12 . . . a 1n x 1a 21 a 22 . . . a 2nx 2(S) Ax = b ⇐⇒⎢ . . ⋅ ⋅ ⋅ .⎥ ⎢ .⎥⎣⎦ ⎣ ⎦a m1 a m2 . . . a mn x n=⎡⎢⎣⎤b 1b 2.⎥⎦b mpri čemu je A = [a ij ] ∈ F n×n – matrica koeficijenata, x = [x i ] – matrica kolona nepoznatih nad F n×1 ib = [b i ] ∈ F m×1 – matrica kolona slobodnih članova. Sistem lineanih jednačina (S) naziva se saglasan sistem(neprotivurečan, moguć) ako postoji matrica kolona α = [α i ] ∈ F n×1 takva da za x 1 = α 1 , . . . , x n = α nkonjukcija jednačina iz (S) jeste tačna. Matrica kolona α se naziva rešenje sistema linearnih jednačina (S).U suprotnom ako za sistem (S) ne postoji rešenje, tada sistem linearnih jednačina (S) se naziva nesaglasansistem (protivurečan, nemoguć).2 0 . U cilju diskusije saglasnosti – nesaglasnosti sistema linearnih jednačina (S) razmatra se pojam ranga.Definicija 3.1. Neka je data matrica A formata m × n nad poljem F, tj. A ∈ F m×n . Rang matrice A jestebroj r, u oznaci rang(A) = r, takav da u matrici A postoji kvadratna regularna submatrica M reda r takoda su sve kvadratne submatrice većeg reda od r singularne. Matricu M nazivamo glavnom submatricom.Napomena 3.1. Ako matrica A = [ 0 ] ∈ F m×n jeste nula matrica (A = 0), tada r = 0. U suprotnom, akomatrica A=[a ij ]∈F m×n nije nula matrica, tada 1 ≤ r ≤ min{m, n}. Sveukupno za matricu A ∈ F m×n važi:0 ≤ rang(A) ≤min{m, n}.Primer 3.1. . . .Teorema 3.1. Za matricu A ∈ F m×n važi rang(A T ) = rang(A).Dokaz. . . .12

Definicija 3.2. Za matricu A ∈ F m×n elementarne transformacije matrice A su sledeće transformacije:(i) Zamena mesta dve vrste (ili kolone).(ii) Množenje jedne vrste (ili kolone) skalarom α ∕= 0.(iii) Dodavanje elemenata jedne vrste (kolone), prethodno pomnoženih nekim skalarom α odgovarajućimelementima druge vrste (ili kolone).Definicija 3.3. Matrice A, B ∈ F m×n su ekvivaletne matrice, što označavamo A ∼ = B, ako se mogu dobitijedna iz druge pomoću konačnog broja elementarnih transformacija.Teorema 3.2. Neka je data matrica A ∈ F m×n i neka je matrica A ′ ∈ F m×n nastala zamenom i-te i j-tevrste (kolone). Tada važi:rang(A ′ ) = rang(A).Teorema 3.3. Neka je data matrica A ∈ F m×n i neka je α ∈ F ∖{0} proizvoljan ne-nula skalar. Tada:rang(αA) = rang(A).Teorema 3.4. Neka je data matrica A ∈ F m×n i neka su izdvojeni vektori vrste v i = [ a i1 . . . a in ] ∈ F 1×n(i = 1, . . . , m). Ako je rang(A) = r, tada med - u vektor vrstama v i postoji tačno r linearno nezavisnih vektoratako da preostlih m − r vektora su linearne kombinacije ovih r vektora.Posledica 3.1. Važi rang(A) = dim(V v ), gde V v = L({v 1 , . . . , v m }) odred - uje vektorski prostor vrsta V v .Teorema 3.4’. Neka je data matrica A ∈ F m×n i neka su izdvojeni vektori kolone w j = [ a 1j . . . a mj ] T ∈ F m×1(j = 1, . . . , n). Ako je rang(A) = r, tada med - u vektor kolonama w j postoji tačno r linearno nezavisnih vektoratako da preostlih n − r vektora su linearne kombinacije ovih r vektora.Posledica 3.1’. Važi rang(A) = dim(V k ), gde V k = L({w 1 , . . . , w n }) odred - uje vektorski prostor kolona V k .Teorema 3.5. Neka je data matrica A ∈ F m×n i neka je matrica B ∈ F m×n dobijena od matrice A tako štosu elementima jedne vrste (kolone) matrice A dodati elementi neke druge vrste (kolone) pomnoženi skalaromα ∈ F . Tada važi:rang(B) = rang(A).Teorema 3.6. Elementarne transformacije ne menjaju rang matrice.3 0 . Neka je dat sistem linearnih jednačina (S). Elementarne transformacije sistema (S) su odred - ene kaosledeće transformacije:(i) Zamena mesta dve jednačine.(ii) Množenje jedne jednačine skalarom α ∕= 0.(iii) Dodavanje jedne jednačine, prethodno pomnožene nekim skalarom α odgovarajućoj drugoj jednačini.Napomena 3.2. Za elementarnu transformaciju sistema linearnih jednačina (S) možemo uzeti i zamenu dvasabiraka u jednoj jednačini samo ako se odgovarajuće zamene izvrše u svim jednačinama sistema tako da seiste nepoznate pišu jedne ispod drugih. Ovom transformacijom se vrši zamena redosleda u nizu nepoznatih!Teorema 3.7. Elementarnim transformacijama skup rešenja sistema (S) se ne menja.13

Za sistem linearnih jednačina (S) Ax = b matrice:⎡⎤⎡a 11 a 12 . . . a 1na 21 a 22 . . . a 2nA =∈ F m×n i B =⎢ . . ⋅ ⋅ ⋅ .⎥⎢⎣⎦⎣a m1 a m2 . . . a mn⎤a 11 a 12 . . . a 1n b 1a 21 a 22 . . . a 2n b 2∈ F m×(n+1). . ⋅ ⋅ ⋅ . .⎥⎦a m1 a m2 . . . a mn b mnazivaju se matrica sistema i proširena matrica sistema respektivno. Tada važi sledeće tvrd - enje:Teorema 8. (Kronecker – Capelli) Sistem linearnih jednačina (S) Ax = b jeste saglasan akko važi:rang(A) = rang(B).Dokaz. . . .4 0 . Za matricu koeficjenata A = [a ij ] ∈ F n×n i matricu kolonu nepoznatih x = [x i ] nad F n×1 neka je dathomogeni sistem:(S 0 ) Ax = 0 ⇐⇒⎡⎢⎣⎤ ⎡a 11 a 12 . . . a 1na 21 a 22 . . . a 2n. . ⋅ ⋅ ⋅ .⎥ ⎢⎦ ⎣a m1 a m2 . . . a mn⎤x 1x 2.⎥⎦x n⎡ ⎤00=.⎢ .⎥⎣ ⎦0Saglasno Kronecker – Capellijevoj teoremi linearan sistem (S 0 ) je uvek saglasn i ima rešenje. Jednotakvo rešenje je matrica kolona 0 = [ 0, . . . , 0 ] T ∈ F n×1 koju nazivamo trivijalno rešenje. Sa sledećomteoremom odred - ujemo kada homogeni sistem ima i druga, takozvana netrivijalna rešenja.Teorema 3.9. Homogeni sistem (S 0 ) od m–linearnih jednačina sa n–nepoznatih ima jedinstveno trivijalnorešenje akko je rang(A) = n (tada je m ≥ n). Inače, homogeni sistem (S 0 ) ima i netrivijalna rešenja akko jerang(A) = r < n, pri čemu je moguće n − r nepoznatih izabrati proizvoljno.Posledica 3.2. (i) Svaki homogeni sistem kod koga je m < n ima i netrivijalna rešenja.(ii) Svaki homogeni sistem kod koga je 6 m = n ima netrivijalna rešenja akko je ∣A∣ = 0 (tada je rang(A) < n).(iii) Svaki homogeni sistem kod koga je m > n ekvivalentan je, primenom Gaussovog algoritma, sa homogenimsistemom sa tačno r ≤ n jednačina (r = rang(A)). Dakle, ovaj slučaj se svodi na jedan od prethodnadva slučaja.Teorema 3.10. Skup svih rešenja homogenog sistema (S 0 ) ima strukturu vektorskog prostora.Teorema 3.11. Svaki sistem linearnih jednačina:⎧a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1n x n = b 1⎪⎨ a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2n x n = b 2⎫⎪ ⎬(S),.⎪⎩⎪a m1 x 1 + a m2 x 2 + . . . + a mn x n = b ⎭ mza a ij , b i ∈ F (i = 1, . . . , m ∧ j = 1, . . . , n), može se Gaussovim algoritmom, elementarnim transformacijama,6 tzv. homogeni kvadratni sistem14

dovesti do ekvivaletnog trougaonog sistema:⎧p 11 y 1 + p 12 y 2 + . . . + p 1r y r = q 1 − p 1(r+1) y r+1 − . . . − p 1n y n⎫(S T )⎪⎨p 22 y 2 + . . . + p 2r y r = q 2 − p 2(r+1) y r+1 − . . . − p 2n y n.⎪⎬p rr y r = q r − p r(r+1) y r+1 − . . . − p rn y n⎪⎩0 = μ⎪⎭za p ij , q i ∈ F (i = 1, . . . , r ∧ j = i, . . . , n), μ ∈ F i r = rang(A) ≤ n. Pri tome je p 11 ⋅ p 22 ⋅ . . . ⋅ p rr ∕= 0 i(y 1 , . . . , y n ) predstavlja jednu permutaciju od (x 1 , . . . , x n ).Napomena 3.3. Sistem (S) je saglasan akko je μ=0. Ako je sistem (S) homogen tada je q 1 =. . .=q r =μ=0.15

4. KARAKTERISTIČNI KORENI I VEKTORI1 0 . Neka je data kvadratna matrica A = [a ij ] ∈ F n×n . Glavni predmet proučavanja ovog dela su skalariλ ∈ F i ne-nula matrice kolone x = [ x 1 . . . x n ] T ∈ F n×1 koji ispunjavaju uslov Ax = λx, tj. za koje važi:⎧⎫(a 11 − λ)x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1n x n = 0(K)(A − λI)x = 0 ⇐⇒⎪⎨⎪⎩a 21 x 1 + (a 22 − λ)x 2 + . . . + a 2n x n = 0..a n1 x 1 + a n2 x 2 + . . . + (a nn − λ)x n = 0Definicija 4.1. Za kvadratnu matricu A = [a ij ] ∈ F n×n homogeni sistem (K) se naziva karakterističan(sopstveni) sistem matrice A. Skalar λ ∈ F se naziva karakteristična (sopstvena) vrednost matrice A akoza taj skalar karakterističan sistem ima netrivijalno rešenje x = [ x 1 . . . x n ] T ∈ F n×1 − karakteristični(sopstveni) vektor matrice A koji odgovara karakterističnoj vrednosti λ.Primetimo da potreban i dovoljan uslov da karakterističan sistem (K) ima netrivijalno rešenje je dat sa:∣A − λI∣ = 0.Definicija 4.2. Za kvadratnu matricu A = [a ij ] ∈ F n×n polinom:(a 11 − λ) a 12 . . . a 1na 21 (a 22 − λ) . . . a 2nP n (λ) = ∣A − λI∣ =. ..∣ a n1 a n2 . . . (a nn − λ) ∣se naziva karakteristični (sopstveni) polinom matrice A. Koreni karakterističnog polinoma se nazivaju karakteristični(sopstveni) koreni matrice A i skup svih tih korena odred - uju spektar matrice A.Napomena 4.1. Za matricu A = [a ij ] ∈ F n×n pojmovi karakteristične vrednosti i karakterističnog korenase podudaraju. Zaista, na osnovu Posledice 3.2. (Teoreme 3.9.) skup skalara λ ∈ F za koje razmatramokarakterističan sistem (K) matrice A, tako da ima netrivijalna rešenja x u F n×1 , je konačan i odred - en jespektrom matrice A. Napomenimo da za svaki skalar λ∈F izvan spektra matrice, homogeni sistem (K) imasamo trivijalno rešenje x=0 u F n×1 .Definicija 4.3. Za kvadratnu matricu A = [a ij ] ∈ F n×n karakteristični (sopstveni) potprostor matrice A,koji odgovara karakterističnoj vrednosti λ, jeste skup svih vektora x u F n×1 koji su rešenje karakterističnogsistema uključujući i nula vektor x=0 u F n×1 .Primer 4.1. Odrediti karakteristične vrednosti, vektore i potprostore sledećih matrica:(i)⎡⎤3 2 0A = ⎢ 2 4 −2 ⎥⎣⎦0 −2 516..⎪⎬.⎪⎭

Proveriti rezultate koji su dobijeni pomoću Maple-a:> restart;> with(linalg):> A:=matrix([[3,2,0],[2,4,-2],[0,-2,5]]);⎡A := ⎣3 2 02 4 −2⎤⎦0 −2 5> charpoly(A,λ); # karakteristični polinom> e:=eigenvalues(A); # karakteristične vrednosti−λ 3 + 12λ 2 − 39λ + 28e := 1, 4, 7> v:=eigenvectors(A); # karakteristični vektoriv := [1, 1, {[−2, 2, 1]}], [4, 1, {[2, 1, 2]}], [7, 1, {[1, 2, −2]}]> v1:=v[1]; # za jednostruki koren λ 1 = 1 karkterističan potprostor je generisan sa [−2, 2, 1] Tv1 := [1, 1, {[−2, 2, 1]}]> v2:=v[2]; # za jednostruki koren λ 2 = 4 karkterističan potprostor je generisan sa [2, 1, 2] Tv2 := [4, 1, {[2, 1, 2]}]> v3:=v[3]; # za jednostruki koren λ 3 = 7 karkterističan potprostor je generisan sa [1, 2, −2] Tv3 := [7, 1, {[1, 2, −2]}]Za karakteristične vrednosti λ i odgovarajući karakteristični potprostori V i i karakteristični vektori ⃗v i su dati redomsa:] }]λ 1 = 1 : V 1 ={[ −221λ 2 = 4 : V 2 ={[ 212{[λ 3 = 7 : V 3 =12−2]]⋅ t ∣ t ∈ R⋅ t ∣ t ∈ R⋅ t ∣ t ∈ R}}i ⃗v 1 =i ⃗v 2 =i ⃗v 3 =[ −2t2tt[ 2tt2t[t2t−2t]](t ∈ R∖{0}),(t ∈ R∖{0}),(t ∈ R∖{0}).(ii)⎡B = ⎢⎣3 1 11 3 10 0 2⎤⎥⎦Proveriti rezultate koji su dobijeni pomoću Maple-a:> restart;> with(linalg):> B:=matrix([[3,1,1],[1,3,1],[0,0,2]]);⎡B := ⎣3 1 11 3 1⎤⎦0 0 2> charpoly(B,λ); # karakteristični polinom> e:=eigenvalues(B); # karakteristične vrednosti−λ 3 + 8λ 2 − 20λ + 16e := 2, 2, 4> v:=eigenvectors(B); # karakteristični vektoriv := [2, 2, {[−1, 1, 0], [−1, 0, 1]}], [4, 1, {[1, 1, 0]}]17

v1:=v[1]; # za dvostruki koren λ 1,2 = 2 karkterističan potprostor je generisan sa [−1, 1, 0] T i [−1, 0, 1] Tv1 := [2, 2, {[−1, 1, 0], [−1, 0, 1]}]> v3:=v[3]; # za jednostruki koren λ 3 = 4 karkterističan potprostor je generisan sa [1, 1, 0] Tv3 := [4, 1, {[1, 1, 0]}]Za karakteristične vrednosti λ i odgovarajući karakteristični potprostori V i i karakteristični vektori ⃗v i su dati redomsa:]]}]λ 1,2 = 2 : V 1,2 ={[ −110λ 3 = 4 : V 3 ={[ 110[ −1⋅ p + 01]⋅ t ∣ t ∈ R⋅ q ∣ p, q ∈ R}i ⃗v 1,2 =[ −p − qpqi ⃗v 3 =[ tt0(p, q ∈ R ∧ ¬(p = q = 0)),](t ∈ R∖{0}).Primetimo da je dimenzija dim(V 1,2 )=2, u ovom primeru, jednaka redu r =2 višestrukosti karakterističnog korena λ 1,2 .(iii)⎡C = ⎢⎣2 −10 61 −15 −116 −15 3⎤⎥⎦Proveriti rezultate koji su dobijeni pomoću Maple-a:> restart;> with(linalg):> C:=matrix([[2,-10,6],[8,-15,-1],[16,-15,3]]);⎡C := ⎣2 −10 68 −15 −1⎤⎦16 −15 3> charpoly(C,λ); # karakteristični polinom> e:=eigenvalues(C); # karakteristične vrednosti−λ 3 − 10λ 2 + 100λ + 1000e := −10, −10, 10> v:=eigenvectors(C); # karakteristični vektoriv := [−10, 2, {[1, 3/2, 1/2]]}], [10, 1, {[4, 1, 7]}]> v1:=v[1]; # za dvostruki koren λ 1,2 = −10 karkterističan potprostor je generisan sa [1, 3/2, 1/2] Tv1 := [−10, 2, {[1, 3/2, 1/2]]}]> v3:=v[3]; # za jednostruki koren λ 3 = 10 karkterističan potprostor je generisan sa [4, 1, 7] Tv3 := [10, 1, {[4, 1, 7]}]Za karakteristične vrednosti λ i odgovarajući karakteristični potprostori V i i karakteristični vektori ⃗v i su dati redomsa:] }]λ 1,2 = −10 : V 1,2 ={[ 13/21/2λ 3 = 10 : V 3 ={[ 417]⋅ t ∣ t ∈ R⋅ t ∣ t ∈ R}i ⃗v 1,2 =i ⃗v 3 =[ t3/2⋅t1/2⋅t[ 4tt7t](t ∈ R∖{0}),(t ∈ R∖{0}).Primetimo da je dimenzija dim(V 1,2 ) = 1, u ovom primeru, manja od reda višestrukosti r = 2 karakterističnogkorena λ 1,2 !18

2 0 . Neka je data kvadratna matrica A = [a ij ] ∈ F n×n i skalari α 0 , α 1 , . . . , α n ∈ F (α n ∕= 0). Tada izraz:se naziva matrični polinom stepena n.Teorema 4.1.polinom:P n (A) = α n A n + α n−1 A n−1 + . . . + α 1 A + α 0 I(Cayley–Hamilton) Neka je za kvadratnu matricu A = [a ij ] ∈ F n×n odred - en karakterističniP n (λ) = ∣A − λI∣ =za koeficijente α 0 , α 1 , . . . , α n−1 , α n ∈ F (α n ∕= 0), tada važi:P n (A) =n∑α k λ k ,k=0n∑α k A k = 0.Napomena 4.1. Neka je za kvadratnu matricu A = [a ij ] ∈ F n×n odred - en karakteristični polinom:tada važi:gde je Tr(A) def=n∑a ii − trag matrice A.i=1k=0P n (λ) = ∣A − λI∣ =n∑α k λ k ,k=0α n = (−1) n , α n−1 = (−1) n−1 Tr(A) i α 0 = ∣A∣Definicija 4.4. Kvadratne matrice A, B ∈ F n×n su slične matrice, što označavamo A ∼ B, ako postoji regularnamatrica C ∈ F n×n takva da važi B = C −1 A C.Teorema 4.2. Sličnost matrica jeste relacija ekvivalencije skupa matrica F n×n .Dokaz. . . .Teorema 4.3. Slične matrice imaju isti spektar.Dokaz. . . .Definicija 4.5. Neka je data kvadratna matrica A = [a ij ] ∈ F n×n , tada polinom m(λ) takav da ispunjava uslove:(i) m(A) = 0,(ii) koeficijent uz najveći stepen polinoma m(λ) jednak je 1,(iii) m(λ) je polinom najmanjeg stepena za koje važe prethodni uslovi (i) i (ii);naziva se minimalni polinom matrice A.Teorema 4.4. Svaka kvadratna matrica A = [a ij ] ∈ F n×n ima jedinstven minimalan polinom m(λ) i on je delilackarakterističnog polinoma P n (λ) = ∣A − λI∣.Dokaz. . . .Teorema 4.5. Neka je data kvadratna matrica A = [a ij ] ∈ F n×n . Svaka nula karakterističnog polinoma P n (λ) je inula minimalnog polinoma m(λ).Napomena 4.2. Nule minimalnog i karakterističnog polinoma se podudaraju i mogu se razlikovati samo svojimredom!19

Algoritam za odred - ivanje minimalnog polinoma matrice A = [a ij ] ∈ F n×n :1 o . Prvo odredimo karakteristični polinom P n (λ) = ∣A − λI∣.2 o . Izvršimo faktorizaciju polinoma P n (λ) na nerastavljive faktore.3 o . Formirajmo sve moguće delitelje karakteristčnog polinoma tako da sadrže sve korene karakterističnogpolinoma i da su jediničnog vodećeg koeficijenta.4 o . Med - u prethodno odred - enim deliteljima izdvajamo one polinome koji se anuliraju u matrici A.5 o . Minimalni polinom je polinom najnižeg stepena med - u polinomima odred - enim u prethodnom koraku.Primer 5.2. Odrediti minimalni polinom matrice:⎡A = ⎢⎣Primenom prethodnog algoritma nalazimo:1 o . P 3 (λ) = ∣A − λI∣ = −λ 3 + 3λ 2 .2 o . P 3 (λ) = −λ⋅λ⋅(λ − 3).1 1 11 1 11 1 1⎤⎥⎦ ∈ R3×3 .3 o . Delitelji g(λ) = λ(λ − 3) = λ 2 − 3λ i f(λ) = λ 2 (λ − 3) = λ 3 − 3λ 2 karakterističnog polinoma P 3 (λ) sadržesve korene karakterističnog polinoma i jediničnog su vodećeg koeficijenta.4 o . Za oba polinoma g(λ)=λ 2 − 3λ i f(λ)=λ 3 − 3λ 2 važi g(A)=A 2 − 3A=0 (proveriti) i f(A)=A 3 − 3A 2 =0.5 o . Minimalni polinom je m(λ) = g(λ) = λ 2 − 3λ.Napomena: U prethodnom materijalu date su samo definicije, iskazi teorema i algoritamaa izostavljeni su (. . .) primeri i dokazi teorema koji su rad - eni na časovima predavanja!Literatura:D. Cvetković, I. Lacković, M. Merkle, Z. Radosavljević, S. Simić, P. Vasić: ”Matematika I – Algebra”20