Geometrijski niz i primene - Alas

Teorema 1. U geometrijskom nizu (b n ) sa prvim članom b 1 i količnikom qje , za sve prirodne brojeve n :b n = b 1 · q n−1Dokaz. Dokaz se izvodi primenom matematičke indukcije. Za n = 1imamo b 1 = b 1·q 0 , pa je tvrdjenje tačno. Pretpostavimo da važi b n = b 1·q n−1za neki prirodan broj n. Tada imamo:b n+1 = b n · q = b 1 · q n−1 · q = b 1 · q n ,pa je tvrdjenje tačno i za n+1, što znači da je na osnovu principa matematičkeindukcije ono tačno za sve prirodne brojeve.U mnogim zadacima, pogotovo u primenama matematike, javlja se potrebada se izračuna zbir prvih n članova geometrijskog niza.Teorema 2. Zbir prvih n članova geometrijskog niza (b n ) čiji je količnikq ≠ 0 iznosiS n = b 1q n − 1q − 1Dokaz. Kako je b 1 q = b 2 , b 2 q = b 3 ,...,b n q = b n+1 , sledi da jeS n q = b 1 q + b 2 q + ... + b n q = b 2 + b 3 + ... + b n+1 .Kada od ove jednakosti oduzmemo traženi zbir S n = b 1 + b 2 + ... + b n ,dobijemoS n eq − S n = b n+1 − b 1 = b 1 q n − b 1 ,odnosnoodakle sledi istinitost tvrdjenja.S n (q − 1) = b 1 (q n − 1),Definicija 2. Niz je opadajući kada je a 1 > 0 i q ∈ (0, 1) ili kada je a 1 < 0,a q > 1. Niz je rastući kada je a 1 > 0 i q > 1 ili kada je a 1 < 0, a q ∈ (0, 1).3 Primene geometrijskog niza u ekonomijiJednu od najčešćih primena geometrijskog niza pronalazimo u ekonomiji, prvenstvenokod složenog kamatnog računa. Novac stavljen u banku nazvaćemoglavnica (C), godišnju kamatnu stopu ćemo obeležiti sa p, a iznos kamatesa I. Godišnji iznos kamate je I = C·pC·p100, a nakon n godina iznosiće I = n100 .Glavnica C na kraju n-te godine iznosiC + I = C + n Cp pn= C(1 +100 100 )2