Geometrijski niz i primene - Alas

Geometrijski nizJelena Paunović, Vesna Timotijević, Mladen Zekić17. oktobar 2006.1 UvodPre više stotina godina u Indiji je živeo kralj Širham koji je voleo da igraigre, ali se zasitio starih igara i hteo je nešto sa više izazova. Zatražioje od siromašnog matematičara Sete ben Dahira, koji je živeo u njegovomkraljevstvu, da mu izmisli novu igru. Ta nova igra zvala se šah. Kraljse toliko oduševio da je matematičaru za nagradu ponudio šta god poželi.”Želeo bih da mi na prvo polje šahovske table date jedno zrno pšenice, nadrugo dva, na treće četiri, i na svako sledeće polje duplo više zrna pšenicenego na prethodnom polju”, rekao je ”skromni” matematičar. Kralja je ovajodgovor uvredio, ali je ipak naredio svojim slugama da matematičaru dajutraženu nagradu. Ubrzo je shvatio da u čitavoj Indiji nema dovoljno pšeniceda se popune sva polja šahovske table.Broj zrna pšenice nije ništa drugo nego suma prvih 64 člana geometrijskeprogresije, početnog člana 1 i količnika 2 i ona iznosi 18 446 744 073 709551 615 (18 kvadriliona 446 triliona 744 biliona 73 milijarde 709 miliona 551hiljada 615).2 Osnovni pojmoviDefinicija 1. Niz kod koga se svaki član, počevši od drugog, dobija iz prethodnogmnoženjem jednim istim brojem q, q ≠ 0, naziva se geometrijskim nizom(geometrijskomprogresijom). Broj q je količnik tog geometrijskog niza.Svaki član geometrijskog niza predstavlja geometrijsku sredinu susednadva člana, zbog čega se i zove tako.Ako pretpostavimo da je u geometrijskom nizu prvi član b 1 ≠ 0 tadasu svi članovi tog niza različiti od 0 i tada važi da je količnik svaka dvauzastopna člana niza konstantan:b n+1b n= qb nb n= q, n = 1, 2, 3, ...Opšti član geometrijskog niza može se izraziti u funkciji prvog člana ikoličnika.1

Teorema 1. U geometrijskom nizu (b n ) sa prvim članom b 1 i količnikom qje , za sve prirodne brojeve n :b n = b 1 · q n−1Dokaz. Dokaz se izvodi primenom matematičke indukcije. Za n = 1imamo b 1 = b 1·q 0 , pa je tvrdjenje tačno. Pretpostavimo da važi b n = b 1·q n−1za neki prirodan broj n. Tada imamo:b n+1 = b n · q = b 1 · q n−1 · q = b 1 · q n ,pa je tvrdjenje tačno i za n+1, što znači da je na osnovu principa matematičkeindukcije ono tačno za sve prirodne brojeve.U mnogim zadacima, pogotovo u primenama matematike, javlja se potrebada se izračuna zbir prvih n članova geometrijskog niza.Teorema 2. Zbir prvih n članova geometrijskog niza (b n ) čiji je količnikq ≠ 0 iznosiS n = b 1q n − 1q − 1Dokaz. Kako je b 1 q = b 2 , b 2 q = b 3 ,...,b n q = b n+1 , sledi da jeS n q = b 1 q + b 2 q + ... + b n q = b 2 + b 3 + ... + b n+1 .Kada od ove jednakosti oduzmemo traženi zbir S n = b 1 + b 2 + ... + b n ,dobijemoS n eq − S n = b n+1 − b 1 = b 1 q n − b 1 ,odnosnoodakle sledi istinitost tvrdjenja.S n (q − 1) = b 1 (q n − 1),Definicija 2. Niz je opadajući kada je a 1 > 0 i q ∈ (0, 1) ili kada je a 1 < 0,a q > 1. Niz je rastući kada je a 1 > 0 i q > 1 ili kada je a 1 < 0, a q ∈ (0, 1).3 Primene geometrijskog niza u ekonomijiJednu od najčešćih primena geometrijskog niza pronalazimo u ekonomiji, prvenstvenokod složenog kamatnog računa. Novac stavljen u banku nazvaćemoglavnica (C), godišnju kamatnu stopu ćemo obeležiti sa p, a iznos kamatesa I. Godišnji iznos kamate je I = C·pC·p100, a nakon n godina iznosiće I = n100 .Glavnica C na kraju n-te godine iznosiC + I = C + n Cp pn= C(1 +100 100 )2

4 Zenonovi paradoksiZenon(490-430 p.n.e.) bio je predsokratovski grčki filozof, koji je pripadaoelejskoj školi. Poznat je po svojim paradoksima:1. Ako neko telo treba da predje putanju od tačke A do ta/v cke B, ondaono mora da predje i tačku B 1 koja se nalazi na sredini te putanje.Takodje, ono mora da predje i polovinu rastojanja AB 1 . Odavde zaključujemoda je kretanje nemoguće jer svako rastojanje ima svojupolovinu, tj. svaka polovina ima svoju polovinu.2. Drugi paradoks se odnosi na Ahila i kornjaču. Ahil se nalazi u tačkiA, a kornjača u tački K, 100m ispred njega (data joj je prednost).Ahil trči 10 puta brže, ali kada on stigne do tačke K, kornjača će sepomeriti u tačku K 1 . Kada Ahil stigne u tačku K 1 , kornjača će seodmaći od njega u neku tačku K 2 , i tako redom. Odatle zaključujemoda Ahil nikada neće stići kornjaču.Objašnjenje za ove paradokse dao je Arhimed, pre 212. godine p.n.e,korišćenjem beskonačnog geometrijskog niza. Suma beskonačnog geometrijskogniza se računa po formuli:a∞∑n∑aq n = lim a aq n a(1 − q n+1 )= lim= an→∞ n→∞ 1 − q 1 − q ,n=0n=0gde je a početni član niza, a q količnik (0 < q < 1)Ovo se odnosi samo na opadajući geometrijski niz (|q| < 1)Za drugog paradoksa tiče, ako se kornjača kreće konstantnom brzinomv, ima prednost od d metara. Ahil trči brzinom xv i da bi došao do tačke K 1treba mu dxv vremena, dok kornjača za to vreme prelazi d x. Da bi dostigaokornjaču, Ahilu je potrebnodv∞∑( 1 x )n =n=0dv(x − 1) .Ovo je konačna vrednost izražena u sekundama, tako da zaključujemo da ćeAhil dostići kornjaču.4