Reakcje i siły wewnętrzne

Obciążenie ciągłerównomierneMechanika teoretycznaWykład nr 2Wyznaczanie reakcji.Belki przegubowe.Ramy.Siły wewnętrzne.Obciążenie ciągłetrójkątneH AR BqV Alql/22l/ 3 l/3q∑∑∑X : H = 0A1Y : VA+ RB− q⋅l= 02MA1 2: RB⋅l− q⋅l⋅ l = 02 331• Miara wypadkowej obciążenia rozłożonegoliniowo równa jest polu figury opisującejobciążenie i powinna zostać przyłożona wśrodku ciężkości tej figury.H AV Aqqlqll/2 l/2R B∑∑∑Obciążenie ciągłedowolneH AR Bq(x)V Ax0lWl-x0∑∑∑X : H = 0AY : V + R − q⋅l= 0MAAX : H = 0Bl: RB⋅l− q⋅l⋅ = 02AY : V + R −W= 0MWxAAl= ∫0l∫= 00B: R ⋅ l − W ⋅ x = 0 0Bqq( x)dx( x)W⋅ x dx24Obciążenie ciągłemomentemPrzegubH AV AmmlmllR B∑∑∑X : H = 0AY : V A+ R = 0MAB: R ⋅l− m⋅l= 0B• Połączenie elementów prętowych w takisposób, że mogą się one swobodnie obracać(nie powstaje moment mogącyprzeciwdziałać obrotowi).• Uzyskuje się dodatkowy punkt, w którymmoment wewnętrzny jest równy zero.• Moment w przegubie od sił zewnętrznychznajdujących się po jednej ze stronprzegubu równy jest 0.56Podział ramy w przegubiePChABllPPR AR CR CR B =R CR BDodatkowe równaniedla przegubuhPPH AV AlV CH ClH BV B∑∑∑X : H + H + =Y : V A+ V = 0MCzwarte równanie:AA BP 0BB2l− P⋅hH C: V ⋅ = 07H AV AR CR A8∑MlC: V ⋅l− H ⋅h= 0AalboA∑MpCV C: V ⋅l+ H ⋅h= 0BBH BV B

Belki przegubowe –rozkład na belki prosteAllPBl l llHPAR BV AAReakcje – belkiprzegubowe (1)lBlqCDBelki proste – równaniarównowagiC Dq2R DH Cq V CDPCH A AH CBCV ClllVq V CRADR BH C∑ X : H A− HC= 0C∑Y: VA+ RB−VC− P − q ⋅l= 09M : R ⋅ 2l− P ⋅l− q ⋅l⋅ 2,5l−V⋅3l= 010A BC∑∑∑∑X : H = 0CY : VC+ RD− q ⋅l= 0lM : R ⋅l− q ⋅l⋅ = 0AH A ADBpllC∑ MC: RD⋅l− q ⋅l⋅ = 0 ⇒ RD= q ⋅ll l l22V AR BR D ∑ MA: RB⋅ 2l+ RD⋅ 4l− P ⋅l− q ⋅2l⋅3l= 0 ⇒∑ X : HA= 0− RD⋅ 4l+ P ⋅l+ q ⋅ 2l⋅3lP P⇒ RB== −2RD+ + q ⋅3l= + q ⋅ 2l2l2 2∑Y: VA+ RB+ RD− P − q ⋅2l= 0∑Y: VA+ RB+ RD− P − q ⋅ 2l= 0 ⇒P l P l∑ MA: RB⋅ 2l+ RD⋅ 4l− P ⋅l− q ⋅ 2l⋅3l= 0⇒ VA= P + q ⋅2l− RB− RD= P + q ⋅2l− − q ⋅ 2l− q = − q2 2 2 2plMC: RD⋅l− q ⋅l⋅ = 01112∑P2Podstawienie danychqRozwiązanie∑X : H = 0Reakcje – belkiprzegubowe (2)H CV CCqlDq = 5kN/mP = 10kNl = 2mH A= 0qH AM AR Bl 2mR D= q⋅= 5kN/ m⋅= 5kN22V Al l lP 10kNR B= + q⋅2l= + 5kN/ m⋅2⋅2m= 25kN2 2V A10kN2m= − 5kN/ m⋅= 022∑X : H = 0A1314Wypadkowa obciążeniatrójkątnego½q·3lqq’Suma momentówwzględem przegubuqq′q=l 3l⇒qq′=3=½( qq - ’)·2lq- q’q’·2l½( qq - ’)·2lqq’H AM AR BV A∑∑l l l1Y : VA+ RB− q ⋅3l= 021MA: RB⋅ 2l− MA− q ⋅3l⋅2l= 0215q’q’·2l+∑MpCq’M AR BC2·2l/3V A llH A12l: RB⋅l− q′⋅2l⋅l−=23l( q − q′) ⋅ 2l⋅ 2 02l3 /16

RozwiązaniePodstawienie danych2∑ X : HA= 0p q 2 1 2q8l∑ MC: RB⋅l− ⋅2l− ⋅ = 03 2 3 32 8 14⇒ RB= ⋅ql+ ⋅ ql = ⋅ ql3 9 91∑Y: VA+ RB− q ⋅3l= 023 14 1⇒ VA= ⋅ ql − ⋅ ql = − ⋅ ql2 9 181∑ MA: RB⋅2l− MA− q ⋅3l⋅ 2l= 0214 2 2 1 2⇒ MA= ⋅ 2ql− 3ql= ⋅ ql99Belki przegubowe (3)17q = 10kN/ml = 1,5mH A= 01 1V A= − ⋅ ql = − ⋅10kN/ m⋅1,5m= −0,833kN18 1814 14R B= ⋅ql= ⋅10kN/ m⋅1,5m= 23, 333kN9 9M 1 2 1A= ⋅ ql = ⋅10kN/ m⋅259 9( 1,5m) = 2, kNmBelki proste – równaniarównowagi18• Sąsiadujące przegubyqqmA B C DE Fl l l l l l lqqmH AV AR BR ER FA B C DE Fl l l l l l l2qPα2qPα19• 9 niewiadomych – 9 równańq∑ X = 0 H C H DC D∑Y = 0V C V Dl∑ MC= 02qV C V D q qmH A H CH DA B C DE Fl l ll l lV AR BR ER F∑ X = 0 ∑Y = 0 M = 0 ∑ X = 0 ∑Y = 0 ∑ MD= 0∑ A20Pα∑∑∑∑∑Reakcje – belkiprzegubowe (3)2qqqPmHαAA B C DE Fl l l l l l lV AR BR ER FX : HA− P cosα= 01Y : VA+ RB+ RE+ RF− q ⋅ 4l− q ⋅ 2l− Psinα = 021 ⎛ 2 ⎞MA: RB⋅ 2l+ RE⋅ 5l+ RF⋅ 6l− m ⋅ 2l− q ⋅ 4l⋅ 5l− q ⋅ 2l⋅ ⎜ 5l+ 2l⎟ − P sin α ⋅ 7l= 02 ⎝ 3 ⎠lMC: VA⋅3l+ RB⋅l+ m ⋅2l= 0p1 ⎛ 2 ⎞MD: RE⋅ l + RF⋅ 2l− q ⋅ 3l⋅ 1,5 l − q ⋅ 2l⋅ ⎜ l + 2l⎟ − P sin α ⋅ 3l= 02 321⎝ ⎠RozwiązanieSąsiadujące przeguby –łatwość rozwiązania• Równania względem sąsiadującychprzegubów lepiej zapisać z tej samejstrony.∑ X : HA− P cosα= 01∑Y: VA+ RB+ RE+ RF− q ⋅ 4l− q ⋅ 2l− Psinα = 021 ⎛ 2 ⎞∑ MARB⋅ 2l+ RE⋅ 5l+ RF⋅ 6l− m ⋅ 2l− q ⋅ 4l⋅ 5l− q ⋅ 2l⋅ ⎜ 5l+ 2l⎟ − P sin α:2 ⎝ 3 ⎠⋅ 7l= 0lMC: VA⋅3l+ RB⋅l+ m ⋅2l= 0p1 ⎛ 2 ⎞MD: RE⋅ l + RF⋅ 2l− q ⋅ 3l⋅ 1,5 l − q ⋅ 2l⋅ ⎜ l + 2l⎟ − P sin α ⋅ 3l= 02 ⎝ 3 ⎠l122MD: VA⋅ 4l+ RB⋅ 2l+ m⋅2l− q ⋅l⋅ l = 02∑∑∑Zasady pisania dodatkowychrównań dla przegubów (1)P = 10kNq = 5kN/ mm = 5kNm/ml = 1mH A= 5kNV A= −6, 25kNR B= 8, 75kNR E= 2, 173kNR F= 28, 987kN23• Dodatkowe równanie względemprzegubu musi wykorzystywaćwłasność przegubu, tj. że moment wprzegubie równy jest 0, a więcdodatkowe równanie nie może byćzwykłą sumą momentów względemprzegubu, a musi być sumąmomentów od sił z jednej stronyprzegubu.24

Zasady pisania dodatkowychrównań dla przegubów (2)Inne rodzaje obciążeń• Każdy przegub musi zostaćwykorzystany co najmniej jeden raz.• Jeżeli chcemy zapisać równanie dlaprzegubu z drugiej strony, tozastępuje ono jedno z równańpodstawowych (sumę momentówwzględem dowolnego punktu).• Obciążenie osiowe rozłożone wzdłuż pręta.• Obciążenie pionowe na pręcie ukośnym:– intensywność na jednostkę rzutu;– intensywność na jednostkę długości pręta.l2q ⋅2q 2hhhq2q ⋅ l +hq 2h2 ⋅2q/2Reakcje – ramatrójprzegubowa (1)q25Reakcje – ramatrójprzegubowa (2)ql/2l26hhhPMhhhPH AHAB BV BV AlClM∑∑∑∑X : H − H + P = 0AY : V + V − q ⋅l= 0ABB⎛ 1 ⎞MB: VA⋅ 2l+ P ⋅ h − q ⋅ l ⋅ ⎜l+ l ⎟ + M = 0⎝ 2 ⎠pM : V ⋅l− H ⋅3h− M = 0CBBll2728Reakcje – ramaprzegubowa (1)Reakcje – ramaprzegubowa (2)hhhαP2qMqhhCPαh M AH AV AA2qMlBR Bq∑∑∑X : H + P cosα= 0− 2q⋅AY : V + RMAA+ 2q⋅: MB2 2l + hA+ q ⋅ 2h⋅l− R− Psinα +− q ⋅ 2h= 0+ P ⋅cosα⋅ h + M +2 2l + hBl⋅ +2⋅l= 0l29∑MpC: RB⋅l− q ⋅2h⋅l− 2q⋅2 2l + hl⋅ = 0230Rama nawowaRama nawowa –równania równowagihhhqlPqllMql31hhh∑∑R AAMMpGlEqPEqGFMq∑∑X : H + H + P = 0BY : R + VAB− q ⋅l− q⋅2l− q ⋅l= 0: VC+ V⋅l+ VC+ RH BHBCCDl− P ⋅ 2h− M − q ⋅l⋅ +l V Bll V Cl R D2− q ⋅ 2l⋅ 2l− q ⋅l⋅3,5l= 0l: VC⋅l+ HC⋅3h+ RD⋅2l− q ⋅l⋅ − M − q ⋅l⋅1,5l= 02lpl: RA⋅l− q ⋅l⋅ = 0 ∑ MF: RD⋅l− q ⋅l⋅ = 022∑MABCD+⋅3l+ RD⋅4l+32

hhRama ze ściągiem –reakcjepodporowe (3 niewiadome)P∑∑∑2qqllX : H + P = 0AY : V + R − q ⋅l− 2q⋅2l= 0MAABMl: RB⋅2l− P ⋅ h − M − q ⋅l⋅ − 2q⋅2l⋅l= 02hhPH AV AA2qDqlClEBR B33MhhSiły w ściągu – czterydodatkowe równaniaPH A∑V AMApC2qV DHDlClV EBR BMHEV Dl lD E D E∑∑∑X : H D− H = 0Y : VD+ VE− q⋅l= 0lMD: VE⋅2l− q ⋅l⋅ = 02l: VE⋅l− HE⋅h− RB⋅l+ M + 2q⋅l⋅ = 0234H DqEH EV EhhRama ze ściągiem – 7niewiadomych∑∑∑∑PH AV AX : H − H + H + P = 0ADY : V + R −V−V− 2q⋅2l= 0AA2qV DHDlBDCEElV EBR B∑∑∑X : H D− H = 0EY : VD+ VE− q⋅l= 0lMD: VE⋅2l− q ⋅l⋅ = 02MA: RB⋅2l− P⋅h− M − 2q⋅2l⋅l−VE⋅2l− HE⋅h+ HD⋅h= 0plMC: VE⋅l− HE⋅h− RB⋅l+ M + 2q⋅l⋅ = 02MHEV Dl lD E D EPrzeguby wielokrotne• Przeguby, w których łączą się ze sobąwięcej niż dwa pręty ze swobodą obrotuwzględem pozostałych prętów.• Pozwalają na zapisanie więcej niż jednegododatkowego równania równowagi.H Dq35H EV EhhPrzeguby pojedyncze• Przeguby, w których jeden pręt łączysię z drugim ze swobodą obrotu.• Pozwala na zapisanie jednegododatkowego równania (sumymomentów względem przegubu od siłna jednej części konstrukcjioddzielonej przegubem).Rama z przegubemdwukrotnymMqPhhMR AqPH BM BD36R CStopień statycznejwyznaczalności• Stopień zewnętrznej statycznejwyznaczalności n:– Belka: n=r-g-rs;– Rama: n=r+3o-g-rs;– Kratownica: n=r-rs lub n=p-2w.• Oznaczenia:– r–liczba reakcji;– g – liczba przegubów pojedynczych;– o – liczba pól zamkniętych;– rs=3 – liczba równań statyki;– p – liczba prętów;37∑∑∑∑llX : HB+ P = 0Y : RA+ VB+ RC− q⋅2l= 0: l lM02 2=BRA⋅l+ MB− RC⋅l+ M − q ⋅l⋅ + q ⋅l⋅ + P ⋅ hplllMD: RC⋅l− q ⋅l⋅ = 0 ∑ MD: RA⋅l− q ⋅l⋅ + M = 022Stopień statycznejwyznaczalności• Określenie stopnia statycznejwyznaczalności odnośnie do reakcji:–Układ jest statycznie wyznaczalny,jeżeli współczynnik n = 0;–Układ jest statycznie niewyznaczalny,jeżeli współczynnik n> 0;–Układ jest geometrycznie zmienny,jeżeli współczynnik n< 0.lV Bl38– w – liczba węzłów.4039

Sposób podparcia astatyczna wyznaczalność• Nie zawsze stopień statycznejwyznaczalności n=0 gwarantuje statycznąwyznaczalność.• Niewłaściwe rozmieszczenie podpór możepowodować, że układ będzie geometryczniezmienny (np. reakcje równoległe –płaszczyzna przesuwu) lub chwilowogeometrycznie zmienny (reakcjeprzecinające się w jednym punkcie –Układy geometryczniezmienne (przykłady) (1)• Niedostateczna liczba podpór.• Belka na trzech podporachprzesuwnych.• Trzy niepodparte przeguby obok siebie.chwilowy środek obrotu).4142Układy geometryczniezmienne (przykłady) (2)Siły wewnętrzne (1)• Belka z niepodpartym przęsłemprzegubowym.• Trzy reakcje kratownicy przecinające sięw jednym punkcie.• Mamy bryłę materialnąobciążoną układem sił(siły zewnętrzne,reakcje), będących wrównowadze.Rozetniemy myślowotę bryłę na dwie częściprzekrojem α-α .PαqPPα4344Siły wewnętrzne (2)• Aby fragment bryły był w równowadzemusimy zastąpić wzajemne oddziaływaniefragmentów brył przez przyłożenie w sposóbciągły do płaszczyzny α-α układu sił.q PP qSiły wewnętrzne (3)• Siły te można zastąpić przez ich wypadkowe Wi M, przyłożone w dowolnym punkcieprzekroju α-α. W przypadku naszych rozważańpunktem tym będzie środek przekroju.q PP qMWP45WMP46Siły przekrojoweM• Wypadkową siłę W i moment możnawyrazić przez ich składowe:W N + T y+ T z= M = Mx+ My+ MzW.T yT zM x M yNNazwy sił przekrojowych• Wielkości te nazwano:–N –siła podłużna (normalne) –wywołujerozciąganie lub ściskanie;–Ty, Tz (lub Qy , Qz) –siły poprzeczne(tnące) –wywołują ścinanie;–Mx–moment skręcający –wywołujeskręcanie;–My, Mz –momenty zginające –wywołujązginanie.M z48M47

Przykładααl/2 l/2M AααH APPSiły wewnętrzne w układachpłaskich –definicje (1)• Siła normalna (osiowa, podłużna) –wzajemne oddziaływanie częścikonstrukcji przeciwdziałające ichprzesunięciu się wzdłuż osi pręta wrozważanym punkcie.V AαM αN αN αM αT ααPN αN αM AH AαT ααT αM αM ααP49H AM AαV AT αNα= P cosα50V ASiły wewnętrzne w układachpłaskich –definicje (2)• Siła poprzeczna (tnąca) – wzajemneoddziaływanie części konstrukcjiprzeciwdziałające ich przesunięciu siępoprzecznie do osi pręta wrozważanym punkcie.Siły wewnętrzne w układachpłaskich –definicje (3)• Moment zginający – wzajemneoddziaływanie części konstrukcjiprzeciwdziałające ich wzajemnemuobrotowi w rozważanym punkcie.αM αN αN αM αT ααPM AH AαT ααV AT αM αN αN αM ααPTα= P sin α51V AH AM AαT αl/2 l/2lMα= −P sin α252Siły wewnętrzne –konwencja znakówSiły wewnętrzne –wykresy (1)• Siła normalna rozciągającapręt jest dodatnia.• Siła poprzecznapowodowana przezobciążenie działające polewej stronie przekroju dogóry lub po prawej stroniedo dołu jest dodatnia.• Moment rozciągającywłókna dolne jest dodatni.N αM αT ααααT αM αN α• Kreskowanie (rzędne wykresu) należyzaznaczać prostopadle do osi pręta.• Rzędne dodatnie wykresów siłnormalnych i tnących odkłada sięzazwyczaj u góry.• Wykresy sił podłużnych i poprzecznychrysujemy ze znakiem.spody (włókna dolne) 5354Siły wewnętrzne –wykresy (2)• Wykresy momentów nie muszą byćznakowane, ale należy zwracać uwagę, abyrzędne momentu odkładać po stroniewłókien rozciąganych.• Rzędne dodatnie wykresu momentówzginających odkłada się u dołu (momentdodatni, gdy rozciągane są włókna dolne).• Wykres momentu wskazuje jak odkształcisię pręt i gdzie, w poszczególnychelementach, włókna są rozciągane.55Wykresy siłwewnętrznychPlsinααl+αPcosαPsinαPN α[kN]+ T α [kN]- M α [kN m]56

Punkty charakterystyczne,przekroje• Ze względu na koniecznośćmodyfikacji równań sił wewnętrznych:–w belkach i ramach –końce prętów,punkty przyłożenia sił:–czynnych: siła skupiona, moment skupiony,początek lub koniec obciążenia ciągłego;–biernych: punkty podporowe;–w ramach –dodatkowo węzły (połączeniaprętów o różnej krzywiźnie).Przegub• Przegub jest jedynie punktemkontrolnym (moment równy jest 0).Nie powoduje on koniecznościwprowadzenia dodatkowegoprzekroju.5758Siła skupionaMoment skupionyαPxPVA= RB= HA= 02l/2 l/2N α 1= 0 Nα2= 0PPα 1αP2Tα1= VA= Tα2= VA− P = −H A22PM = VA ⋅ x = ⋅ x x = 0 Mα1= 0α1V A2R B l Plx = Mα1=N α[kN]2 40⎛ l ⎞Mα2= VA⋅ x − P⎜x − ⎟ =P/2⎝ 2 ⎠+ T α [kN]P-⎛ l ⎞ ⎛ l x ⎞= ⋅ x − P⎜x − ⎟ = P⎜− ⎟P/22 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠M α [kN m]l Plx = Mα2=+2 459Pl/4x = l Mα2= 0Obciążenie ciągłerównomierneH AV Aql/2x+αql0+ql 2 /8Obciążenie ciągłemomentemxαmR B-qlVA= RB= HA= 02N α= 0qlTα= VA − qx = − qx2qlx = 0 Tα=2N α[kN]lx =2Tα= 0T α[kN]x = lqlTα= −2ql/22x ⎛ l ⋅ x x ⎞Mα= VA⋅ x − q ⋅ x⋅= q⋅⎜ −⎟2 ⎝ 2 2 ⎠M α [kN m]x = 0 M = 0αl q ⋅lx = Mα=2 82x = l M = 0VA= −mVB= m HA= 0N αH AαV AR B MlαN α [kN]0= 0T = VA = −mα61= V ⋅ x + m⋅x = −mx+ mx = 0AH AV Aα 1 M α 2xR Bl/2 l/2N α[kN]0-- M/2M/2+M/lT α[kN]M α[kN m]M MVA= − RB= HA= 0l lN αN 01= 0α 2=M MTα1 = VA = − Tα2= −l lMMα1= VA ⋅ x = − ⋅ xlx = 0 M = 0lx =2Mα1α1M= −2⎛ x ⎞Mα 2 = VA ⋅ x + M = M ⋅ ⎜1− ⎟⎝ l ⎠l Mx = Mα2=2 2x = l M = 0Obciążenie ciągłe liniowozmienneH AV Aql/6x+αql0+R B-α 2qql qlVA= RB= HA= 06 3N α= 0qq(x)= ⋅ xl21 ql 1 qxTα= VA− q(x)⋅ x = −2 6 2 lN α[kN]x = 0qlTα=6qlx = l Tα=T 3α [kN]1 xMα= VA⋅ x − q(x)⋅ x ⋅ =ql/32 3M α [kN m]ql 1 qx x ql 1 q= ⋅ x − ⋅ x ⋅ = ⋅ x − x6 2 l 3 6 6 lx = 0x = lM = 0αM = 0Warunki różniczkowe (1)• Zależności różniczkowe między Mα, Tα,Nα i pz(x), px(x), m(x).• Aby wyznaczyć te zależności rozważymybelkę swobodnie podpartą, obciążonąobciążeniami ciągłymi i ciągłym momentemna fragmencie belki.α606230-mT α [kN]M α[kN m]6364

Warunki różniczkowe (2)Z tej belki wycinamy fragment przedstawiony narysunku.Warunki różniczkowe (4)• Po odrzuceniu wielkości małej wdxporównaniu z pozostałymi p z(x)dx ,2otrzymujemy:dN α p x xdx=− ( )dT α pzxdx=− ( )dM• Z powyższych równań wynika, że:d Mdx2α α=2dT= − pz( x)dxZależności międzyMa , Ta oraz q (2)dxα65= T + mx ( )• Jeżeli w przedziale nie ma obciążeniaciągłego poprzecznego i nie występujeobciążenie ciągłe momentem towykres momentu jest linią prostąnachyloną do pręta.dMαP= T α( x) = C1+Pl/4M α[kN m]Zależności międzydxα67( x) = C1 ⋅ x C2M +α69Warunki różniczkowe (3)• Suma rzutów wszystkich sił na oś poziomą x :∑ X = 0 − N α + p x ( xdx ) + ( N α + dNα) = 0• Suma rzutów wszystkich sił na oś pionową z :∑ Z= 0 − Tα + p z ( xdx ) + ( Tα + dTα) = 0• Suma momentów wszystkich sił względem punktu O :∑ M o = 0M Tdx m xdx p xdx dx α + α + x ( ) − z ( ) − ( Mα + dMα) = 02Zależności międzyMa , Ta oraz q (1)• Jeżeli w przedziale nie ma obciążeniaciągłego poprzecznego to wykres siłtnących jest stały, równoległy do osipręta.dT α= − p( x)=PdxT ( x)C =P/2+ T α[kN]-P/2Zależności międzyMa , Ta oraz q (3)α= 10const• Jeżeli w przedziale działa stałeobciążenie ciągłe to wykres siłtnących jest nachylony do pręta,rzędne maleją wraz ze wzrostem x.ql/2+q-ql/2T α [kN]Zależności międzydTα= −qdxT = −qx+α6668C 170Ma , Ta oraz q (4)• Jeżeli w przedziale działa stałeobciążenie ciągłe i nie maobciążenia ciągłego momentem, towykres momentów zginającychjest parabolą (krzywą drugiegostopnia).71Ma , Ta oraz q (5)• Jeżeli w przedziale zeruje sięrównanie siły tnącej to wykresmomentów osiąga ekstremum wtym punkcie.qql/2++2ql /8-ql/2T α[kN]M α[kN m]72

Zależności międzyMa , Ta oraz q (6)• Jeżeli obciążenie ciągłe jestskierowane do dołu, to wypukłośćwykresu jest skierowana w dół iodwrotnie.q+2ql /8M α[kN m]Zależności międzyMa , Ta oraz q (8)2d Mα= − p( x) = −q2dxdMα= −qx+ C 1dx1M +22( x) = − qx + C1xC2• Jeżeli w przedziale działa obciążenieciągłe liniowe to wykres momentówzginających jest krzywą trzeciegostopnia.73Zależności międzyMa , Ta oraz q (7)• Jeżeli w przedziale działa obciążenie ciągłeliniowo zmienne i nie ma obciążenia ciągłegomomentem to wykres sił poprzecznych jestparabolą. W punkcie, gdzie obciążenie ciągłesię zeruje parabola jest styczna do osi dopręta.p x = C x +ql/6+-q( )2ql/3T α [kN]Zależności międzyMa , Ta oraz q (9)1C1T +22( x) = − C1x− C2xC3• Jeżeli równanie sił tnących zeruje sięw przedziale, to wykres momentówosiąga ekstremum w tym punkcie.q74ql/6+-ql/3T α [kN]+M α[kN m]7576Zależności międzyMa , Ta oraz q (10)• Jeżeli obciążenie ciągłe jestskierowane do dołu, to wypukłośćwykresu jest skierowana w dół iodwrotnie.p ( x) = C1x+ C2+Zależności międzyq2d Mα= − p2dxdM[kN m]α1 2= − C1x− C2x+ Cdx 21 3 1 2M x = − C1x− C2x+ C3x+ C6 277M αMa , Ta oraz q (12)( x) = −C1x−C2( )43Zależności międzyMa , Ta oraz q (11)• Jeżeli na pręcie występuje siła skupiona,to na wykresie sił poprzecznych wystąpi„skok” o tą wartość, a na wykresiemomentów zginających wystąpi„załamanie” wykresu.P/2P+ T α[kN]-P/2[kN m]+Pl/4Zależności międzyMa , Ta oraz q i m (13)M α78• Jeżeli na pręcie występuje momentskupiony, to na wykresie momentówzginających wystąpi „skok” o wartośćtego momentu.M- M/2M/2+M α[kN m]79• Jeżeli w przedziale działa obciążenieciągłe momentem to wykresmomentów zginających jest liniowy(liniowo zmienny lub w szczególnymprzypadku stały, gdy Tα=-m).ml-mdMdxαm0= T + mx ( )αM α[kN m]80

Zależności międzyMa , Ta oraz q (14)Obciążenie Wykres T Wykres MBrak obc. ciągłego stały prostaObc. ciągłe stałe prosta parabola 2 oObc. ciągłe trójkątne parabola 2 o krzywa 3 oSiła skupiona skok załamanieMoment skupiony – skokObc. ciągłe momentem – prosta81