predavanje-5-6 2011 deformaciona metoda

DR MIOMIR JOVANOVIĆ – STRUKTURNA ANALIZA 2011.Predavanje-5Letnji semestar 2011FEM - metoda deformacija 1Jednačine linearne teorije elastičnosti u FEMVeze izmedju elemenata vektora deformacija i vektora pomeranja umogu se uspostaviti posmatranjem dvodimenzionog pravougaonika ABCD,koji nakon deformisanja zauzima formu A'B'C'D'. Nastale deformacije sudvojake prirode: uzdužne deformacije su posledica promene dužina, dok sudeformacije klizanja posledica rotacije strane pravougaonika prema xodnosno y osi. Ukoliko se analogno veze prošire na prostorni problem, tadaslede relacije (3.4.5), slika 3.27:u1u2u3 xx , yy ,zz ,(3.4.5)xyz1 u1u2 1 u3 u2 1 u1u3 xy , yz, xz 2 y x2 y z 2 zxSlika 3.27 Ravanska pomeranja i njihove deformacijeMatrica tenzora deformacije E i vektor deformacija :1TEORIJA PROJEKTOVANJA KONSTRUKCIJA RAČUNAROM 1994

DR MIOMIR JOVANOVIĆ – STRUKTURNA ANALIZA 2011.Metoda deformacije razmatra oblast elastičnog kontinuuma izloženog dejstvuzapriminskih i površinskih sila. Nepoznate veličine su pomeranja čvornihtačaka (u1, u2 i u3) mreže konačnih elemenata. Nepoznata pomeranja setako pretpostavljaju da zadovolje konturne i granične uslove. Ovi uslovi sedefinišu varijacionim principima. Složenost MKE je veća jer ova metoda netretira samo štapove, već mnoštvo konačnih elemenata čiji se uticaji prenosedodirom po linijama i površinama. Složenost unutrašnje distribucijepomeranja opisuju funkcije oblika (shape function).Posmatrajmo ravanski dvodimenzionalan konačni element, slika 3.28a, koji jedefinisan sa K čvornih tačaka na konturi (spoljašnji čvorovi). Unutar konačnogelementa mogu postojati i dodatni čvorovi čiji je ukupan broj označen sa R.Slika 3.28 Opšti model dvodimenzionog konačnog elementa:a) deo mreže sa unutrašnjim i spoljašnjim čvorovimab) četvorougaoni konačni elementBroj nezavisnih parametara pomeranja u čvoru zavisi od tipa konačnogelementa i kod dvodimenzionih, čvor može da sadrži 23 parametra, kodtrodimenzionih 3 ili više (u1,u2,u3...uS). Broj nepoznatih parametara u čvoruje S iz čega se definiše vektor nepoznatih uK u čvoru qK :qKu uu123(K)(3.4.12)Vektor osnovnih parametara pomeranja jednog konačnog elementa q, uglobalnom koordinatnom sistemu, definiše se subvektorima pomeranjačvornih tačaka qK :

DR MIOMIR JOVANOVIĆ – STRUKTURNA ANALIZA 2011.U prethodnoj jednačini Ai je interpolaciona matrica a matricainterpolacionih koeficijenata. Koeficijenti vektora (18) su nepoznati ioni se odredjuju za svaki konkretno zadat tip konačnih elemenata.VEKTOR POMERANJA KONAČNOG ELEMENTA ima oblik:u11 u12u21 u22q (3.4.17)u31u32 u41 u42VEKTOR POMERANJA ČVOROVA JEDNOG ELEMENTAPreko ukupne matrica A za sve čvorove konačnog elementa i=1K, može sedefinisati vektor nezavisnih pomeranja dvodimenzionog konačnog elementa:uuuuq uuuu1112212231324142 1 0 1 0 1 0 1 000a0a0000000b0b00000ab00001010101000a0a0000000b0b0 0 0 0 0 ab 0 0 12345678 C(3.4.18)Iz ove jednačine moguće je odrediti vektor nepoznatih konstanti : C 1 q(3.4.19)

DR MIOMIR JOVANOVIĆ – STRUKTURNA ANALIZA 2011. 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 a a 1 0 0 0 0 0 1 0 (3.4.20)bb 10 1 0 1 0 1 0C 1 abab abab 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0a a 0 1 0 0 0 0 0 1bb1 00 1 0 1 0 1 abab abab Smenom iz (3.4.19) u (3.4.16) dobija se:u A A C1 q Aq qTražena matrica interpolacionih funkcija Aq je jednaka:(3.4.21)11Aq A C 0x0y0xy0010x0y 1 1 a 1b 10 abxy 0 0 0 000001 1a 1b1ab01a0 1ab00001a0000001ab0001ab000000000001ab001b 1ab00000 0000 0 1 b 1ab Uvodjenjem smena =x/a i =y/b, sledi konačna forma matrice Aq :(3.4.22)(1 )(1 ) 00(1 )(1 )(1 )00(1 )00(1 )00 (1 )A q (3.4.23)Analogno ovom postupku, moguće je odrediti pomeranja unutrašnjihčvorova konačnog elementa posredstvom matrice interpolacionih funkcija Ar :u Ar r(3.4.24)

DR MIOMIR JOVANOVIĆ – STRUKTURNA ANALIZA 2011.Ukupna pomeranja konturnih i unutrašnjih čvorova konačnog elementa su:u qA A A q + A r q rq r(3.4.25) rDiferenciranjem izraza (3.4.25) po koordinatama x, y, slede elementi matricedeformacije u kojima je L operator diferenciranja:qL A L A B q + B r q rq r(3.4.26) rVektor deformacija može se definisati kao zbir vektora početnihdeformacija 0 i vektora deformacija izazvanih opterećenjem. Početnedeformacije su najčešće izazvane termičkim uticajima i definišu se prekokoeficijenta toplotnog širenja temperaturne promene t i Kronecker-ovogsimbola ij: 0 , 0,0 ij t,ijij1 0iijj(3.4.27)Uvodjenjem deformacija (3.4.27) u potencijal konačnog elementa (3.4.3)sledi:e= U + Vv12 T D dvvFT u dvspT u ds(3.4.28)e v12TDdvv12T0D0dvv12TD0dvv12T0Ddv FvTudv psTuds(3.4.29)Ova relacija se dalje može uredjivati primenom jednakosti:T D 0 T0 D

DR MIOMIR JOVANOVIĆ – STRUKTURNA ANALIZA 2011.e1 2vT D dv vT D 0 dv1 2vT0 D 0dv FvT u dv psT u ds(3.4.30)Uvodjenjem relacija (3.4.25) i (3.4.26) u (3.4.30) sledi:e 12v1v 2TTTBq q + Br r D Bq q + Br rBq q + Br r D 0 F Aq q + Ar rTT D dvp A q + A r ds (3.4.31) 00sqPojedini integrali se u relaciji (3.4.31), mogu označiti simbolima:r dvkkqqrq BvvTqTr B D B D Bqq dv, dv,kkqrrr Bv BvTqTr D B D Brr dv, dv,C012 vT0 D 0 dv,(3.4.32)QQqr AvvTqTr A F dv F dv Bv BvTqTr D D 00 dv As dv AsTqTr p ds p ds(3.4.33)Na osnovu toga potencijal je:e12TTTTT Tq kqq q q kqr r r k rq q r krr rq Qq r Qr C0S obzirom na jednakostkonačnog elementa:e12 qT kqq q rTqT k krqqr q r r12 rTT k krqrr q r - Q(3.4.34a), potencijalna energijaTq q QTr r C( 3.4.34b)Prva tri člana ove jednačine predstavljaju unutrašnju energiju deformacije i zapisana suu obliku kvadratne forme nepoznatih pomeranja q i r. Nepoznata pomeranjaunutrašnjih čvorova nemaju status osnovnih nepoznatih veličina pa ih je radijednostavnijeg operisanja potrebno isključiti.To se izvodi primenom stava o stacionarnosti funkcionala:0

DR MIOMIR JOVANOVIĆ – STRUKTURNA ANALIZA 2011.reTkrq qkrr r Qr0,rk1rrQr krqq(3.4.35)Smenom r (3.4.35), u (3.4.34b), sledi izraz za potencijalnu energiju konačnogelementa:12TT e = q Ke q Qe q Ce(3.4.36)U ovoj jednačini Ke je matrica krutosti elementa, Qe vektor unutrašnjih silau čvorovima elementa a Ce ukupna konstanta integracije. Te veličine sudate izrazima (3.4.37a):Ke kqq kTrq k1rr krq, Qe Qq- kTrq k1rr Qq,Ce C0-1 Q2Tr k1rr Qr(3.4.37-a)U slučaju da u konačnom elementu nema unutrašnjih čvorova, izraz zamatricu krutosti se znatno pojednostavljuje i ima formu:KekqqvBTDB dv(3.4.37b)Predavanje-6Letnji semestar 2011Jednačine sistema konačnih elemenata - jednačine strukturePotencijalna energija sistema konačnih elemenata može se pokazati kao zbirpotencijalnih energija pojedinih konačnih elemenata (3.4.36). Za konstrukcijusa (M) konačnih elemenata, ta suma se može predstaviti:eM e=1eM TT TT=1 qe Ke qe Qe qe Ce1 q K q Q q Ce(3.4.38) 2 2e=1Me1

DR MIOMIR JOVANOVIĆ – STRUKTURNA ANALIZA 2011.U jednačini (3.4.38) zajedničke veličine su: qq q q q12eM,KK 1K2KeKM , QQ Q Q Q12eM(3.4.39)K je globalna matrica krutosti nepovezanih elemenata. Kako su elementikonstrukcije povezani, u zajedničkim čvorovima jednaka su im pomeranja.Ova činjenica omogućuje eliminaciju istih nepovezanih koordinata i formiranjejednostavnijeg sistema. Radi toga se posredstvom globalnog koordinatnogsistema XYZ, definiše položaj lokalnih koordinatnih sistema elemenata.Tada u globalnom koordinatnom sistemu imamo N čvorova koje definišugeneralisana pomeranja q i generalisane sile Q povezanih koordinata:q q1Q1 q 2 Q2 (3.4.39) ,Q qe Qe q M QMZavisnost izmedju vektora pomeranja q u lokalnom koordinatnomsistemu i vektora q* u globalnom koordinatnom sistemu, može se definisati:q J q(3.4.40)Matrica J je matrica transformacije lokalnih u globalne koordinate matricaveze. Ovo se može lepo pratiti na primeru para konačnih elemenata u oblikutrouglova prema slici 3.29a.Čvorovi obeleženi sa i, j, k su čvorovi lokalnih koordinatnih sistema ačvorovi 1, 2, 3, 4 su čvorovi globalnog koordinatnog sistema. Pretpostavka jeda su lokalni koordinatni sistemi paralelni globalnom. Na osnovu primera na

DR MIOMIR JOVANOVIĆ – STRUKTURNA ANALIZA 2011.slici 3.29a, mogu se definisati vektori nepovezanih i povezanih koordinatakonačnih elemenata 1 i 2:Slika 3.29 Interpretacija povezanih i nepovezanih koordinata i trakastamatrica krutosti struktureqqqq qqqi1j1k1i2j2k2,q*qq qq1234(3.4.41)Izmedju ovih vektora se uspostavlja veza preko matrice J, prema relaciji(3.4.40). Matrica J se sastavlja na bazi šeme date uz relaciju (3.4.42),korišćenjem jediničnih matrica I i nula matrica O, drugog reda:qelement br.1qqqqelement br.2qi1j1k1i2j2k2 i I j0 k 0 i 0 j 0 k 00I0I000000I000 qIq 0q0 qI1234(3.4.42)Matrica transformacije J bi imala za posmatrani primer konačnu formuprema (3.4.43). U opštem slučaju, kada lokalni i globalni sistemi nisuparalelni, na mestu submatrica I, javljaju se matrice T, čiji članovi sukoeficijenti transformacije lokalnih u globalne koordinate.

DR MIOMIR JOVANOVIĆ – STRUKTURNA ANALIZA 2011.J 100100000000000000000000000010010000100100000000000000000000000010010000000000001001000000001001(3.4.43)Broj subblokova-vrsta (submatrica) jednak je broju nezavisnih i nepovezanihparametara u vektoru q . Broj subblokova-kolona, jednak je brojunezavisnih-povezanih parametara u vektoru q. Na osnovu ovoga,očigledno je matrica J sastavljena od blokova Jij za koje važi:I, 0,i jJ ij (3.4.44)i jSmenom (3.4.40) u izraz za funkcional konstrukcije (3.4.38) sledi oblik:=12 qT K q qT QMn1Cn(3.4.45)Matrica krutosti sistema konačnih elemenata i vektor generalisanih sila učvorovima konačnih elemenata iz prethodnog su:KJTK J,QJTQ(3.4.46)OSOBINA: Matrica krutosti konačnih elemenata K je simetrična.OSOBINA: Članovi različiti od nule su grupisani oko glavne dijagonaleprema slici 3.29b.

DR MIOMIR JOVANOVIĆ – STRUKTURNA ANALIZA 2011.OSOBINA: Trakast oblik matrice krutosti nastaje kao posledica redukcijebroja čvorova u povezanim konačnim elementima.OSOBINA: Širina trake, pojasa matrice, zavisi od maksimalne razlikenumeracije čvorova jednog elementa i broja stepeni slobode u čvoru S.Karakteristika trake matrice, pojas matrice b, izračunava se:b Nmax 1s (3.4.47)OSOBINA: Širina trake matrice utiče na brzinu rešavanja algebarskogsistema jednačina, što je slučaj sa inženjerskim zadacima. Zato označavanječvorova treba realizovati sa što manjim pojasom matrice krutosti.OSOBINA: Ovakva matrica krutosti K je singularna. To znači da sevarijacijom potencijala po nezavisno-promenljivim, dobija algebarski sistemjednačina koji je nerešiv, obzirom da nisu uvedeni granični (konturni) uslovi.Naime, uslovi oslanjanja konstrukcije definišu unutar vektora q jedan brojparametara unapred odredjenih. To su recimo pomeranja u osloncima.KONDENZACIJA: Ove parametre treba eliminisati iz vektora q, što je umatematici poznato pod pojmom kondenzacije sistema jednačina.Realizacija postupka kondenzacije se izvodi definisanjem vektora q 1nepoznatih parametara i vektora q 2 poznatih parametara. Naisti način se mogu razdvojiti i vektori generalisanih sila Q 1 i Q 2 , kojiodgovaraju vektorima generalisanih pomeranja q 1 i q 2 . Vektori q i Qse mogu predstaviti: q Q P q 1 ,Q 1 (3.4.48)q2Q2 RPri tome su u vektoru Q sadržane spoljašnje sile koje deluju u čvorovimakonstrukcije P i reakcije u osloncima R. Potencijal se prema relaciji (3.4.48),može predstaviti: 12 k M 11 k12q 1Q 1 Pq qq q + 1 2 1 2Cn21 k 22 22 n=1k q Q R(3.4.49)

DR MIOMIR JOVANOVIĆ – STRUKTURNA ANALIZA 2011.Vektori P i R definisani su u odnosu na globalni koordinatni sistem. Članovik 11 k 12 k 21 k 22 su preuredjene submatrice matrice krutosti K.Sredjivanjem izraza (3.4.49), (k 12 = k 21 ), sledi potencijal: 12M TQ Pq Q R+T T T T q1 k11q1 q1 k12 q21 q2 k 22 q2 q1 1 2 2 C2n=1n(3.4.50)VARIJACIJOM ovog izraza po nepoznatim parametrima qT i primenomstava o minimumu potencijala /q T =0 , sledi: 1 1 k12 Q1 P k12q2q (3.4.51)UZGRED: Istim postupkom se mogu odrediti generalisane sile u osloncima ina konturi, variranjem potencijala (3.4.50) po koordinati qT 2 : R k21q1 k22 q2 Q2(3.4.52)U PRAKSI: Celokupna procedura je osnova rešavanja zadataka metodomkonačnih elemenata. Ovaj glomazan postupak operisanja sa matricama jedanas zamenjen raznovrsnim postupcima direktnog rešavanja jednačinekonstrukcije (3.4.53) čime se smanjuje obim numeričkog operisanja.=12 qT K q qT QMn1Cn(3.4.53)Transformacije matrice krutosti elemenataU opštem slučaju, lokalne i globalne ose koordinatnih sistema elemenata ikonstrukcije se ne poklapaju. To uslovljava odredjivanje matricetransformacija koordinata i matrice krutosti u globalnom koordinatnomsistemu. Veza izmedju koordinata jednog čvora konačnog elementa ulokalnom koordinatnom sistemu ul i globalnom ug definiše se:ul t u g(3.4.54)U slučaju ravanskog zadatka, relacija (3.4.54) ima oblik:u 1 t11t12U1 cossinU1(3.4.55) u2 t21 t 22U2 sincosU2

DR MIOMIR JOVANOVIĆ – STRUKTURNA ANALIZA 2011.Na sličan način moguće je uspostaviti vezu za sve čvorove k. elementa:ql t qg,Tt tt(3.4.56)U matrici transformacija T, broj podmatrica t jednak je broju čvorovaelemenata. Smenom relacije (3.4.56) u (3.4.53) sledi:KKTT ql T q K= Qg= Q T qg= TT QTTK = TT K T,K qg= Qg,Qg= TTQlgde su K transformisana matrica krutosti, a Qg transformisan vektorgeneralisanih sila. Konačno, jednačina strukture:Kq = Q gGRANIČNI USLOVI: Postupak primene metode konačnih elemenata zahtevauvodjenje graničnih uslova u svaki zadatak. Rešavanje ovog dela proračuna jeosnova stabilne numeričke procedure i regularnih analiza. Granični uslovi sedefinišu iz uslova oslanjanja konstrukcija, prema izvedenim tehničkim rešenjima.Kod primene softverskih paketa, to se svodi na definisanje pojedinačnih uslovaslobode kretanja čvorova u kojima su oslonci.REDUKOVANI MODELI: Mnoge tehničke konstrukcije su simetrične. Uslučaju centričnog ili simetričnog spoljašnjeg opterećenja, moguće je izvršitimodeliranje polovine, četvrtine ili dela konstrukcije. Prednost ovih specijalnihslučajeva je što se problem racionalno opisuje malim brojem stepeni slobode,čime se i obimni zadaci efikasno tretiraju. To je slučaj sa cisternama isudovima pod pritiskom. Tu se uticaj ostalih delova konstrukcije definišeposredstvom graničnih uslova elastičnih pomeranja čvorova.DINAMIKA: Početni uslovi se primenjuju kod dinamičkih zadataka i njima sedefinišu početni položaji i početne brzine kretanja tačaka pobudjenekonstrukcije. Početni uslovi su, recimo, pomeranja, brzine i ubrzanja kodseizmičkih proračuna konstrukcija, dizalica, tornjeva, hala itd.