Zadania na Zajęcia Wyrównawcze z Matematyki Odpowiedzi do ...

Zadania na Zajęcia Wyrównawcze z MatematykiOdpowiedzi do zadań z zestawu nr 51. Oblicz pochodne funkcji f(x) = x 2 oraz g(x) = x 3 wiedząc, że pochodna funkcji wyrażasię następująco:f ′ f(x + ∆x) − f(x)(x) = lim.∆x→0 ∆xOdp.: (x 2 ) ′ = lim ∆x→0(x+∆x) 2 −x 2∆x= lim ∆x→0(2x∆x+∆x 2 )∆x= 2x.2. Wiedząc, że (sin x) ′ = cos x, (cos x) ′ = − sin x, (e x ) ′ = e x , (x n ) ′ = n · x n−1 , (ln x) ′ = 1 xoblicz pochodne funkcji:(a) f(x) = √ 2x, odp.: f ′ (x) = 1 √2x(b) g(x) = sin x cos x, odp.: g ′ (x) = cos 2 x − sin 2 x.(c) h(x) = (sin 2x) 5 ,odp.: h ′ (x) = 10 sin 4 2x cos 2x(d) j(x) = e 7x+3 , odp.: j ′ (x) = 7 e 7x+3(e) k(x) = tg x, odp.: k ′ (x) = 1cos 2 x(f) v(x) = x x odp.: v ′ (x) = x x (ln x + 1)3. Znajdź minimum funkcji f(x) = x 2 + 2 oraz maksimum funkcji g(x) = 2 − x 2 . Określ,dla jakich wartości x funkcja jest malejąca, a dla jakich rosnąca. Jaki to ma związek zwartością pochodnej? Zauważ związek między drugą pochodą a wklęsłością i wypukłościąfunkcji.Odp.: f ′ (x) = 2x → f ′ (x) = 0 dla x = 0. f ′ (x) > 0 dla x > 0; f ′ (x) < 0 dla x < 0,f ′′ (x) = 2.Jeżeli f ′′ (x) < 0 w danym przedziale to w tym przedziale funkcja jest wklęsła, a jeślif ′′ (x) > 0 to wtedy funkcja jest wypukła.Dla funkcji g otrzymujemy g ′ (x) = −2x oraz g ′′ (x) = −2, a zatem funkcja f jest wypukłaa funkcja g jest wklęsła.4. Czy funkcja f(x) = x 3 posiada ekstremum dla x = 0? Przedyskutuj różnice w zachowaniupierwszej i drugiej pochodnej dla funkcji g(x) = x 2 + 2 i f(x) = x 3 . Jak odróżnićekstremum funkcji od punktu przegięcia?Odp.: Funkcja f(x) = x 3 nie posiada ekstremum dla x = 0 ponieważ f ′′ (0) = 0, awarunkiem na ekstremum jest by f ′′ (x) ≠ 0. Natomiast jeśli f ′ (x 0 ) = 0 oraz f ′′ (x 0 ) = 0 if ′′ zmienia znak dla x 0 to wtedy funkcja posiada punkt przegięcia dla argumentu x 0 .5. Korzystając z twierdzenia de l’Hospitala:oblicz granice funkcji dla x → 0:(a) f(x) =sin 5xx , Odp.: 5(b) g(x) = e3x −3x−1sin 2 5x . Odp.: 9 50f(x)limx→x 0 g(x) = lim f ′ (x)x→x 0 g ′ (x)Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemiii informatyki na potrzeby gospodarki - WikingProjekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznegow ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKIPoddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni

6. Oblicz granicę lim x→1 ( 1twierdzenia de l’Hospitala.− 1x−1 ln x) przekształcając wyrażenie tak, by móc skorzystać zOdp: lim x→1 ( 1 − 1 ) = lim ln x−x+1x−1 ln x x→1( ) = 0 = stosujemy regułę de l’Hospitala dwa(x−1) ln x 0razy i otrzymujemy = − 1.27. Wyznacz przedziały, w których funkcja y = 1 − 24x + 15x 2 − 2x 3 jest malejąca.Odp.: Funkcja jest malejąca w przedziałach (−∞, 1) oraz (4, +∞).8. Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji y = x 3 −3x 2 +6x+2 w przedziale [−1, 1].Odp.: wartość minimalna to −8 a maksymalna +6.9. Zbadaj przebieg zmienności funkcjiOdp.: Dziedzina (−∞, +∞)Granica w −∞ oraz w +∞ wynosi 0.y = 0 dla x = 0.f(x) =5x1 + x 2 .maksimum znajduje się dla x = +1 i wynosi 5/2.minimum znajduje się dla x = −1 i wynosi −5/2.Dla x < 0 funkcja przyjmuje wartości ujemne, a dla x > 0 wartości dodatnie.W przedziałach (−∞, −1) oraz (1, +∞) funkcja jest malejąca natomiast w przedziale(−1, 1) funkcja jest rosnąca.Zadania domowe1. Proszę wykazać, że funkcja f(x) = x 5 − 5x 3 + 25x nie ma ekstremum.Odp.: f ′ (x) > 0 dla dowolnej wartosci x.2. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f(x) = x + 2 − 2 w przedziale [1, 4].xOdp.: Największa wartość funkcji w tym przedziale wynosi 5/2.Najmniejsza wartość funkcji w tym przedziale wynosi 2( √ 2 − 1).3. Zbadaj przebieg zmienności funkcji f(x) = x2 +2x+1 .Odp.: Dziedzina (−∞, +∞) z wyłączeniem −1.Granica w −∞ wynosi −∞ a w +∞ wynosi +∞.lim ∆x→−1 − = −∞lim ∆x→−1 + = +∞Funkcja nie ma miejsc zerowych.Maksimum znajduje się dla x = −1 − √ 3 i wynosi −2 √ 3 − 2.Miniumum znajduje się dla x = −1 + √ 3 i wynosi 2 √ 3 − 2.Wykres funkcji ma asymptoty: ukośną y = x − 1 i pionową x = −1.Funkcja jest rosnąca w przedziałach (−∞, −1 − √ 3) oraz (−1 + √ 3, +∞)Funkcja jest malejąca w przedziałach (−1 − √ 3, −1) oraz (−1, −1 + √ 3)Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemiii informatyki na potrzeby gospodarki - WikingProjekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznegow ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKIPoddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni