Semiotyka logiczna (2) - Zakład Logiki Stosowanej, UAM

Semiotyka logiczna (2)Jerzy PogonowskiZakład Logiki Stosowanej UAMwww.logic.amu.edu.plpogon@amu.edu.plWspominki z logikiJerzy Pogonowski (MEG) Semiotyka logiczna (2) Wspominki z logiki 1 / 21

Plan na dziśPrzypomnienie: podstawowe pojęcia logicznePlan na dziś jest nieskomplikowany. Trochę będziemy filozofować, a dlaurozmaicenia wykonamy też kilka prostych ćwiczeń (gimnastyka logiczna).Filozofować będziemy na następujące tematy:Co to jest stała logiczna?Jak wynikanie logiczne (w Klasycznym Rachunku Logicznym) ma siędo uznawania wnioskowań (w językach etnicznych) za poprawne?Ćwiczenia będą dotyczyć logicznej analizy tekstów/wypowiedzi orazbadania poprawności uzasadnień.Uwaga. W niniejszej prezentacji jedynie sygnalizujemy tematy, które będąomawiane.Jerzy Pogonowski (MEG) Semiotyka logiczna (2) Wspominki z logiki 2 / 21

Przypomnienie: niektóre podstawowe pojęcia logiczneStała logicznaPojęcie stałej logicznejJedną z charakterystyk pojęcia stałej logicznej podał Alfred Tarski,wzorując się na Programie z Erlangen Feliksa Kleina.Niech f : U → U będzie bijekcją. Niezmiennikiem f nazwiemy każdyelement x ∈ U taki, że f (x) = x.Warunkiem koniecznym, aby jakiś symbol (ustalonego języka formalnego)był stałą logiczną tego języka jest to, aby jego denotacja byłaniezmiennikiem wszystkich permutacji uniwersum każdej interpretacji tegojęzyka.Pytanie do słuchaczy. Które symbole języka KRP (z identycznością) sąstałymi logicznymi w myśl tej charakterystyki?Jerzy Pogonowski (MEG) Semiotyka logiczna (2) Wspominki z logiki 3 / 21

Przypomnienie: niektóre podstawowe pojęcia logiczneWielość logik czy jedna logika?Różnorodność systemów logicznychLogika (system logiczny) to układ postaci (L, C, S), gdzie:L jest językiem (formalnym)C jest operacją konsekwencjiS jest semantyką systemu.Skonstruowano gigantyczną liczbę systemów logicznych. Niektóre z nichznalazły bardzo istotne zastosowania, inne przepadły w zapomnieniu.Powstaje oczywiście pytanie: czy można zasadnie mówić o jednej,podstawowej, standardowej logice (the logic)?Pewnych rozstrzygnięć w próbie znalezienia odpowiedzi na to pytaniedostarczają twierdzenia limitacyjne.Jerzy Pogonowski (MEG) Semiotyka logiczna (2) Wspominki z logiki 4 / 21

Przypomnienie: niektóre podstawowe pojęcia logiczneMetody dowodzeniaMetody dowodzeniaJest wiele metod dowodzenia. Oto niektóre:metoda aksjomatycznametoda założeniowatablice analitycznerezolucjarachunki sekwentów.Słuchacze mieli okazję poznać co najmniej dwie z nich. Wykonamy terazkilka ćwiczeń, dla przypomnienia, jak się dowodzi.Jerzy Pogonowski (MEG) Semiotyka logiczna (2) Wspominki z logiki 5 / 21

Przypomnienie: niektóre podstawowe pojęcia logiczneĆwiczeniaĆwiczenie 1: dowód metodą aksjomatycznąUdowodnimy, że formuła ¬p → ¬(p ∧ q) jest tezą KRZ z aksjomatykąHilberta-Bernaysa oraz regułami: podstawiania i odrywania jako regułamipierwotnymi.1. (p ∧ q) → p aksjomat (prawo symplifikacji)2. (p → q) → (¬q → ¬p) aksjomat (prawo transpozycji)3. ((p ∧ q) → p) → (¬p → ¬(p ∧ q)) p ↦→ p ∧ q, q ↦→ p4. ¬p → ¬(p ∧ q) RO: 3,1.Dowody przeprowadzane metodą aksjomatyczną wymagają pewnej wprawy.W praktyce bodaj częściej używa się dowodów założeniowych.Jerzy Pogonowski (MEG) Semiotyka logiczna (2) Wspominki z logiki 6 / 21

Przypomnienie: niektóre podstawowe pojęcia logiczneĆwiczeniaĆwiczenie 2: dowód metodą założeniowąUdowodnimy metodą założeniową tezę KRZ:((p ∧ q) → r) → (p → (q → r) (prawo eksportacji) w systemiezałożeniowym zawierającym jako reguły pierwotne m.in.: regułę odrywaniaRO i regułę dołączania koniunkcji DK:1. (p ∧ q) → r założenie2. p założenie3. q założenie4. p ∧ q DK: 2,35. r RO: 1,5Słuchacze pamiętają (oczywiście!), że powyższy ciąg formuł jest żądanymdowodem.Jerzy Pogonowski (MEG) Semiotyka logiczna (2) Wspominki z logiki 7 / 21

Przypomnienie: niektóre podstawowe pojęcia logiczneĆwiczeniaĆwiczenie 3: dowód rezolucyjnyPokażemy, że warunki przechodniości i symetrii, tj. warunki:∀x∀y∀z((P(x, y) ∧ P(y, z)) → P(x, z))∀x∀y(P(x, y) → P(y, x))implikują następujący warunek (euklidesowości):∀x∀y∀z((P(x, y) ∧ P(z, y)) → P(x, z)).Powyższe warunki mają następujące reprezentacje w postaci klauzul (porozdzieleniu zmiennych):C 1 = {¬P(x, y), ¬P(y, z), P(x, z)}C 2 = {¬P(u, v), P(v, u)}C 3 = {¬P(x, y), ¬P(z, y), P(x, z)}.Jerzy Pogonowski (MEG) Semiotyka logiczna (2) Wspominki z logiki 8 / 21

Przypomnienie: niektóre podstawowe pojęcia logiczneĆwiczeniaĆwiczenie 3: dowód rezolucyjnyDowód rezolucyjny C 3 z C 1 oraz C 2 jest następującym ciągiem klauzul:D 1 = C 1 = {¬P(x, y), ¬P(y, z), P(x, z)}D 2 = C 2 {u ↦→ x, v ↦→ z} = {¬P(u, v), P(v, u)}{u ↦→ x, v ↦→ z} ={¬P(x, z), P(z, x)}D 3 = {¬P(x, y), ¬P(y, z), P(z, x)} (rezolwenta D 1 oraz D 2 )D 4 = C 2 {u ↦→ z, v ↦→ x} = {¬P(u, v), P(v, u)}{u ↦→ z, v ↦→ x} ={¬P(z, x), P(x, z)}D 5 = {¬P(x, y), ¬P(y, z), P(x, z)} (rezolwenta D 3 i D 4 )D 6 = C 2 {u ↦→ z, v ↦→ y} = {¬P(u, v), P(v, u)}{u ↦→ z, v ↦→ y} ={¬P(z, y), P(y, z)}D 7 = {¬P(x, y), ¬P(z, y), P(x, z)} = C 3 (rezolwenta D 5 i D 6 ).Jerzy Pogonowski (MEG) Semiotyka logiczna (2) Wspominki z logiki 9 / 21

Przypomnienie: niektóre podstawowe pojęcia logiczneĆwiczeniaĆwiczenie 3: dowód rezolucyjnyRezolucyjne drzewo dowodowe wygląda w tym przypadku następująco:D 1 D 2D 4 D 3D 6 D 5D 7Powyższy dowód rezolucyjny C 3 z C 1 oraz C 2 składał się z trzech kroków.W każdym z nich z pary klauzul otrzymaliśmy rezolwentę tej pary.W każdym kroku podkreślaliśmy ten literał, względem którego dokonaliśmyrezolucji (tj. ten, który eliminujemy w wyniku danego kroku).Jerzy Pogonowski (MEG) Semiotyka logiczna (2) Wspominki z logiki 10 / 21

Przypomnienie: niektóre podstawowe pojęcia logiczneĆwiczeniaĆwiczenie 4: drzewa semantyczneDowód Prawa De Morgana w KRP.Jedno z Praw De Morgana dla kwantyfikatorów ma postać:¬∃x A(x) ↔ ∀x ¬A(x)Aby wykazać, że¬∃x A(x) ↔ ∀x ¬A(x)jest tautologią KRP należy wykluczyć możliwość, by formuła ta byłafałszywa w jakiejś interpretacji. Trzeba zatem wykluczyć możliwość, aby jejzaprzeczenie, tj. formuła¬(¬∃x A(x) ↔ ∀x ¬A(x))była w jakiejkolwiek interpretacji prawdziwa:Jerzy Pogonowski (MEG) Semiotyka logiczna (2) Wspominki z logiki 11 / 21

Przypomnienie: niektóre podstawowe pojęcia logiczneĆwiczeniaĆwiczenie 4: drzewa semantyczne¬(¬∃x A(x) ↔ ∀x ¬A(x)) 1.¬↔✟ ❍❍❍✟ ✟✟✟✟✟ ❍❍❍❍(1 lg ) ¬∃x A(x) 3.⋆ a(1 pg ) ∀x ¬A(x) 6.⋆ a(1 ld ) ¬∀x ¬A(x) 2.√ a (1 pd ) ¬¬∃x A(x) 4.¬¬(2) ¬¬A(a/x)(4) ∃x A(x) 5.√ a(3) ¬A(a/x)(5) A(a/x)× 2,3 (6) ¬A(a/x)× 5,6Jerzy Pogonowski (MEG) Semiotyka logiczna (2) Wspominki z logiki 12 / 21

Przypomnienie: niektóre podstawowe pojęcia logiczneĆwiczeniaĆwiczenie 4: drzewa semantyczneUstalanie, czy dowolna formuła języka Klasycznego Rachunku Predykatówjest prawem (tautologią) tego rachunku jest przykładem problemu, dlaktórego nie istnieje metoda obliczalna jego rozwiązania.Dla ustalenia, czy dowolna formuła języka KRP jest tautologią KRPpotrzeba sprawdzić nieskończoną liczbę interpretacji, a więc istnieniealgorytmu jest w tym przypadku wykluczone.Np. ta formuła nie jest tautologią KRP:∀x∃y A(x, y) → ∃y∀x A(x, y)Uwaga: KRP jest półrozstrzygalny — jeśli formuła A jest tautologiąKRP, to można to w skończonej liczbie kroków sprawdzić.Jerzy Pogonowski (MEG) Semiotyka logiczna (2) Wspominki z logiki 13 / 21

Przypomnienie: niektóre podstawowe pojęcia logiczneĆwiczeniaĆwiczenie 4: drzewa semantyczneUżywanie metody drzew semantycznych (tablic analitycznych) jako metodydowodowej musi być oczywiście połączone z dowodem, że metoda ta jestpoprawna (czyli że drzewa zamknięte mają dokładnie wszystkie tautologie).Implikacja odwrotna do podanej przed chwilą, czyli:∃x∀y R(y, x) → ∀y∃x R(y, x)jest tautologią Klasycznego Rachunku Predykatów, a więc można tegodowieść w skończonej liczbie kroków (pokazując, iż negacja tej formuły niejest prawdziwa w żadnej interpretacji):Jerzy Pogonowski (MEG) Semiotyka logiczna (2) Wspominki z logiki 14 / 21

Przypomnienie: niektóre podstawowe pojęcia logiczneĆwiczeniaĆwiczenie 4: drzewa semantyczne¬(∃x∀y R(y, x) → ∀y∃x R(y, x)) 1.¬→(1 g ) ∃x∀y R(y, x) 2.√ a(1 d ) ¬∀y∃x R(y, x) 3.√ b(2) ∀y R(y, a) 4.⋆ b(3) ¬∃x R(b, x) 5.⋆ a(4) R(b, a)(5) ¬R(b, a)× 4,5Jerzy Pogonowski (MEG) Semiotyka logiczna (2) Wspominki z logiki 15 / 21

Przypomnienie: niektóre podstawowe pojęcia logiczneĆwiczeniaĆwiczenie 4: drzewa semantyczneRozważmy (mało optymistyczne) stwierdzenie: Nie dość, że jestbezrobocie, to każdy obywatel jest zadłużony. Jego strukturę składniowąreprezentuje formuła:∃x Px ∧ ∀y∃z yQzktóra nie jest tautologią Klasycznego Rachunku Predykatów, co możnawykazać konstruując model dla jej zaprzeczenia. Formuła ta nie jest teżkontrtautologią (formułą fałszywą we wszystkich interpretacjach), ale niemożna tego wykazać używając półalgorytmu stosowanego w poprzednimprzypadku (wymagane drzewo dowodowe jest nieskończone):Jerzy Pogonowski (MEG) Semiotyka logiczna (2) Wspominki z logiki 16 / 21

Przypomnienie: niektóre podstawowe pojęcia logiczneĆwiczenia∃x Px ∧ ∀y∃z yQz 1.∧(1 g ) ∃x Px 2.√ a(1 d ) ∀y∃z yQz 3.⋆ a 5. ⋆ b 7. ⋆ c(2) Pa(3) ∃z aQz 4.√ b(4) aQb(5) ∃z bQz 6.√ c(6) bQc(7) ∃z cQz.Jerzy Pogonowski (MEG) Semiotyka logiczna (2) Wspominki z logiki 17 / 21

Przypomnienie: niektóre podstawowe pojęcia logiczneĆwiczeniaĆwiczenie 5: dowód, że 2+2=4Aksjomaty specyficzne systemu Arytmetyki Robinsona:A 1 : ∀x∀y (x ≠ y → σ(x) ≠ σ(y))A 2 : ∀x ○ ≠ σ(x)A 3 : ∀x (x ≠ ○ → ∃y (x = σ(y)))A 4 : ∀x ⊕ (x, ○) = xA 5 : ∀x∀y ⊕ (x, σ(y)) = σ(⊕(x, y))A 6 : ∀x ⊗ (x, ○) = ○A 7 : ∀x∀y ⊗ (x, σ(y)) = ⊕(⊗(x, y), x).Modelem zamierzonym dla tych aksjomatów jest struktura, której uniwersum jestzbiór wszystkich (i tylko!) liczb naturalnych, a denotacjami poszczególnychterminów pozalogicznych są:symbolu ○ — liczba zero symbolu σ — operacja następnikasymbolu ⊕ — operacja dodawania symbolu ⊗ — operacja mnożenia.Jerzy Pogonowski (MEG) Semiotyka logiczna (2) Wspominki z logiki 18 / 21

Przypomnienie: niektóre podstawowe pojęcia logiczneĆwiczeniaĆwiczenie 5: dowód, że 2+2=41. ∀x ⊕ (x, ○) = x aksjomat A 42. ∀x∀y ⊕ (x, σ(y)) = σ(⊕(x, y)) aksjomat A 53. ¬(⊕(σ(σ(○)), σ(σ(○))) = σ(σ(σ(σ(○))))) z. d. n.4. ⊕(σ(σ(○)), ○) = σ(σ(○)) R(∀) dlaσ(σ(○)) w A 45. ∀y ⊕ (σ(σ(○)), σ(y)) = σ(⊕(σ(σ(○)), y)) R(∀) dlaσ(σ(○)) w A 56. ⊕(σ(σ(○)), σ(○)) = σ(⊕(σ(σ(○)), ○)) R(∀) dla ○ w 5.7. ⊕(σ(σ(○)), σ(σ(○))) = σ(⊕(σ(σ(○)), σ(○))) R(∀) dlaσ(○) w 5.8. ⊕(σ(σ(○)), σ(σ(○))) = σ(⊕(σ(σ(○)), ○)) 6. i 7., R(=)9. ⊕(σ(σ(○)), σ(σ(○))) = σ(σ(σ(σ(○)))) 4. i 8., R(=)10. × 3,9 Sprzeczność: 3, 9.Jerzy Pogonowski (MEG) Semiotyka logiczna (2) Wspominki z logiki 19 / 21

Przypomnienie: niektóre podstawowe pojęcia logiczneWynikanie logiczne a akceptowalność uzasadnieńWynikanie logiczne a akceptowalność uzasadnieńWe wnioskowaniach przeprowadzanych w językach etnicznych bierze się poduwagę, oprócz (!) wynikania logicznego, mnóstwo innych czynników, np.:implikaturykontekst wypowiedzeńpresupozycjeintensjonalnośćintencjonalnośćpostawy propozycjonalnetajemniczy „współczynnik humanistyczny”, itd.Nie ma jednego systemu logicznego, który uwzględniałby wszystkie te (orazdalsze) czynniki. A niby dlaczego miałby istnieć taki system?Jerzy Pogonowski (MEG) Semiotyka logiczna (2) Wspominki z logiki 20 / 21

Przypomnienie: niektóre podstawowe pojęcia logiczneKoniecKoniecTyle tytułem (dalszego ciągu) wprowadzenia w problematykę semiotykilogicznej.Na następnym wykładzie zajmiemy się:paradoksamiantynomiamisofizmatami.Jerzy Pogonowski (MEG) Semiotyka logiczna (2) Wspominki z logiki 21 / 21