Primijenjena matematika 1. Diferencijalne jednadazbe 2 ... - FESB

More documents

Recommendations

Info

Sliµcno,b) y 2 (x) = sin x =) y 0 2 (x) = cos x =) y 002 (x) = sin x: Uvrštavanjem udiferencijalnu jednadµzbu dobivamopa je y 2 (x) = sin x rješenje.|sin{zx}+ |{z} sin x = 0 () 0 = 0;y2 00(x)y 2 (x)c) y 3 (x) = sin x cos x =) y 0 3 (x) = cos x+sin x =) y 003 (x) = sin x+cos x:Uvrštavanjem u diferencijalnu jednadµzbu dobivamo|sin x{z+ cos x}+|sin x{zcos x}= 0 () 0 = 0;y3 00(x)y 3 (x)pa je y 3 (x) = sin xcos x rješenje.Pitanje: Kako naći sva rješenja ove diferencijalne jednadµzbe? Odgovor ćemodati kasnije (u Poglavlju 1.4).Opće rješenje diferencijalne jednadµzbe (1) je obitelj funkcijay = ' (x; c 1 ; c 2 ; :::; c n )gdje su c 1 ; c 2 ; :::; c n realne konstante, koja diferencijalnu jednadµzbu (1) zadovoljavaidentiµcki.Napomena: Oblik(x; y; c 1 ; c 2 ; :::; c n ) = 0:se naziva opći integral (ovim oblikom moµze biti zadano implicitno više općihrješenja).Partikularno rješenje (ili partikularni integral) se dobiva iz općeg rješenja (iliintegrala) za konkretne vrijednosti konstanti c 1 ; c 2 ; :::; c n .Primjer 1.5 Opće rješenje diferencijalne jednadµzbe y 00 + y = 0 jey (x) = c 1 sin x + c 2 cos x:4
Provjera: y (x) = c 1 sin x+c 2 cos x =) y 0 (x) = c 1 cos x c 2 sin x =) y 00 (x) =c 1 sin x c 2 cos x: Uvrštavanjem u diferencijalnu jednadµzbu dobivamoc 1 sin x c 2 cos x| {z }y 00 (x)+ c 1 sin x + c 2 cos x = 0 () 0 = 0;| {z }y(x)pa je funkcija oblika y (x) = c 1 sin x + c 2 cos x rješenje za sve vrijednostikonstanti c 1 i c 2 :a) Za c 1 = 0 i c 2 = 1 dobivamo partikularno rješenje y 1 (x) = cos x;b) Za c 1 = 1 i c 2 = 0 dobivamo partikularno rješenje y 2 (x) = sin x;c) Za c 1 = 1 i c 2 = 1 dobivamo partikularno rješenje y 3 (x) = sin x cos x;Ponekad postoje rješenja diferencijalne jednadµzbe koja se ne mogu dobiti izopćeg rješenja (za konkretne vrijednosti konstanti c 1 ; c 2 ; :::; c n ): Ta rješenjanazivamo singularnim rješenjima.Primjer 1.6 Opće rješenje diferencijalne jednadµzbey 2 y 02 + y 2 1 = 0je (x c) 2 + y 2 = 1 (provjerti da je to rješenje): Me†utim postoje rješenjay (x) = 1 i y (x) = 1 (provjerti da su to rješenja) koja se ne mogu dobitiiz općeg za neku konkretnu vrijednost konstante c. Dakle, y (x) = 1 iy (x) = 1 su singularna rješenja.Graf rješenja (paritikularnog ili općeg) se naziva integralna krivulja (ili obiteljintegralnih krivulja - za opće rješenje).Primjer 1.6 Opće rješenje diferencijalne jednadµzbey 0 = 2y xje y (x) = cx 2 (provjerti da je to rješenje). Graf općeg rješenja (integralnekrivulje) je obitelj parabola y = cx 2 za c 6= 0 i pravac y = 0 za c = 0 (slikaFig 1).5
Page 1 and 2: Primijenjena matematika1. Diferenci
Page 3: ) y 00 2ty 0 = t 2 - obiµcna difer
Page 7 and 8: Figure 2: (x c) 2 + y 2 = 1, y = 1;
Page 9 and 10: prirodnih neprijatelja, ima dovoljn
Page 11 and 12: Naime, ako je m 1 i m y < 1; tj. 1

Primijenjena matematika 1. Diferencijalne jednadazbe 2 ... - FESB

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?