Primijenjena matematika 1. Diferencijalne jednadazbe 2 ... - FESB
Primijenjena matematika 1. Diferencijalne jednadazbe 2 ... - FESB Primijenjena matematika 1. Diferencijalne jednadazbe 2 ... - FESB
I. Diferencijalne jednadµzbe1.1. De…nicija diferencijalne jednadµzbeGlavni problem integralnog raµcuna: Traµzimo funkciju y = y(x) za koju vrijediy 0 = f (x) ;dydx = f (x) ;dy = f (x) dxna nekom intervalu I. Funkcija y = y(x) je odre†ena ”do na konstantu”, štosmo zapisivali u oblikuZy (x) = f (x) dx + c; x 2 I:Primjer 1.1Zy 0 = cos x =) y (x) =cos xdx + c = sin x + cSliµcno bi riješili i problem y 00 = 0: Uzastopnim integriranjem dobivamo:y 0 (x) = c 1 ; y (x) = c 1 x + c 2 :Analogno, uzastopnim integriranjem, rješavamo i problemy (n) (x) = f (x) :De…nicija 1.1: Diferencijalnom jednadµzbom nazivamo bilo koju jednadµzbukoja povezuje nepoznatu funkciju, nezavisnu varijablu (ili nezavisne varijable)i derivacije nepoznate funkcije.Diferencijalna jednadµzba naziva se obiµcna diferencijalna jednadµzba ako je unjoj nepoznata funkcija, funkcija samo jedne varijable.Primjer 1.2a) y 0 2y = x 3 - obiµcna diferencijalna jednadµzba (x nezavisna varijabla,y = y (x) nepoznata funkcija);2
) y 00 2ty 0 = t 2 - obiµcna diferencijalna jednadµzba (t nezavisna varijabla,y = y(t) nepoznata funkcija),nezavisne var-c) y @z x @z = z - parcijalna diferencijalna jednadµzba (x; y@x @yijable, z = z (x; y) nepoznata funkcija).Opći oblik obiµcne diferencijalne jednadµzbe jeiliF (x; y; y 0 ; y 00 ; :::; y (n) ) = 0 (1)y (n) = f x; y; y 0 ; y 00 (n; :::; y1)Red obiµcne diferencijalne jednadµzbe je red najviše derivacije koja se nalazi ujednadµzbi.Napomena: Diferencijalna jednadµzba (1) je diferencijalna jednadµzba nreda.Primjer 1.3a) y 0 2y = x 3 - obiµcna diferencijalna jednadµzba prvog reda;b) y 00 2ty 0 = t 2 - obiµcna diferencijalna jednadµzba drugog reda.Riješiti ili integrirati diferencijalnu jednadµzbu (ili naći rješenje ili integral)znaµci odrediti sve funkcije (eksplicitno ili implicitno) koje, zajedno sa svojimderivacijama identiµcki zadovoljavaju danu diferencijalnu jednadµzbu.Primjer 1.4 Dana je diferencijalna jednadµzbay 00 + y = 0:Provjerimo jesu li neke od funkcija: y 1 (x) = cos x; y 2 (x) = sin x; y 3 (x) =sin x + cos x rješenja gornje diferencijalne jednadµzbe. Imamo:a) y 1 (x) = cos x =) y 0 1 (x) = sin x =) y 001 (x) = cos x: Uvrštavanjem udiferencijalnu jednadµzbu dobivamopa je y 1 (x) = cos x rješenje.|cos{zx}+ |{z} cos x = 0 () 0 = 0;y1 00(x)y 1 (x)3tog
- Page 1: Primijenjena matematika1. Diferenci
- Page 5 and 6: Provjera: y (x) = c 1 sin x+c 2 cos
- Page 7 and 8: Figure 2: (x c) 2 + y 2 = 1, y = 1;
- Page 9 and 10: prirodnih neprijatelja, ima dovoljn
- Page 11 and 12: Naime, ako je m 1 i m y < 1; tj. 1
I. <strong>Diferencijalne</strong> jednadµzbe<strong>1.</strong><strong>1.</strong> De…nicija diferencijalne jednadµzbeGlavni problem integralnog raµcuna: Traµzimo funkciju y = y(x) za koju vrijediy 0 = f (x) ;dydx = f (x) ;dy = f (x) dxna nekom intervalu I. Funkcija y = y(x) je odre†ena ”do na konstantu”, štosmo zapisivali u oblikuZy (x) = f (x) dx + c; x 2 I:Primjer <strong>1.</strong>1Zy 0 = cos x =) y (x) =cos xdx + c = sin x + cSliµcno bi riješili i problem y 00 = 0: Uzastopnim integriranjem dobivamo:y 0 (x) = c 1 ; y (x) = c 1 x + c 2 :Analogno, uzastopnim integriranjem, rješavamo i problemy (n) (x) = f (x) :De…nicija <strong>1.</strong>1: Diferencijalnom jednadµzbom nazivamo bilo koju jednadµzbukoja povezuje nepoznatu funkciju, nezavisnu varijablu (ili nezavisne varijable)i derivacije nepoznate funkcije.Diferencijalna jednadµzba naziva se obiµcna diferencijalna jednadµzba ako je unjoj nepoznata funkcija, funkcija samo jedne varijable.Primjer <strong>1.</strong>2a) y 0 2y = x 3 - obiµcna diferencijalna jednadµzba (x nezavisna varijabla,y = y (x) nepoznata funkcija);2
Change language