Primijenjena matematika 1. Diferencijalne jednadazbe 2 ... - FESB

Naime, ako je m 1 i m y < 1; tj. 1 yK < 0; 1mymy 1; pady> 0; pa je < 0; dt y < m onda je m y > 1 i y K < 1; tj. 1 yK > 0; 1mydy< 0; pa je < 0; dtPrimjer: Podaci o broju stanovnika u svijetu dani su tablicom (vidjetidodatak). Uz pretpostavku da je rast broja stanovnika proporcionalan brojustanovnika, treba odrediti k i usporediti koliko se dobro model podudara spodacima.Rješenje: Neka je y (t) broj stanovnika. Tada je y (t) = y 0 e kt : Ako odaberemo da je t 0 = 0 za 1900: godinu, onda je y 0 = 1650, tj.y (t) = 1650e kt : Odredimo k iz podatka za 1910: godinu. ImamoOvo povlaµci k = 1 1750ln10 1650y (10) = 1650 e k10 = 1750.= 0:005884: Dakle,y (t) = 1650 e 0:005884t :Po ovom modelu, imamo da je broj stanovnika 1990. godine trebaobiti y (90) = 1650 e 0:00588490 = 2802; što jako odstupa od stvarnihpodataka.Ako k odredimo iz podatka za 1950: godinu. ImamoOvo povlaµci k = 1 2520ln50 1650y (50) = 1650 e k50 = 2520.= 0:00847 Dakle,y (t) = 1650 e 0:00847t :Po ovom modelu, imamo da je broj stanovnika 1990. godine trebaobiti y (90) = 1650 e 0:0084790 = 3536; što dosta odstupa od stvarnihpodataka, ali je bolje od predhodnog modela.11