Primijenjena matematika 1. Diferencijalne jednadazbe 2 ... - FESB

Primijenjena matematika1. Diferencijalne jednadµzbe2. Vjerojatnost i statistika3. Numeriµcka matematikaLiterarutura:1. Bogdanić N.: Primijenjena matematika, Split 1980.2. Bradić, Peµcarić, Roki, Strunje: Matematika za tehnološke fakultete, Element1998.3. Pavlić I.: Statistiµcka teorija i primjena, Tehniµcka knjiga Zagreb 1985.4. Antunac-Majcen (grupa autora FSB-Zagreb): Riješeni zadaci iz višematematike s kratkim repetitorijem de…nicija i teorema, sv. IV, Školska knjigaZagreb 1990.5. Demidoviµc, B.P.: Zadaci i riješeni primjeri iz više matematike s primjenomna tehniµcke nauke, Tehniµcka knjiga Zagreb6. Kopµcenova, Maron: Computational mathematics, Mir publishers Moscow1990.7. N. Elezović, Zbirka zadataka iz teorije vjerojatnosti, Element, Zagreb1995.;1

I. Diferencijalne jednadµzbe1.1. De…nicija diferencijalne jednadµzbeGlavni problem integralnog raµcuna: Traµzimo funkciju y = y(x) za koju vrijediy 0 = f (x) ;dydx = f (x) ;dy = f (x) dxna nekom intervalu I. Funkcija y = y(x) je odre†ena ”do na konstantu”, štosmo zapisivali u oblikuZy (x) = f (x) dx + c; x 2 I:Primjer 1.1Zy 0 = cos x =) y (x) =cos xdx + c = sin x + cSliµcno bi riješili i problem y 00 = 0: Uzastopnim integriranjem dobivamo:y 0 (x) = c 1 ; y (x) = c 1 x + c 2 :Analogno, uzastopnim integriranjem, rješavamo i problemy (n) (x) = f (x) :De…nicija 1.1: Diferencijalnom jednadµzbom nazivamo bilo koju jednadµzbukoja povezuje nepoznatu funkciju, nezavisnu varijablu (ili nezavisne varijable)i derivacije nepoznate funkcije.Diferencijalna jednadµzba naziva se obiµcna diferencijalna jednadµzba ako je unjoj nepoznata funkcija, funkcija samo jedne varijable.Primjer 1.2a) y 0 2y = x 3 - obiµcna diferencijalna jednadµzba (x nezavisna varijabla,y = y (x) nepoznata funkcija);2

) y 00 2ty 0 = t 2 - obiµcna diferencijalna jednadµzba (t nezavisna varijabla,y = y(t) nepoznata funkcija),nezavisne var-c) y @z x @z = z - parcijalna diferencijalna jednadµzba (x; y@x @yijable, z = z (x; y) nepoznata funkcija).Opći oblik obiµcne diferencijalne jednadµzbe jeiliF (x; y; y 0 ; y 00 ; :::; y (n) ) = 0 (1)y (n) = f x; y; y 0 ; y 00 (n; :::; y1)Red obiµcne diferencijalne jednadµzbe je red najviše derivacije koja se nalazi ujednadµzbi.Napomena: Diferencijalna jednadµzba (1) je diferencijalna jednadµzba nreda.Primjer 1.3a) y 0 2y = x 3 - obiµcna diferencijalna jednadµzba prvog reda;b) y 00 2ty 0 = t 2 - obiµcna diferencijalna jednadµzba drugog reda.Riješiti ili integrirati diferencijalnu jednadµzbu (ili naći rješenje ili integral)znaµci odrediti sve funkcije (eksplicitno ili implicitno) koje, zajedno sa svojimderivacijama identiµcki zadovoljavaju danu diferencijalnu jednadµzbu.Primjer 1.4 Dana je diferencijalna jednadµzbay 00 + y = 0:Provjerimo jesu li neke od funkcija: y 1 (x) = cos x; y 2 (x) = sin x; y 3 (x) =sin x + cos x rješenja gornje diferencijalne jednadµzbe. Imamo:a) y 1 (x) = cos x =) y 0 1 (x) = sin x =) y 001 (x) = cos x: Uvrštavanjem udiferencijalnu jednadµzbu dobivamopa je y 1 (x) = cos x rješenje.|cos{zx}+ |{z} cos x = 0 () 0 = 0;y1 00(x)y 1 (x)3tog

Sliµcno,b) y 2 (x) = sin x =) y 0 2 (x) = cos x =) y 002 (x) = sin x: Uvrštavanjem udiferencijalnu jednadµzbu dobivamopa je y 2 (x) = sin x rješenje.|sin{zx}+ |{z} sin x = 0 () 0 = 0;y2 00(x)y 2 (x)c) y 3 (x) = sin x cos x =) y 0 3 (x) = cos x+sin x =) y 003 (x) = sin x+cos x:Uvrštavanjem u diferencijalnu jednadµzbu dobivamo|sin x{z+ cos x}+|sin x{zcos x}= 0 () 0 = 0;y3 00(x)y 3 (x)pa je y 3 (x) = sin xcos x rješenje.Pitanje: Kako naći sva rješenja ove diferencijalne jednadµzbe? Odgovor ćemodati kasnije (u Poglavlju 1.4).Opće rješenje diferencijalne jednadµzbe (1) je obitelj funkcijay = ' (x; c 1 ; c 2 ; :::; c n )gdje su c 1 ; c 2 ; :::; c n realne konstante, koja diferencijalnu jednadµzbu (1) zadovoljavaidentiµcki.Napomena: Oblik(x; y; c 1 ; c 2 ; :::; c n ) = 0:se naziva opći integral (ovim oblikom moµze biti zadano implicitno više općihrješenja).Partikularno rješenje (ili partikularni integral) se dobiva iz općeg rješenja (iliintegrala) za konkretne vrijednosti konstanti c 1 ; c 2 ; :::; c n .Primjer 1.5 Opće rješenje diferencijalne jednadµzbe y 00 + y = 0 jey (x) = c 1 sin x + c 2 cos x:4

Provjera: y (x) = c 1 sin x+c 2 cos x =) y 0 (x) = c 1 cos x c 2 sin x =) y 00 (x) =c 1 sin x c 2 cos x: Uvrštavanjem u diferencijalnu jednadµzbu dobivamoc 1 sin x c 2 cos x| {z }y 00 (x)+ c 1 sin x + c 2 cos x = 0 () 0 = 0;| {z }y(x)pa je funkcija oblika y (x) = c 1 sin x + c 2 cos x rješenje za sve vrijednostikonstanti c 1 i c 2 :a) Za c 1 = 0 i c 2 = 1 dobivamo partikularno rješenje y 1 (x) = cos x;b) Za c 1 = 1 i c 2 = 0 dobivamo partikularno rješenje y 2 (x) = sin x;c) Za c 1 = 1 i c 2 = 1 dobivamo partikularno rješenje y 3 (x) = sin x cos x;Ponekad postoje rješenja diferencijalne jednadµzbe koja se ne mogu dobiti izopćeg rješenja (za konkretne vrijednosti konstanti c 1 ; c 2 ; :::; c n ): Ta rješenjanazivamo singularnim rješenjima.Primjer 1.6 Opće rješenje diferencijalne jednadµzbey 2 y 02 + y 2 1 = 0je (x c) 2 + y 2 = 1 (provjerti da je to rješenje): Me†utim postoje rješenjay (x) = 1 i y (x) = 1 (provjerti da su to rješenja) koja se ne mogu dobitiiz općeg za neku konkretnu vrijednost konstante c. Dakle, y (x) = 1 iy (x) = 1 su singularna rješenja.Graf rješenja (paritikularnog ili općeg) se naziva integralna krivulja (ili obiteljintegralnih krivulja - za opće rješenje).Primjer 1.6 Opće rješenje diferencijalne jednadµzbey 0 = 2y xje y (x) = cx 2 (provjerti da je to rješenje). Graf općeg rješenja (integralnekrivulje) je obitelj parabola y = cx 2 za c 6= 0 i pravac y = 0 za c = 0 (slikaFig 1).5

Figure 1: y = cx 2Graf singularnog rješenja nazivamo singularna integralna krivulja i ona jeovojnica ili anvelopa obitelji integralnih krivulja danih općim rješenjem (integralom).Ovojnica obitelji ravninskih krivulja F (x; y; c) = 0 je krivulja koja svakukrivulju iz obitelji krivulja F (x; y; c) = 0 dira i obrnuto, svaka toµcka tekrivulje je diralište jedne krivulje iz obitelji F (x; y; c) = 0:Napomena: Svaka krivulja je ovojnica svojih tangenti.Primjer 1.8: Opće rješenje (integral) diferencijalne jednadµzbe y 2 y 02 + y 21 = 0 je (x c) 2 + y 2 = 1; a singularna rješenja y (x) = 1 i y (x) = 1.Graf općeg rješenja (integralne krivulje) je obitelj kruµznica (x c) 2 + y 2 = 1radijusa 1 kojima centar "šeta" po osi x; a grafovi singularnih rješenja supravci y = 1 i y = 1 (slika Fig 2) 1 .Tri vaµzna pitanja: postojanje rješenja; nalaµzenje svih ili samo nekih rješenja; jedinstvenost rješenja uz dane poµcetne uvjete.1 Svaka kruµznica iz obitelji (x c) 2 + y 2 = 1 dira pravac y = 1 (y = 1) i svaka toµckapravca y = 1 (y = 1) je diralište jedne kruµznice iz obitelji (x c) 2 + y 2 = 1:6

Figure 2: (x c) 2 + y 2 = 1, y = 1; y = 1Mi ćemo se baviti samo nekim tipovima obiµcnih diferencijalnih jednadµzbi doukljuµcivo drugog reda, tj. diferencijalnim jednadµzbama oblikaiF (x; y; y 0 ) = 0 (ili y 0 = f(x; y))F (x; y; y 0 ; y 00 ) = 0 (ili y 00 = f(x; y; y 0 )):Za opisivanje …zikalnih (realnih) problema µcesto koristimo matematiµcke modele(idealizacija) koji su µcesto dani u obliku diferencijalnih jednadµzbi. Pomoćudiferencijalnih jednadµzbi se opisuju problemi kod kojih, na temeljutrenutnog stanja i naµcina kako se nešto mijenja, µzelimo "predvidjeti budućnost".Primjer 1.8 (Problem rasta)Model 1 U raznim situacijama se susrećemo s nekom veliµcinom µcijaje brzna promjene proporcionalna s njenom trenutnom vrijednošću. Npr.rast (pad) populacije proporcionalan je broju trenutne populacije, brzinaraspada radioaktivne tvari proporcionalna je trenutnoj koliµcini te tvari, dobitje proporcionalna koliµcini uloµzenog novca,... .Ovu zakonitost matematiµcki formuliramo:y 0 = dydt = ky: (dif. jed. I. reda - populacijska jednadµzba)Napomena: Ovdje je vrijeme t nezavisna varijabla, veliµcina populacije nepoznatafunkcija y (t) ; a y 0 (t) = dy mjeri promjenu (rast ili pad) populacije udtvremenu. Uoµcimo, ako je k > 0 onda je dy > 0; što znaµci da populacija raste,dta ako je k < 0 onda je dy < 0 što znaµci da populacija pada.dt7

Rješenje jedydt= ky =)dyy = kdt=) ln jyj = kt + c 1 =) y = ce kt (c = e c 1).Konstantu c odre†ujemo prema poµcetnom stanju y 0 ; tj. veliµcini populacije utrenutku t 0 = 0: Budući je y (0) = ce 0 = c; rješenje jeGraf ove funkcije je:y (t) = y 0 e kt :y = y 0 e kt ; k > 0y = y 0 e kt ; k < 0Pretpostavka da je rast (pad) populacije proporcionalan je broju trenutnepopulacije je dobra ako imamo idealne uvjete. Npr. ako se radi o populacijibakterija ili µzivotinja to znaµci da npr. µzivotni prosor nije ograniµcen, nema8

prirodnih neprijatelja, ima dovoljno hrane,... .Model 2 Pretpostavimo da je rast populacije proporcionalan je brojutrenutne populacije, ali da veliµcina populacije poµcima opadati kad dosegnekapacitet K: Ove uvjete moµzemo opisati ovako: dydt dydt ky; za y dovoljno malen;< 0; za y > K:Matematiµcki model:dydt = ky y1 ; k > 0 (logistiµcka diferencijalna jednadµzba)KNaime, ako je y K onda je y K> 1; tj. 1yK< 0; pa jedydt < 0: 1; pa jeOpće rješenje logistiµcke diferencijalne jednadµzbe (dif. jed. sa sep. var. -kasnije) jeKy (t) =1 + ce : ktKonstantu c odre†ujemo prema poµcetnom stanju y 0 ; tj. koliµcini u trenutkut 0 = 0: Budući je y (0) = K ; imamo1+cšto povlaµci c = K y 0y 0; tj.K1 + c = y 0;y (t) =K1 + K y 0y 0e : ktGraf ove funkcije je:9

y (t) =K1+ K y 0y 0e kt ; y 0 < K; k > 0y (t) =K1+ K y 0y 0e kt ; y 0 > K; k > 0Model 3 Pretpostavimo da je rast populacije proporcionalan je brojutrenutne populacije, ali da veliµcina populacije poµcima opadati kad dosegnekapacitet K; te poµcima izumirati kad je veliµcina populacije manja od m : Oveuvjete moµzemo opisati ovako: dydt dydt dydt ky za y nije prevelik niti premalen (m 0y

Naime, ako je m 1 i m y < 1; tj. 1 yK < 0; 1mymy 1; pady> 0; pa je < 0; dt y < m onda je m y > 1 i y K < 1; tj. 1 yK > 0; 1mydy< 0; pa je < 0; dtPrimjer: Podaci o broju stanovnika u svijetu dani su tablicom (vidjetidodatak). Uz pretpostavku da je rast broja stanovnika proporcionalan brojustanovnika, treba odrediti k i usporediti koliko se dobro model podudara spodacima.Rješenje: Neka je y (t) broj stanovnika. Tada je y (t) = y 0 e kt : Ako odaberemo da je t 0 = 0 za 1900: godinu, onda je y 0 = 1650, tj.y (t) = 1650e kt : Odredimo k iz podatka za 1910: godinu. ImamoOvo povlaµci k = 1 1750ln10 1650y (10) = 1650 e k10 = 1750.= 0:005884: Dakle,y (t) = 1650 e 0:005884t :Po ovom modelu, imamo da je broj stanovnika 1990. godine trebaobiti y (90) = 1650 e 0:00588490 = 2802; što jako odstupa od stvarnihpodataka.Ako k odredimo iz podatka za 1950: godinu. ImamoOvo povlaµci k = 1 2520ln50 1650y (50) = 1650 e k50 = 2520.= 0:00847 Dakle,y (t) = 1650 e 0:00847t :Po ovom modelu, imamo da je broj stanovnika 1990. godine trebaobiti y (90) = 1650 e 0:0084790 = 3536; što dosta odstupa od stvarnihpodataka, ali je bolje od predhodnog modela.11

Ako odaberemo da je t 0 = 0 za 1950: godinu, onda je y 0 = 2520, tj.y (t) = 2520e kt : Odredimo k iz podatka za 1960: godinu. ImamoOvo povlaµci k = 1 3020ln10 2520y (10) = 2520 e k10 = 3020.= 0:0181: Dakle,y (t) = 2520 e 0:0181t :Po ovom modelu, imamo da je broj stanovnika 1990. godine trebaobiti y (40) = 2520 e 0:018140 = 5198; što se priliµcno dobro podudarasa stvarnim podacima. Na osnovi ovog modela broj stanovnika 2010:godine bi trebao biti 7465 milijuna.12