Un - Math.e - Pmf

Kompleksna analizaŠime Ungar

O numeraciji i oznakamaTeorija kompleksnih funkcija jedne kompleksne varijable prirodno se nastavljana teoriju vektorskih funkcija više realnih varijabli, i kao takvu, niz godinasam osnove teorije kompleksnih funcija predavao u okviru kolegija Matematičkaanaliza 4. Stoga i numeracijom poglavlja, odjeljaka, teorema, lema, itd. nastavljamonumeraciju iz moje knjige Matematička analiza u R n (Golden Marketing- Tehnička knjiga, Zagreb, 2005), koja obuhvaća sadržaj nekadašnjeg kolegijaMatematička analiza 3 i prvog dijela Matematičke analize 4. Većina materijalaprvih triju poglavlja nalazi se i u mojoj ranijoj knjizi Matematička analiza 3,PMF-Matematički odjel, Zagreb, 1992 i 1994.Zbog potpunosti, u dodatku navodimo iskaze svih teorema iz prva četiripoglavlja kojima se koristimo i na koje se pozivamo.Kažimo nešto o oznakama. Matematičari su tijekom stoljećâ razvili vrlo sofisticiraneoznake. Mnoge su postale standardne i koriste ih svi, ali neke, iz različitihrazloga — nisu. U principu, svejedno je kakve oznake rabimo, ali budućisame sebi nisu svrha, znatno olakšava čitanje i razumijevanje ako su jednostavnei, još važnije, konzistentne. To znači da se za istovrsne ili slične matematičkeobjekte koriste slične oznake — ili mala ili velika slova, grčka slova, slova iz istogdijela abecede, isti font, i slično. To naravno nije uvijek moguće, ali mi ćemonastojati biti što dosljedniji. Tako će U, V, W, . . . uvijek biti otvoreni skupovi,Ω će uvijek biti otvoren skup u R n ili C koji je domena promatrane funkcije.Velika pisana slova kao K, U, . . . označivat će familije skupova, K, C, . . . nekespecijalne skupove (Kochova krivulja, Cantorov skup,. . . ). Skalarni produktvektora x i y označivat ćemo s (x | y), uređen par s (x, y), a otvoren interval s〈x, y〉 (ovdje su naravno x i y realni brojevi). Od oznaka koje nisu u literaturistandardne koristit ćemo naprimjer f : Ω ⊆ C → C u značenju ‚f : Ω → C gdjeje Ω ⊆ C’. Ova oznaka, matematički govoreći, nije sasvim korektna, jer tu nemaiii

ivO numeraciji i oznakamanikakve funkcije C → C (dakle funkcije koja bi bila definirana na cijelom C), alije dovoljno sugestivna da opravdava njezino korištenje. Bolja oznaka za preslikavanjef koje je definirano samo na podskupu Ω ⊆ C je f : C ⊇ Ω → C.Ovu ćemo oznaku također rabiti. U vezi označivanja funkcija (preslikavanja)i čitanja označenog, napomenimo i sljedeće: f : X → Y se čita ‚preslikavanje(funkcija) f sa X u Y ’, a ne ‚na Y ’. Kada se kaže na, to znači da je f surjekcija,pa ukoliko nemamo zaista posla sa surjektivnim preslikavanjem, treba kazati u.Spomenimo također, da oznaka f : X → Y znači da je funkcija f definirana usvim točkama skupa X.Koristit ćemo se još jednom oznakom koja je sasvim nestandardna. Ako jef : X → Y preslikavanje i y ∈ Y točka, s f ← (y) označivat ćemo skup točakax ∈ X koje f preslikava u y. Dakle, f ← (y) := { x ∈ X : f(x) = y } je original ilipraslika točke y. To je podskup od X. Uobičajena oznaka za to je f −1 (y), ali, jerse radi o udžbeniku, pisat ćemo f ← (y) da naglasimo da se ne radi o vrijednostiinverzne funkcije f −1 u točki y, koja u danoj situaciji najčešće i ne postoji,a što studenti često zaborave. Ako inverzna funkcija f −1 : X → Y u nekojsituaciji zaista postoji, onda je naravno f ← (y) = {f −1 (y)}, što se najčešće, iakone sasvim korektno, piše f ← (y) = f −1 (y) (kao što se gotovo uvijek isto takonekorektno piše f(A) = 1 kada je f(x) = 1 za sve x ∈ A, umjesto, kako bitrebalo, f(A) = {1}). Posve analogno, označivat ćemo s f ← (B) original skupaB ⊆ Y . Dakle, f ← (B) := { x ∈ X : f(x) ∈ B } ⊆ X. Ako postoji inverznafunkcija f −1 : Y → X, onda je, naravno, f ← (B) = f −1 (B), i ova oznaka jekorektna.Zagreb, 24. veljače 2008.Šime Ungar

SadržajO numeraciji i oznakamaPopis oznakaiiivii5 Kompleksne funkcije 1§ 31 Derivacija kompleksne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3§ 32 Integral kompleksne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10§ 33 Cauchyjev teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17§ 34 Cauchyjeva integralna formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Nizovi i redovi funkcija 37§ 35 Uniformna i lokalno uniformna konvergencija . . . . . . . . . . . 37§ 36 Redovi potencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 Razvoji kompleksnih funkcija u redove potencija 53§ 37 Taylorov red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53§ 38 Laurentov red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61§ 39 Singulariteti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69§ 40 Reziduumi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77§ 41 Broj nultočaka i polova meromorfnih funkcija . . . . . . . . . . . 79§ 42 Lokalna svojstva holomorfnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . 88Korišteni teoremi iz analize u R n 95v

viSADRŽAJLiteratura 101Indeks 103

Popis oznakaRskup realnih brojevaR ∗ skup realnih brojeva različitih od 0R +R ∗ +NQCskup nenegativnih realnih brojevaskup strogo pozitivnih realnih brojevaskup prirodnih brojevaskup racionalnih brojevaskup kompleksnih brojevaC ∗ skup kompleksnih brojeva različitih od 0ZR nΩskup cijelih brojevan-dimenzionalan euklidski prostorotvoren skup u R n ili C, najčešće domena promatrane diferencijabilne odnosnoderivabilne funkcijef : S ⊆ X → Y preslikavanje f : S → Y , gdje je S ⊆ X. Najčešće se koristikao f : Ω ⊆ R n → R m . Ova oznaka nije sasvim korektna. Bolja jeoznaka:f : X ⊇ S → Y preslikavanje f : S → Y , gdje je S ⊆ X. Najčešće se koristikao f : C ⊇ Ω → Cvii

viiiOZNAKEK(P 0 , r), K(P 0 , r) otvorena, odnosno zatvorena, kugla (krug, ukoliko se radio ravnini) oko točke P 0 radijusa r > 0K(z, r), K(z, r) otvoren, odnosno zatvoren, krug u C oko z radijusa r > 0Int Sinterior skupa S; najveći otvoren skup koji je sadržan u SB(X, Y )C(X, Y )BC(X, Y )prostor omeđenih funkcija sa X u Yprostor neprekidnih funkcija sa X u Yprostor omeđenih neprekidnih funkcija sa X u Y↩→↠↣↣→inkluzijasurjektivno preslikavanje, preslikavanje nainjektivno preslikavanje, 1–1 preslikavanjebijektivno preslikavanje, preslikavanje 1–1 i naf ≡ 0, g ≡ 1konstantna preslikavanja f(x) = 0, g(x) = 1 za sve x ∈ X[a, b] zatvoren segment realnih brojeva, [a, b] = {t ∈ R : a ≤ t ≤ b}〈a, b〉 otvoren interval realnih brojeva, 〈a, b〉 = {t ∈ R : a < t < b}(x | y) skalarni produkt vektora x i yf ← (y) := { x ∈ X : f(x) = y } ⊆ X pri čemu je f : X → Y preslikavanje skuporiginala točke y. Uobičajena je oznaka f −1 (y). Ovu oznaku ćemo koristitikada želimo naglasiti da se ne radi o inverznom preslikavanju,koje možda u danoj situaciji i ne postoji.f ← (B) := { x ∈ X : f(x) ∈ B } ⊆ Xf −1 (B).original skupa B. Uobičajena je oznaka|z| modul kompleksnog broja z, str. 1i = √ −1 imaginarna jedinica, str. 2z konjugirano kompleksan broj, x + i y = x − i y, str. 2arg zargument kompleksnog broja z; kut između pozitivnog smjera realneosi i radijvektora točke z, str. 2

OZNAKEixf ′ (z 0 ) derivacija funkcije f u točki z 0 , str. 3D(Ω) skup svih funkcija derivabilnih na Ω, str. 3C π := C \ {(x, 0) : x ≤ 0} , str. 7C ϑ∫γkomplement polupravca iz ishodišta koji s pozitivnim dijelom realne osizatvara kut ϑ, str. 9f dz integral kompleksne funkcije f duž puta γ, str. 10H(Ω) skup svih funkcija holomorfnih na Ω, str. 31∑xn red, str. 42∞∑x n suma reda ∑ n∑x n , tj. limes lim x k , str. 42nn=1lim sup ρ n limes superior niza ρ n , str. 49∑c n dvostrani red; red čiji su članovi indeksirani cijelim brojevima, str. 61n∈Zk=1K ∗ (z 0 , R) := K(z 0 , R) \ {z 0 } probušen krug, str. 64res(f, z 0 ) reziduum funkcije f u točki z 0 , str. 77r(z 0 , f) red nultočke ili pola funkcije f, str. 80N Γ (f) , P Γ (f) broj nultočaka odnosno polova meromorfne funkcije f koji senalaze u unutrašnjem području konture Γ, i to računajući njihov red,str. 81

5Kompleksne funkcijeU ovom ćemo poglavlju započeti proučavanje kompleksnih funkcija jedne kompleksnevarijable. Skup kompleksnih brojeva označavat ćemo s C. Njegovi suelementi uređeni parovi realnih brojeva, C := { z = (x, y) : x, y ∈ R }, dakle,kao skup, C je isto što i R 2 . Prva komponenta x kompleksnog broja z = (x, y)naziva se njegov realni dio, i označava se R(z) ili Re z, a druga komponenta, tj.realan broj y, naziva se imaginarni dio, i označava se I(z) ili Im z.I kao abelova grupa, C se podudara s R 2 — zbrajanje je definirano po koordinatama,kao i u R 2 . Modul |z| kompleksnog broja z = (x, y), definira se kao|z| := √ x 2 + y 2 , pa je to isto što i (euklidska) norma u R 2 . To omogućuje definicijuudaljenosti, metrike, pa C dobiva i strukturu metričkog prostora. I kaometrički prostor, C se podudara s R 2 . Otvoreni, zatvoreni, kompaktni,. . . skupovisu, dakle, isti kao u R 2 — o njima nemamo stoga ništa novoga reći. Kakoneprekidnost funkcija ovisi samo o topološkoj strukturi, niti o tome nemamoništa novoga reći: funkcija f : C ⊇ S → C neprekidna je u točki z 0 ∈ S ⊆ C,ako za svaki ε > 0 postoji δ > 0 takav da za sve z ∈ S za koje je |z − z 0 | < δ,vrijedi |f(z) − f(z 0 )| < ε. Isto tako je i konvergencija nizova u C ista kao ikonvergencija u R 2 , a isto vrijedi i za Cauchyjevo svojstvo, pa je C, izmeđuostalog, potpun metrički prostor.Novost nastupa uvođenjem množenja kompleksnih brojeva C × C → C, formulom(x 1 , y 1 ) · (x 2 , y 2 ) := (x 1 x 2 − y 1 y 2 , x 1 y 2 + x 2 y 1 ) .Ovako definirano množenje je asocijativno, komutativno, ima neutralni element— kompleksan broj (1, 0), distributivno je prema zbrajanju, i svaki kompleksan1

2 5. KOMPLEKSNE FUNKCIJEbroj z =(x, y) ∈ C ∗ :=C \ {(0, 0)} ima inverz1z := z−1 = ( xx 2 + y 2 , −y ).x 2 + y 2Tako C postaje polje.Kompleksni brojevi oblika (x, 0) ponašaju se kao realni brojevi, tj. vrijedi(x 1 , 0)+(x 2 , 0) = (x 1 +x 2 , 0) i (x 1 , 0)·(x 2 , 0) = (x 1 ·x 2 , 0). Stoga realne brojeveidentificiramo s kompleksnim brojevima kojima je imaginarni dio jednak nuli,x ≡ (x, 0). Tako R postaje podskupom od C, a kako su algebarske i topološkestrukture usklađene, to je, algebarski gledano, R potpolje od C, a topološkigledano, R je (metrički) potprostor od C. Ovako smješten skup R ⊆ C, tj. skupbrojeva oblika x ≡ (x, 0), x ∈ R, naziva se realna os.Kompleksan broj (1, 0), koji je, uz identifikaciju R ⊆ C, zapravo realanbroj 1, ima ulogu jedinice za množenje. S druge strane, vrijedi (0, 1) · (0, 1) =(−1, 0) ≡ −1, pa se broj (0, 1) naziva korijen od −1, ili imaginarnom jedinicom,i standardno se označava s i = √ −1. Tako dolazimo i do uobičajene oznake zakompleksne brojeve, z = x + i y, jer je(x, y) = (x, 0) · (1, 0) + (y, 0) · (0, 1) ≡ x · 1 + y · i .Skup brojeva oblika i y ≡ (0, y), y ∈ R, naziva se imaginarna os.I za funkciju f : C ⊇ S → C često pišemo f = u + i v, tj. f(z) = (u(z), v(z)),gdje su u, v : S → R realne funkcije, jedne kompleksne, odnosno dvije realne, varijable.Kako se topološke strukture prostora C i R 2 podudaraju, to je funkcija fneprekidna ako, i samo ako su obje funkcije u i v neprekidne.iZrcaljenje kompleksne ravnine s obzirom na realnu os,z naziva se konjugiranje kompleksnih brojeva. To je funkcijaz ↦→ z definirana kao z := (x, −y), tj. x + i y := x − i y.Konjugiranje je neprekidna funkcija, i često se koristi. Vrijedi,ϑ=arg z naprimjer, |z| = √ z z i 1 z = z|z| . 2O 1 Kompleksni broj, kao točka u ravnini, može se reprezentiratii polarnim koordinatama, z = |z|(cos ϑ + i sin ϑ), pričemu je ϑ kut između pozitivnog smjera realne osi i radijvektoratočke z. Kut ϑ naziva se argument kompleksnog broja, izoznačava s arg z.Uz oznaku e i ϑ :=cos ϑ+i sin ϑ, može se pisati z =|z|(cos ϑ + i sin ϑ)=|z| e i ϑ .Lako je pokazati da se ovakav zapis kompleksnog broja u mnogočemu ponaša|z|

§ 31. Derivacija kompleksne funkcije 3kao uobičajena eksponencijalna funkcija. Naprimjer, vrijedi e i ϑ e i ϕ = e i (ϑ+ϕ) ,pa za množenje dobivamo z 1 z 2 = |z 1 ||z 2 |e i (ϑ1+ϑ2) .Prema svemu dosad rečenom, izgleda kao da će se analiza kompleksnih funkcijajedne kompleksne varijable svesti na analizu funkcija dviju realnih varijabli,točnije na analizu funkcija iz R 2 u R 2 . To je, međutim, daleko od istine. Velikerazlike nastaju uvođenjem derivacije kompleksne funkcije.§ 31 Derivacija kompleksne funkcijeDerivaciju kompleksne funkcije definiramo na isti način kao i derivaciju realnefunkcije jedne realne varijable.Definicija 31.1 Za funkciju f : Ω → C, gdje je Ω ⊆ C otvoren skup, kažemof(z) − f(zda je derivabilna u točki z 0 ∈ Ω, ako postoji limes lim0 )∈ C. Uz→z 0 z − z 0tom slučaju taj limes označavamo f ′ (z 0 ) i zovemo derivacija funkcije f u točkiz 0 .Za funkciju f : Ω → C kažemo da je derivabilna, ako je derivabilna u svimtočkama skupa Ω.Skup svih funkcija derivabilnih na Ω, označavat ćemo s D(Ω).Kao i u slučaju realne funkcije realne varijable, direktno se iz definicije lakopokazuje da se derivabilnost čuva sumom, produktom, kompozicijom,. . . , davrijede uobičajene formule za derivacije, i da je svaka derivabilna funkcija neprekidna.Primjer 31.1 Potencija, f(z) := z n , derivabilna je na cijeloj kompleksnoj ravnini,i njezina derivacija je, kao i u slučaju realne funkcije realne varijable,jednaka f ′ (z) = n z n−1 . To se lako dokaže, bilo neposredno iz definicije, biloindukcijom korištenjem formule za derivaciju produkta.Funkcija f(z) := 1 2 (z+z) nije derivabilna, iako je, do na faktor 1 2, suma dviju‚lijepih’ funkcija — identitete i konjugiranja. Zaista, kada bi f bila derivabilna,postojao bi u z 0 = (x 0 , y 0 ) limes kvocijenta ∣ f(z) − f(z ∣ ∣ ∣0) ∣∣ ∣∣ x − x = 0 ∣∣ = |cos ϑ|,z − z 0 z − z 0gdje je ϑ = arg(z−z 0 ). Međutim, limes ovog izraza ne postoji, jer |cos ϑ| osciliraizmeđu 0 i 1.To znači da konjugiranje z ↦→ z nije derivabilna funkcija, iako su joj i realnii imaginarni dio, s aspekta realnih funkcija, diferencijabilne funkcije, čakklase C ∞ .

4 5. KOMPLEKSNE FUNKCIJESljedeći teorem daje nužne i dovoljne uvjete koje moraju zadovoljavati realnefunkcije u i v, da bi kompleksna funkcija f = u + i v bila derivabilna.Teorem 31.1 (Cauchy-Riemannov teorem) Kompleksna funkcija f = u +i v : Ω → C derivabilna je u točki z 0 = (x 0 , y 0 ) ∈ Ω ako, i samo ako su funkcijeu i v, kao realne funkcije dviju realnih varijabli, diferencijabilne u točki (x 0 , y 0 ),i zadovoljavaju ove Cauchy-Riemannove uvjete:∂ x u(x 0 , y 0 ) = ∂ y v(x 0 , y 0 )∂ y u(x 0 , y 0 ) = −∂ x v(x 0 , y 0 ) .(CR)Dokaz: Neka je funkcija f derivabilna u z 0 =(x 0 , y 0 ) i neka je f ′ (z 0 )=a+i b ∈ C.Tada je∣ f(z) − f(z 0)− (a + i b) ∣ =z − z 0 ∣ u(x, y) + i v(x, y) − u(x0 , y 0 ) − i v(x 0 , y 0 ) − (a + i b) ( (x − x 0 ) + i (y − y 0 ) )∣ ∣=|z − z 0 |∣ u(x, y)−u(x0 , y 0 )−a(x−x 0 )+b(y−y 0 )+i ( v(x, y)−v(x 0 , y 0 )−a(y−y 0 )−b(x−x 0 ) )∣ ∣=|z − z 0 |∣Kako je limf(z) − f(z 0 )− (a + i b) ∣ = 0, i |z − z0 | = ‖(x − x 0 , y − y 0 )‖, to je iz→z 0 z − z 0|u(x, y) − u(x 0 , y 0 ) − a(x − x 0 ) + b(y − y 0 )|lim(x,y)→(x 0,y 0)‖(x − x 0 , y − y 0 )‖|v(x, y) − v(x 0 , y 0 ) − b(x − x 0 ) − a(y − y 0 )|lim(x,y)→(x 0,y 0)‖(x − x 0 , y − y 0 )‖= 0 , i= 0 ..To znači da su funkcije u, v : Ω → R diferencijabilne u (x 0 , y 0 ) = z 0 , i da je∂ x u(x 0 , y 0 ) = a = ∂ y v(x 0 , y 0 )∂ y u(x 0 , y 0 ) = −b = −∂ x v(x 0 , y 0 ) .Time je nužnost dokazana. Obrnutim redoslijedom zaključivanja, dobivamo idovoljnost.

§ 31. Derivacija kompleksne funkcije 5Korolar 31.2 Ako je funkcija f : Ω → C derivabilna u z 0 = (x 0 , y 0 ) ∈ Ω,onda jef ′ (z 0 ) = ∂ x u(x 0 , y 0 ) + i ∂ x v(x 0 , y 0 ) =: ∂ x f(z 0 )= ∂ x u(x 0 , y 0 ) − i ∂ y u(x 0 , y 0 )= ∂ y v(x 0 , y 0 ) − i ∂ y u(x 0 , y 0 ) =: −i ∂ y f(z 0 ) = 1 i ∂ yf =:= ∂ y v(x 0 , y 0 ) + i ∂ x v(x 0 , y 0 ) .∂f∂(i y) =: ∂ iyfUz oznake uvedene u ovim formulama, oba Cauchy-Riemannova uvjeta možemozapisati jednom formulom: ∂ x f(z 0 ) = ∂ iy f(z 0 ).Korolar 31.3 Ako je funkcija f = u + i v : Ω → C derivabilna, a realne funkcijeu i v su diferencijabilne klase C 2 (vidjet ćemo kasnije da to već slijedi izderivabilnosti kompleksne funkcije f), onda su u i v harmoničke funkcije, tj.obje zadovoljavaju Laplaceovu 1 diferencijalnu jednadžbu∂ 2 u∂x 2 + ∂2 u∂y 2 = 0 .Dokaz: Zbog Cauchy-Riemannovih uvjeta je ∂ x u = ∂ y v, pa deriviranjem po xdobivamo∂ x ∂ x u = ∂ x ∂ y v Schwarz= ∂ y ∂ x v (CR)= −∂ y ∂ y u ,i slično za funkciju v.Napomena 31.1 Teorem 31.1 i korolar 31.3 pokazuju kako su strogi zahtjevina realne funkcije u i v da bi kompleksna funkcija f = u + i v bila derivabilna.S druge strane, za neprekidnost od f bila je dovoljna samo neprekidnost od ui v, i nije se zahtijevala nikakva međusobna veza tih funkcija. Otkuda tolikarestrikcija kada se radi o derivabilnosti?Uzrok tome je sljedeći. Diferencijabilnost funkcije u nekoj točki, što je zafunkcije jedne varijable ekvivalentno derivabilnosti u toj točki, znači da se prirastte funkcije može aproksimirati linearnom funkcijom (linearnim operatorom).Kod kompleksnih funkcija to znači C-linearnim operatorom. Međutim,C-linearnih operatora C → C ima manje nego R-linearnih operatora R 2 → R 2 ,kakvi se koriste za aproksimaciju vektorskih funkcija dviju realnih varijabli, točnijefunkcija R 2 → R 2 .1 Pierre-Simon Laplace (1749–1827), francuski matematičar

6 5. KOMPLEKSNE FUNKCIJE( )Naime, da bi R-linearan operator A: R 2 → R 2 a breprezentiran matricomc dbio, shvaćen kao funkcija C → C, i C-linearan, nužno je i dovoljno da vrijedia = d i b = −c. Zaista, ako je A: C → C kompleksno-linearan operator, ondaza skalar i ∈ C i svaki z = (x, y) ∈ C, mora vrijediti A(i z) = i A(z), odaklespecijalno za z = (1, 0), dobivamo a = d i b = −c.Da su ta dva uvjeta i dovoljna za C-linearnost funkcije A, lako se provjeridirektno.Tako dobivamo upravo Cauchy-Riemannove uvjete, jer je Jacobijeva matrica,a to je matrica ( koja ) reprezentira diferencijal funkcije f = (u, v): Ω → R 2 ,∂x u ∂jednakay u.∂ x v ∂ y vDakle, ako funkcija f : Ω → C ima (kompleksnu) derivaciju (što je ekvivalentnodiferencijabilnosti u smislu kompleksnih funkcija), onda je f shvaćenakao funkcija iz R 2 u R 2 diferencijabilna, ali obratno vrijedi samo ako su jošzadovoljeni i Cauchy-Riemannovi uvjeti.Korolar 31.4 Ako je Ω ⊆ C otvoren i povezan skup, a f : Ω → C derivabilnafunkcija takva da je f ′ (z) = 0 za sve z ∈ Ω, onda je f konstantna funkcija.Primjer 31.2 Navedimo nekoliko osnovnih primjera derivabilnih kompleksnihfunkcija:Identiteta f(z) = z je derivabilna, i f ′ (z) = 1 za sve z ∈ C.Polinomi, tj. funkcije oblika p(z) = a n z n + a n−1 z n−1 + · · · + a 1 z + a 0 , gdjesu a i ∈ C, i = 0, . . . , n, derivabilne su funkcije, i derivacija je jednakap ′ (z) = n a n z n−1 + (n − 1) a n−1 z n−2 + · · · + a 1 .Racionalne funkcije, tj. kvocijenti dvaju polinoma, derivabilne su svuda gdjesu definirane, dakle, svuda osim u nultočkama nazivnika.Eksponencijalna funkcija kompleksne varijable je funkcija exp: C → C definiranasexp z = e z = e x+i y := e x (cos y + i sin y) .Realni i imaginarni dio funkcije exp očito jesu diferencijabilne funkcije, aCauchy-Riemannovi uvjeti lako se provjere. Stoga je (kompleksna) eksponencijalnafunkcija derivabilna, i za derivaciju nalazimoexp ′ z = ∂ x u(z) + i ∂ x v(z) = exp z , tj. (e z ) ′ = e z .

§ 31. Derivacija kompleksne funkcije 7Primijetimo da je e z+2 i π = e z , pa je kompleksna eksponencijalna funkcijaperiodička, i to s osnovnim periodom 2 i π.2πImπexp✲1 e e 2Re0 1 2Tu smo funkciju, ali shvaćenu kao preslikavanje R 2 → R 2 , promatrali većranije, primjer 12.1, i vidjeli da ona nije injektivna (jer je periodička u drugojvarijabli), ali je injektivna na svakoj ‚horizontalnoj’ prugi širine 2π, islika takve otvorene pruge je cijela kompleksna ravnina bez jednog polupravcas početkom u ishodištu.Na prethodnoj slici je prikazano kako eksponencijalna funkcije preslikavaprugu R × 〈0, 2π〉 = {z = x + i y : x ∈ R, y ∈ 〈0, 2π〉} na komplementpozitivnog dijela realne osi. Slike točaka z = x + i y za koje je x > 0nalaze se izvan jediničnog kruga, a za x < 0 unutar jediničnog kruga.Slično, slika pruge R×〈−π, π〉 je komplement negativnog dijela realne osi.Logaritamska funkcija kompleksne varijable nije definirana na cijeloj kompleksnojravnini. Naime, željeli bismo da je, kao kod realnih funkcijarealne varijable, logaritamska funkcija inverzna eksponencijalnoj, ali kakokompleksna eksponencijalna funkcija nije bijekcija, inverzna funkcija nepostoji. Međutim, kako smo vidjeli, eksponencijalna funkcija jeste injektivnana svakoj horizontalnoj prugi širine 2π, pa restrikcija eksponencijalnefunkcije na svaku takvu prugu ima svoju inverznu funkciju, koja je definiranana slici te pruge. Prirodno je zahtijevati da takva inverzna funkcijaproširuje realnu logaritamsku funkciju R + := {x ∈ R : x > 0} → R,koju ćemo privremeno označavati s ln R: R + → R. Stoga za domenu trebauzeti takav skup koji sadrži pozitivan dio realne osi. Uobičajeno je zadomenu kompleksne logaritamske funkcije uzeti komplement negativnogdijela realne osi, dakle sliku pruge R × 〈−π, π〉.Označimo s C π := C \ {(x, 0) : x ≤ 0} komplement negativnog dijelarealne osi u kompleksnoj ravninikomplement negativnog dijela realne osi,

8 5. KOMPLEKSNE FUNKCIJEa s U−π π := {x + i y : y ∈ 〈−π, π〉} ⊆ C odgovarajuću horizontalnu prugu.Želimo, dakle, derivabilnu funkciju l: C π → U−π π koja je inverzna funkcijiexp: U−π π → C π . Mora dakle vrijediti l ◦ exp = id, tj.i exp ◦ l = id, tj.l(e z ) = z , za sve z ∈ U π−π , (1)e l(z) = z , za sve z ∈ C π . (2)Budući da eksponencijalna funkcija preslikava sumu u produkt, mora njezinainverzna funkcija preslikavati produkt u sumu, tj. logaritam produktamora biti jednak sumi logaritama. Zapišemo li z ∈ C π kao z = |z| e i arg z ,zbog (1) dobivamol(z) = l(|z| e i arg z ) = l(|z|) + l(e i arg z ) (1)= l(|z|) + i arg z ,a jer je |z| pozitivan realan broj, i želimo da se za pozitivne realne brojevefunkcija l podudara s realnom logaritamskom funkcijom, dobivamol(z) = ln R|z| + i arg z . (3)Umjesto l, kompleksnu logaritamsku funkciju ćemo, kao i realnu, označavatis ln: C π → U π−π ⊆ C. Prema (3), ona je definirana sln z := ln R|z| + i arg z . (4)Za pozitivne realne brojeve z ∈ R + je arg x = 0 pa je ln z = ln R|z| =ln Rz, tj. „kompleksn” logaritamska funkcija ln zaista proširuje „realnu”logaritamsku funkciju ln R.Zapisano u koordinatama, kompleksna logaritamska funkcija jednaka jeln z = ln(x + i y) = 1 2 ln(x2 + y 2 ) + i arg z , (5)a funkciju arg : C π → R možemo zapisati formulama⎧⎨ arc tg y x, x > 0 (desna poluravnina)arg z = arc ctg x y, y > 0 (gornja poluravnina)⎩arc ctg x y − π , y < 0 (donja poluravnina) . (6)Kao i za funkciju ϑ u Primjeru 25.2, lako se provjeri da je formulom (6)funkcija z ↦→ arg z dobro definirana.

§ 31. Derivacija kompleksne funkcije 9Pokažimo da je funkcija ln definirana formulama (5) i (6) zaista derivabilna,i nađimo njezinu derivaciju. Na skupu { x + i y : x > 0 }, tj. nadesnoj poluravnini vrijediln(z) = ln(x + i y) = 1 2 ln(x2 + y 2 ) + i arc tg y x ,pa je∂ x ln(z) = 1 2x2 x 2 + y 2 + i 11 + ( y (− y x )2 x 2 ) = xx 2 + y 2 − i yx 2 + y 2 ,i∂ y ln(z) = 1 2y2 x 2 + y 2 + i 1 11 + ( y x )2 x =yx 2 + y 2 + ixx 2 + y 2 .Prema Cauchy-Riemannovu teoremu, teorem 31.1, zaključujemo da jefunkcija ln derivabilna na desnoj poluravnini, i njezina je derivacija jednakaln ′ (z) = ∂ x ln(z) =z|z| 2 = 1 z .Na gornjoj poluravnini vrijedi ln(z) = 1 2 ln(x2 + y 2 ) + i arc ctg x y , a nadonjoj je ln(z) = 1 2 ln(x2 + y 2 ) + i (arc ctg x − π), usporedi s funkcijom ϑyu Primjeru 25.2, pa se, kao i ranije, pokazuje da je i tamo ln derivabilnai derivacija je 1 z , tj. funkcija ln je derivabilna, i na cijelom skupu C π jeln ′ (z) = 1 z .Nema ništa posebnog u skupu U−π. π Eksponencijalna funkcija isto tako ostvarujebijekciju pruge U 2π 0 := { z = x + i y : 0 < y < 2π } na komplementpozitivnog dijela realne osi, tj. na skup C 0 := C\{ z = (x, 0) : x ≥ 0 }, i općenito,bilo koje pruge U ϑ+2πϑ:= { z = x+i y : ϑ < y < ϑ+2π }, ϑ ∈ R, naskup C ϑ — komplement polupravca iz ishodišta koji s pozitivnim dijelomrealne osi zatvara kut ϑ. Stoga za svaki ϑ postoji pripadna kompleksnalogaritamska funkcija C ϑ → U ϑ+2πϑ, inverzna restrikciji funkcije z ↦→ ezna U ϑ+2πϑ .

10 5. KOMPLEKSNE FUNKCIJETrigonometrijske i hiperbolne funkcije kompleksne varijable definiraju sepomoću eksponencijalne funkcije formulama:sin z := ei z − e −i z2ish z := ez − e −z2cos z := ei z + e −i z2ch z := ez + e −z.2Sve su to derivabilne funkcije, i derivacije su jednake onima u realnomslučaju. I algebarski, tj. kod ‚računanja’ te se funkcije ponašaju kako smonaučeni iz realne analize.§ 32 Integral kompleksne funkcijeKompleksne funkcije kompleksne varijable integriramo po putevima, odnosnokrivuljama. U ovoj točki definirat ćemo integral, nabrojati neka osnovna svojstva,i započeti ispitivanje neovisnosti integrala o putu integracije, čime ćemose detaljnije baviti u idućem paragrafu.Neka je γ = ξ + i η : [a, b] → C po dijelovima gladak put, γ ♣ = γ([a, b]) ⊆ Cneka je njegova slika (trag), i neka je f = u + i v : γ ♣ → C neprekidna funkcija.Integral funkcije f duž puta γ definiramo kao (kompleksan) broj∫γ:=∫=f dz :=∫ bγa∫ baf(γ(t)) γ ′ (t) dt(u(γ(t)) ξ ′ (t) − v(γ(t)) η ′ (t) ) b(dt + i∫v(γ(t)) ξ ′ (t) + u(γ(t)) η ′ (t) ) dt∫u dx − v dy + iγv dx + u dy .U zadnjem retku radi se o dva integrala diferencijalnih 1-formi duž puta γ. Toopravdava i uvođenje oznake dz := dx + i dy, jer tada formalnim množenjem,dobivamo∫γ∫∫f dz = (u + i v)(dx + i dy) =γγa∫u dx − v dy + i v dx + u dy , (1)γ

§ 32. Integral kompleksne funkcije 11a uz taj formalizam je iRe ( ∫ f dz ) ∫=γIm ( ∫ f dz ) ∫=γγγRe(f dz)Im(f dz) .Lako se pokazuje da ovako definiran integral ima uobičajena svojstva, tj. daje linearan funkcional na prostoru neprekidnih kompleksnih funkcija definiranihna γ ♣ , i da je aditivna funkcija puta integracije. Također se, kao i kod integraladiferencijalne 1-forme duž puta, tj. integrala druge vrste, lako pokazuje da suintegrali duž algebarski ekvivalentnih puteva jednaki.∫ Kao i u § 30 za integral diferencijalne 1-forme, i ovdje se definira integralf dz kompleksne funkcije duž orijentirane po dijelovima glatke krivuljeΓΓ = (Γ, G o ), kao integral ∫ f dz po proizvoljnom po dijelovima glatkom putu γγkoji parametrizira orijentiranu krivulju Γ. Da je ta definicija dobra, tj. da neovisi o odabranoj po dijelovima glatkoj parametrizaciji γ krivulje Γ, pokazuje sebilo direktno, koristeći se teoremom 30.1, bilo rabeći (1) i činjenicu da integraldiferencijalne 1-forme ne ovisi o odabranoj parametrizaciji krivulje Γ.Napomena 32.1 U prethodnoj smo definiciji prešutno istakli i što podrazumijevamopod integralom kompleksne funkcije jedne realne varijable. Naime, akoje naprimjer, g = g Re+ i g Im: [a, b] → C neprekidna funkcija, onda, po definiciji,smatramo da je∫ bg(t) dt :=∫ b(gRe (t) + i g Im(t) ) ∫ bdt := g Re(t) dt + iaaaa∫ bg Im(t) dt .To je usaglašeno i s inkluzijom R ⊆ C, tj. s identifikacijom x ≡ (x, 0). Naime,tom će identifikacijom, segment realnih brojeva [a, b] ⊆ R biti identificiran saskupom [a, b] × {0} = {z = x + i y : x ∈ [a, b], y = 0} ⊆ C, pa na identitetuid: [a, b] → [a, b] možemo gledati kao na put ι: [a, b] → C dân s ι(t) := (t, 0).Ako sada na g = g Re+ i g Imgledamo kao na funkciju g : ι ♣ → C, dakle, umjesto

12 5. KOMPLEKSNE FUNKCIJEg(t) pišemo g(t, 0), i slično za realne funkcije g Rei g Im, onda je∫ιg dz ===∫ ba∫ ba∫ bg(ι(t)) ι ′ (t) dt(gRe (t, 0) ι ′ Re (t) − g Im (t, 0) ι′ Im (t)) dt +g Re(t) dt + i∫ baa+ i∫ bag Im(t) dt ,(gIm (t, 0) ι ′ Re (t) + g Re (t, 0) ι′ Im (t)) dtjer je ι ′ (t) = 1 i ι′ (t) = 0 za sve t, a upravo smo tako, prešutno, u definicijiRe Imintegrala kompleksne funkcije duž puta, bili i definirali∫ bag(t) dt.Dokažimo sada jednu ocjenu modula integrala, koju ćemo često koristiti.Lema 32.1 (o ocjeni integrala) Neka je γ : [a, b] → C po dijelovima gladakput duljine l(γ), i neka je f : γ ♣ → C neprekidna funkcija, te neka je M :=max{|f(z)| : z ∈ γ ♣ }. Tada je∫∣γf dz ∣ ∣ ≤ M l(γ) .Dokaz: Primijetimo najprije, da, zbog kompaktnosti skupa γ ♣ i neprekidnostifunkcije f, maksimum M zaista postoji. Označimo s J := ∫ γ f dz = |J|ei ϑ zaneki ϑ ∈ R (točnije, ϑ = arg J, ali nam ta činjenica neće trebati). Tada je|J| = e −i ϑ ∫=∫ baγ∫ bf dz = e −i ϑ f(γ(t)) γ ′ (t) dte −i ϑ f(γ(t)) γ ′ (t) dt .a

§ 32. Integral kompleksne funkcije 13Stoga jejer je |e −i ϑ | = 1.|J| = Re|J| =≤∫ ba∫ b≤ MRe ( e −i ϑ f(γ(t)) γ ′ (t) ) dt∣ e−i ϑ f(γ(t)) γ ′ (t) ∣ dta∫ ba|γ ′ (t)| dt = Ml(γ) ,Integral kompleksne funkcije, općenito, ovisi o putu integracije, ali uz nekeuvjete — ne. Sada ćemo se pozabaviti upravo tim pitanjem — kada integralkompleksne funkcije ne ovisi o putu integracije. Kao što smo u teoremu 25.2bili pokazali za integral diferencijalne 1-forme, tako se i sada jednostavno vidida je neovisnost integrala kompleksne funkcije o putu integracije, ekvivalentnatome da je integral po svakom po dijelovima glatkom zatvorenom putu jednaknuli. Tu ćemo činjenicu ubuduće koristiti bez posebnog naglašavanja.Analogno teoremu 25.2, vrijediTeorem 32.2 (Cauchyjev teorem za derivaciju) Neka je f : Ω → C neprekidnafunkcija definirana na otvorenom skupu Ω ⊆ C. Tada je ∫ γ f dz = 0za sve po dijelovima glatke zatvorene puteve γ u Ω ako i samo ako postoji derivabilnafunkcija F : Ω → C za koju je F ′ = f na Ω.Dokaz: ⇐ Neka je F : Ω → C derivabilna funkcija takva da je F ′ = f, i nekaje γ : [a, b] → Ω PDG put koji je zatvoren, tj. γ(a) = γ(b). Tada je∫ ∫ b∫ bf dz = f(γ(t)) γ ′ (t) dt = F ′ (γ(t)) γ ′ (t) dtγ=a∫ baa(F ◦ γ) ′ (t) dt = F (γ(b)) − F (γ(a)) = 0 .⇒ Obratno, uz pretpostavku da integral funkcije f ne ovisi o putu, tj. da jeintegral po svakom zatvorenom PDG putu jednak nuli, treba definirati funkcijuF : Ω → C takvu da je F ′ = f. Dovoljno je funkciju F definirati zasebno nasvakoj komponenti povezanosti skupa Ω, jer su te komponente međusobno disjunktniotvoreni skupovi, a derivabilnost je lokalno svojstvo. Drugim riječima,dovoljno je definirati funkciju F u slučaju kada je otvoren skup Ω povezan.

14 5. KOMPLEKSNE FUNKCIJEFiksirajmo točku z 0 ∈ Ω, i za z ∈ Ω definirajmo∫F (z) := f dz ,γ zgdje je γ z bilo koji PDG put u Ω od z 0 do z. Kako po pretpostavci, integralfunkcije f ne ovisi o putu, F je dobro definirana funkcija. Pokažimo da jeF derivabilna, i da je F ′ (z) = f(z) za sve z ∈ Ω. Neka je z ∈ Ω i r z > 0takav da je K(z, r z ) ⊆ Ω. Za ‚malene’ h ∈ C, takve da je |h| < r z , neka jeσ h : [0, 1] → Ω put definiran sa σ h (t) := z + th, dakle jedna parametrizacijasegmenta [z, z + h] ⊆ K(z, r z ) ⊆ Ω. Kako u definiciji vrijednosti funkcije F utočki z + h možemo uzeti proizvoljan put (u Ω) od z 0 do z + h, možemo uzeti iput γ + σ h . Stoga jeF (z + h) − F (z) 1( ∫ ∫ ) ∫1lim= lim f dz − f dz = lim f dzh→0 hh→0 h γ+σ h γh→0 h σ h1= limh→0 h∫ 10f(z + th) h dt = limh→0∫ 10f(z + th) dt .Kako je funkcija (t, h) ↦→ f(z + th) neprekidna, limes po h i integral po tkomutiraju, korolar 19.6, pa je to dalje jednako=∫ 10limh→0f(z + th) dt ,što je, zbog neprekidnosti funkcije h ↦→ f(z + th), jednako=∫ 10f(z) dt = f(z)∫ 10dt = f(z) .Dakle, funkcija F derivabilna je, i njezina je derivacija zaista jednaka f.Za neprekidnu funkciju f : Ω → C kažemo da ima primitivnu funkciju na Ω,ako postoji funkcija F : Ω → C takva da je F ′ (z) = f(z) za sve z ∈ Ω. Funkcija fima na Ω lokalno primitivnu funkciju, ako oko svake točke z ∈ Ω postoji okolina(npr. otvoren krug) na kojoj f ima primitivnu funkciju.Korolar 32.3 Ako neprekidna funkciju f : Ω → C ima primitivnu funkciju, tj.ako postoji derivabilna funkcija F : Ω → C takva da je F ′ = f, onda za svaki podijelovima gladak put γ : [a, b] → Ω vrijedi∫f dz = F (γ(b)) − F (γ(a)) .γ

§ 32. Integral kompleksne funkcije 15Primjer 32.1 Promotrimo integral funkcije f(z) := (z −z 0 ) n po, pozitivno orijentiranoj,kružnici Γ radijusa r sa središtem u z 0 . Jednostavna parametrizacijakružnice dana je funkcijom γ(t) := z 0 + r e i t , t ∈ [0, 2π], pa, za n ≠ −1, imamo∫Γ(z − z 0 ) n dz =∫ 2π0= r n+1 ∫ 2π(r ei t ) nr ei t i dt0∣e i (n+1)t i dt = rn+1n + 1 ei (n+1)t ∣∣2π= 0 ,0što smo mogli zaključiti i na temelju Cauchyjeva teorema za derivaciju, teorem32.2, jer je, za n ≠ −1, funkcija z ↦→ (z − z 0 ) n derivacija funkcijez ↦→ 1n + 1 (z − z 0) n+1 na probušenoj ravnini C \ {z 0 }.Za n = −1 nalazimo∫Γ∫dz 2π1=z − z 0 0 r e i t r i ei t dt = idakle, integral je različit od nule.∫Specijalno je, dakle, integralΓdzz∫ 2π0dt = 2πi ,= 2πi ≠ 0, što znači da ne postojifunkcija definirana na C \ {0} čija je derivacija jednaka 1 , što opet pokazuje dazne postoji funkcija ln: C \ {0} → C.Pod pravokutnikom podrazumijevat ćemo uvijek pravokutnik kome su straniceparalelne koordinatnim osima (tj. realnoj i imaginarnoj osi). Ponekad setakav pravokutnik naziva standardni ili koordinatni pravokutnik.U idućoj ćemo točki trebati sljedeću varijantu jednog smjera (nužnost) Cauchyjevateorema za derivaciju:Teorem 32.4 (o postojanju primitivne funkcije na krugu) Neka je K ⊆Cotvoren krug, a f : K → C neprekidna funkcija sa svojstvom da je ∫ ∂If dz = 0po rubu svakog pravokutnika I ⊆ K. Tada f ima primitivnu funkciju na K.Dokaz: Neka je z 0 središte kruga K. Za svaki z ∈ K, pravokutnik I z , kome sunasuprotni vrhovi z 0 i z, leži u K. Neka je Γ z ⊆ ∂I z dio ruba pravokutnika I zod z 0 do z (najprije ‚horizontalno’, tj. paralelno realnoj osi, a onda ‚vertikalno’,tj. paralelno imaginarnoj osi). Definirajmo

16 5. KOMPLEKSNE FUNKCIJEz∫KF (z) = U(z) + i V (z) := f dz , z 0Γ zi pokažimo da je to derivabilna funkcija kojoj je derivacija jednaka f.Za z ∈ K, neka je r z > 0 takav da je K(z, r z ) ⊆ K. Za h ∈ R takav da je|h| < r z , je segment [z, z + h] ⊆ K, pa jeF (z + h) − F (z)∂ x F (z) = ∂ x U(x, y) + i ∂ x V (x, y) = limh→0 h1( ∫ ∫z+ih)z z+h = lim f dz − f dzh→0 h Kz 0 z ′z z + hz 0 z ′zz 0 z ′što je, jer je integral po rubu svakog pravokutnika u K jednaknuli, jednako1( ∫ ∫= lim f dz − f dz ) ∫1= lim f dz .h→0 h h→0 h[z,z+h] z z + hz 0 z ′zz 0 z ′Parametriziramo li segment [z, z + h] funkcijom t ↦→ z + th, t ∈ [0, 1], to jejednako∫1 1= lim f(z + th) h dt .h→0 h0Kako je funkcija (t, h) ↦→ f(z + th) neprekidna, to integral po t i limes po hkomutiraju, korolar 19.6, pa je to jednako=∫ 1Na sličan način nalazimo0∂ y F (z) = ∂ y U(x, y) + i ∂ y V (x, y) = limh→0h∈R∫ 1lim f(z + th) dt = f(z) dt = f(z) .h→00F (z + i h) − F (z)hΓ z= · · · = i f(z) .Kako je f neprekidna, zaključujemo da su funkcije ∂ x U, ∂ x V , ∂ y U i ∂ y Vneprekidne u točki z = (x, y), pa su, prema teoremu 9.1, funkcije U i V diferencijabilneu z = (x, y). Nadalje, iz dobivenih izraza za ∂ x F i ∂ y F , vidimo

§ 33. Cauchyjev teorem 17da vrijede Cauchy-Riemannovi uvjeti, pa je F derivabilna u točki z, i vrijediF ′ (z) = f(z).Budući je z bila proizvoljna točka kruga K, zaključujemo da je F ′ = f.§ 33 Cauchyjev teoremFundamentalan teorem u teoriji funkcija kompleksne varijable je Cauchyjev teorem,koji govori o iščezavanju integrala derivabilne funkcije po zatvorenoj krivulji.Taj je teorem dokazao već sâm Cauchy uz pretpostavku da je derivacijafunkcije koju integriramo, neprekidna. Važan je napredak bio dokaz Cauchyevateorema bez pretpostavke o neprekidnosti derivacije. Ključni korak u tom dokazuje sljedeći teorem:Teorem 33.1 (Goursat 1 -Pringsheimov 2 teorem) Neka je Ω ⊆ C otvorenskup, I ⊆ Ω pravokutnik, a f : Ω → C derivabilna funkcija. Tada je ∫ ∂If dz = 0.Dokaz: Označimo s J(I) := ∣ ∣ ∫ ∂If dz ∣ ∣ . Razdijelimo I na četiri međusobno suk-∫ladna pravokutnika Q 1 , Q 2 , Q 3 , Q 4 , koji su svi slični pravokutniku I. Kako je∂I = ∫ ∂Q 1+ · · · + ∫ ∂Q 4, to jeJ(I) = ∣ ∫f dz ∣ ≤ ∣ ∫f dz ∣ + · · · + ∣ ∫f dz ∣ ,∂I∂Q 1 ∂Q 4z 0pa je integral po rubu najmanje jednog od tihpravokutnika, po modulu barem jednak četvrtinibroja J(I). Označimo jedan takav pravokutniks I 1 , i neka je J(I 1 ) := | ∫ ∂I 1f dz|. DakleIJ(I 1 ) ≥ 1 4 J(I) .Razdijelimo sada I 1 na četiri sukladna pravokutnika, pa na isti način zaključujemoda za barem jednog od njih, nazovimo ga s I 2 , vrijediJ(I 2 ) ≥ 1 4 J(I 1) ≥ 1 4 2 J(I) .1 Edouard Jean-Baptiste Goursat (1858–1936), francuski matematičar2 Alfred Pringsheim (1850–1941), njemački matematičar, rođen u Poljskoj

18 5. KOMPLEKSNE FUNKCIJENastavimo li na isti način, dolazimo do niza pravokutnika I n , n ∈ N, takvihda je I n+1 ⊆ I n , za sve n, i da jeJ(I n ) ≥ 1 J(I) . (1)4n Za dijametre tih pravokutnika vrijedi diam I n = 1 diam I, pa se radi o silaznomnizu zatvorenih skupova kojima dijametri teže nuli. Prema Cantorovom2n teoremu o presjeku, teorem⋂4.13, presjek tih pravokutnika je neprazan i sastojise od jedne jedine točke, I n =: {z 0 }.n∈NFunkcija f derivabilna je u točki z 0 , pa za svaki ε > 0 postoji δ > 0 takavda za 0 < |z − z 0 | < δ, vrijedi ∣ f(z) − f(z 0)− f ′ (z 0 ) ∣ < ε, tj.z − z 0|z − z 0 | < δ ⇒ |f(z) − f(z 0 ) − f ′ (z 0 )(z − z 0 )| ≤ ε|z − z 0 | . (2)Neka je n tako velik da je I n sadržan u otvorenom krugu oko z 0 radijusa δ. Kakofunkcija z ↦→ f(z 0 ) + f ′ (z 0 )(z − z 0 ) ima na Ω, čak na čitavom C, primitivnufunkciju, to je prema Cauchyjevom teoremu za derivaciju, teorem 32.2,∫∂I n(f(z0 ) + f ′ (z 0 )(z − z 0 ) ) dz = 0 . (3)Stoga je, prema lemi o ocjeni integrala, lema 32.1,J(I n ) = ∣ ∫f dz ∣ = ∣ ∫( f(z) − f(z0 ) − f ′ (z 0 )(z − z 0 ) ) dz ∣ ≤ Ms n , (4)∂I n ∂I ngdje je M := max{|f(z) − f(z 0 ) − f ′ (z 0 )(z − z 0 )| : z ∈ ∂I n }, a s n je opsegpravokutnika I n .Međutim, za svaki z ∈ ∂I n je|f(z) − f(z 0 ) − f ′ (z 0 )(z − z 0 )| (2)≤ ε |z − z 0 | < ε · 12 s n ,pa je M < 1 2 εs n, te zbog (4) vrijediJ(I n ) < 1 2 εs2 n . (5)

§ 33. Cauchyjev teorem 19Prema konstrukciji je s n = 1 s, gdje je s opseg pravokutnika I, pa je2n J(I) (1)≤ 4 n J(I n ) (5)≤ 1 2 4n εs 2 n = 1 ( 1) 2s2 4n ε2 2 n = 1 2 εs2 .Kako je ε > 0 proizvoljan, zaključujemo da je J(I) = 0, pa je i ∫ ∂If dz = 0.Goursat-Pringsheimov teorem govori da ako je funkcija f : I → C derivabilna,tj. ima derivabilno proširenje na neku okolinu pravokutnika I, onda jeintegral funkcije f po rubu ∂I pravokutnika I, jednak nuli. U nekim je situacijamapotreban nešto jači teorem — teorem koji daje isti zaključak, ali uz slabijepretpostavke.Teorem 33.2 (Cauchyjev teorem za pravokutnik) Neka je f : I → Cfunkcija koja je neprekidna na zatvorenom pravokutniku I ⊆ C i takva da jederivabilna na otvorenom pravokutniku I ◦ := I \ ∂I, osim eventualno u konačnomnogo točaka (u kojima je samo neprekidna). Tada je ∫ f dz = 0.∂IDokaz: Dokažimo teorem najprije uz pretpostavku da je f derivabilna na cijelomotvorenom pravokutniku I ◦ . Bez smanjenja općenitosti, možemo pretpostavitida je središte pravokutnika I u ishodištu 0. U protivnom, zamjenom varijabli,w := z − z 0 , gdje je z 0 središte pravokutnika I, dobivamo∫∫f(z) dz = g(w) dw ,∂I∂I z0pri čemu je I z0 := I − z 0 = {z − z 0 : z ∈ I} pravokutnik dobiven translacijompravokutnika I za −z 0 , tako da mu središte padne u ishodište, a funkcijag(w) := f(w + z 0 ) je neprekidna na I z0 i derivabilna na I ◦ z 0.Oαγ(t)I αγ(t)IZa broj α ∈ 〈0, 1〉 označimo sada s I α pravokutnik dobivenod pravokutnika I homotetijom iz ishodišta i koeficijentomα. Tada je I α ⊆ I ◦ , a kako je f derivabilna na I ◦ ,po Goursat-Pringsheimovom teoremu zaključujemo daje ∫∂I αf dz = 0, za sve α ∈ 〈0, 1〉.Neka je t ↦→ γ(t), t ∈ [a, b], po dijelovima glatka parametrizacija ruba ∂I pravokutnikaI. Tada je t ↦→ α γ(t), t ∈ [a, b], po dijelovima glatka parametrizacijaruba ∂I α pravokutnika I α .

20 5. KOMPLEKSNE FUNKCIJEDa je parametrizacija γ glatka, tj. funkcija γ ′ neprekidna, bila bi neprekidnai funkcija (α, t) ↦→ f(α γ(t)) α γ ′ (t), pa bi limes po α i integral po t komutirali.Imali bismo tada0 = lim=∫α→1∫ ba∂I αf dz = limα→1∫ blim f(α γ(t)) αα→1 γ′ (t) dt =af(α γ(t)) α γ ′ (t) dt∫ ba∫f(γ(t)) γ ′ (t) dt =∂If dz .Kako je, međutim, parametrizacija γ samo po dijelovima glatka, to je njenaderivacija γ ′ neprekidna osim u konačno mnogo točaka, tj. nije neprekidna u,naprimjer, tri točke. Stoga treba integral ∫ ba f(αγ(t))αγ′ (t) dt rastaviti na četiridijela na kojima je γ ′ neprekidna, provesti gornji račun na svakom od tih dijelova,i rezultate zbrojiti. Opet dobijemo ∫ f dz = 0.∂IU općem slučaju, kada f u konačno mnogo točaka možda nijederivabilna, kroz te točke povučemo paralele sa, naprimjer,imaginarnom osi, i tako razdijelimo pravokutnik I na nekolikomanjih pravokutnika. Na svakom od tako dobivenih pravokutnikafunkcija f je neprekidna, a na nutrini i derivabilna,pa je, prema upravo dokazanom, integral po rubu svakog od tih pravokutnika,jednak nuli. Zbroj integrala po rubovima tih pravokutnika, jednak je integralupo rubu pravokutnika I, pa je ∫ f dz = 0.∂IKombinacijom ranijih teorema, dobivamo sadaTeorem 33.3 (Cauchyjev teorem za krug) Neka je K ⊆ C (otvoren) krug,a f : K → C neprekidna funkcija, koja je i derivabilna, osim eventualno u konačnomnogo točaka. Tada je ∫ γf dz = 0, za sve po dijelovima glatke zatvoreneputeve γ u K.Dokaz: Prema Cauchyjevu teoremu za pravokutnik, ∫ f dz = 0 za svaki pravokutnikI ⊆ K. Stoga, jer je funkcija f neprekidna, prema teoremu o pos-∂Itojanju primitivne funkcije na krugu, teorem 32.4, postoji derivabilna funkcijaF : K → C takva da je F ′ = f. Prema Cauchyjevom teoremu za derivaciju, teorem32.2, integral funkcije f ne ovisi o putu, tj. ∫ f dz = 0 za sve po dijelovimaglatke zatvorene puteve u K.γOdgovarajućom modifikacijom, teorem o postojanju primitivne funkcije, nijeteško poopćiti na konveksne ili čak na tzv. zvjezdaste skupove, pa se i prethodni

§ 33. Cauchyjev teorem 21teorem lako može poopćiti na takve skupove. Međutim, opći Cauchyjev teorem,koji ćemo sada dokazati, sve te varijante sadrži kao specijalne slučajeve.Teorem 33.4 (Opći Cauchyjev teorem) Neka je Ω ⊆ C otvoren skup, ineka je f : Ω → C neprekidna funkcija koja je i derivabilna, osim eventualno ukonačno mnogo točaka. Tada je ∫ γf dz = 0 za svaki zatvoren, u Ω nulhomotopan,po dijelovima gladak put γ.Dokaz: Dovoljno je dokazati da ako su γ : [a, b] → Ω i η : [a, b] → Ω homotopni podijelovima glatki putevi sa zajedničkim krajevima, tj. γ(a) = η(a) i γ(b) = η(b),onda je ∫ γ f dz = ∫ η f dz.1η ♣I ijH0abγ ♣K ijDokaz je gotovo identičan dokazu teorema 26.3 da su integrali zatvorene diferencijalne1-forme po homotopnim putevima jednaki. Neka je, dakle, H : [a, b]×[0, 1] → Ω PDG homotopija od γ do η. Odaberimo razdiobu ρ pravokutnikaI = [a, b] × [0, 1] tako da H preslikava svaki pravokutnik I ij te razdiobe,u neki krug K ij koji je sadržan u Ω. Restrikcija homotopije H na rub∂I ij je zatvoren PDG put u krugu K ij , pa je, prema Cauchyjevu teoremuza krug, ∫ f dz = 0. Sumiranjem svih tih integrala, zaključujemo da jeH∫∂Iijf dz = 0. Kako su restrikcije preslikavanja H na lijevu i desnu stranicuH ∂Ipravokutnika I konstantni putevi, to je ∫ f dz = ∫ H ∂I γ f dz − ∫ f dz, odakleηslijedi tvrdnja teorema.Korolar 33.5 (Cauchyjev teorem za jednostavno povezano područje)Neka je Ω ⊆ C jednostavno povezano područje, a f : Ω → C neprekidna funkcija,∫ koja je i derivabilna, osim eventualno u konačno mnogo točaka. Tada jef dz = 0 za svaki po dijelovima gladak zatvoren put γ u Ω.γNapomena 33.1 Postoji i „kraći dokaz” Cauchyjeva teorema. Naime, za derivabilnufunkciju f = u + i v : Ω → C i, barem za jednostavno zatvorenu krivuljuΓ, koja je nulhomotopna u Ω, tj. takva je da je i njezino unutrašnje

22 5. KOMPLEKSNE FUNKCIJEpodručje B sadržano u Ω, koristeći se Greenovim teoremom, teorem 27.5, iCauchy-Riemannovim uvjetima, teorem 31.1, dobivamo∫ ∫∫f dz = u dx − v dy + i v dx + u dyΓΓΓ∫∫∫∫Green= (−∂ x v − ∂ y u) dx dy + i (∂ x u − ∂ y v) dx dy (CR)= 0 .BMeđutim, da bismo mogli koristiti Greenov teorem, morale bi funkcije u i v bitidiferencijabilne klase C 1 , tj. derivacija f ′ morala bi biti neprekidna, dok smomi bili pretpostavili samo postojanje derivacije, a u konačno mnogo točaka čaksamo neprekidnost. To je značajna razlika, i, kao što ćemo kasnije vidjeti, važnoje imati dokaz Cauchyjeva teorema bez pretpostavke o neprekidnosti derivacije.Povijest ovog važnog teorema, koji predstavlja veleban ulaz u teoriju funkcijakompleksne varijable, dugačka je i zanimljiva. Originalni je dokaz dao Cauchy1825. godine, uz dodatnu pretpostavku da je derivacija neprekidna. Kasnijetokom devetnaestog stoljeća, pojavilo se više dokaza tog teorema i uz različitepretpostavke o tipu puta integracije — nekad uz prešutno, a nekad uz eksplicitnopretpostavljenu neprekidnost derivacije. Godine 1884. Goursat je objaviojedan jednostavniji dokaz ovog teorema, uz samo jednu, ‚očitu’ pretpostavku,da teorem vrijedi za dvije jednostavne funkcije: konstantnu funkciju i identitetu,ali bez pretpostavke o neprekidnosti derivacije. Barem je tako Goursat tvrdio.Alfred Pringsheim je 1895. pomno analizirajući Goursatov dokaz, ustvrdio dase u dokazu prešutno pretpostavlja uniformna derivabilnost, za što je pokazaoda je ekvivalentno pretpostavci o neprekidnosti derivacije. Stoga Goursatovdokaz predstavlja samo pojednostavljenje drugih dokaza Cauchyjeva teorema,ali ne i oslabljenje pretpostavki. Pringsheim je izrazio svoje uvjerenje da teoremvrijedi samo uz pretpostavku da derivacija postoji, bez pretpostavke o njezinojneprekidnosti, ali je taj problem još uvijek ostao otvoren.Ova Pringsheimova kritika proizvela je pravu buru, pa su, između ostalog,1900. objavljena dva nova dokaza. U jednom je Goursat ponovio svoj ranijidokaz, ali uz više pažnje i uz izvjesne pretpostavke o tipu puta integracije, a udrugom je Moore 1 dao svoj dokaz Cauchyjeva teorema, uz nešto drugačije pretpostavke.U svom odgovoru 1901. Pringsheim je prigovorio da su u oba radapretpostavke o tipu puta integracije previše restriktivne, pa je kombinirajućii profinivši te dokaze, dobio Cauchyjev teorem bez pretpostavke o neprekidnostiderivacije, i to za zatvorene rektifikabilne puteve. Dvije godine kasnije,1 Eliakim Hastings Moore (1862–1932), američki matematičarB

§ 34. Cauchyjeva integralna formula 23Pringsheim se vratio Cauchyjevu teoremu, i dao dokaz u kojem koristi tehnikudijeljenja pravokutnika na četiri sukladna pravokutnika, kao što smo mi radili udokazu teorema 33.1 (s tim da je on radio s trokutima, a ne s pravokutnicima).Zato smo ovdje taj teorem i nazvali Goursat-Pringsheimovim.Time, međutim, priča o Cauchyjevu teoremu nije bila gotova. Još su se idućihtridesetak godina matematičari, među njima i neki vrlo ugledni, prepucavalio detaljima, prioritetima i atribucijama. Mnogi zanimljivi detalji o događanjimavezanim uz Cauchyjev teorem mogu se naći u članku J. Graya 1 .Dokaz činjenice, da je derivacija kompleksne funkcije uvijek neprekidna, akoji se ne oslanja na Cauchyjev teorem, napravljen je istom početkom 1960-tihgodina, i, naravno, nije ništa kraći niti jednostavniji od dokaza kojeg ćemo miprikazati, tj. dokaza koji koristi Cauchyjev teorem.§ 34 Cauchyjeva integralna formulaKao posljedicu Cauchyjevog teorema, dokazat ćemo sada Cauchyjevu integralnuformulu — rezultat iz kojeg će, kao posljedice, slijediti mnogi, često i neočekivanirezultati o kompleksnim funkcijama.Dokažimo najprije jedan pomoćni rezultat:Propozicija 34.1 Neka je γ po dijelovima gladak zatvoren put u C, i neka jez 0 /∈ γ ♣ . Tada je vrijednost12πi∫dzz − z 0cijeli broj.γDokaz: Neka je γ : [a, b] → C po dijelovima gladak zatvoren put, γ(a) = γ(b).Definirajmo funkciju h: [a, b] → C sh(t) :=∫ taγ ′ (u)γ(u) − z 0du .To je neprekidna funkcija, a u točkama u kojima je γ ′ neprekidna, h ima iderivaciju jednakuh ′ (t) =γ′ (t).γ(t) − z 01 Jeremy Gray. Goursat, Pringsheim, Walsh, and the Cauchy integral Theorem, MathematicalIntelligencer, 22 (4) (2000), 60–66,77.

24 5. KOMPLEKSNE FUNKCIJEPrimijetimo, nadalje, da je h(a) = 0.Promotrimo funkciju ϕ: [a, b] → C definiranu sϕ(t) := e −h(t) (γ(t) − z 0 ) .Funkcija ϕ derivabilna je tamo gdje je i h derivabilna, i vrijediϕ ′ (t) = −e −h(t) h ′ (t) (γ(t) − z 0 ) + e −h(t) γ ′ (t)= −e −h(t) γ ′ (t)γ(t) − z 0(γ(t) − z 0 ) + e −h(t) γ ′ (t) = 0 .Iako za funkciju ϕ znamo samo da je po dijelovima derivabilna, jer je γ samo podijelovima glatka, ipak, zbog neprekidnosti funkcije ϕ, zaključujemo da je onakonstantna. Stoga je ϕ(b) = ϕ(a), tj.e −h(b) (γ(b) − z 0 ) = e −h(a) (γ(a) − z 0 ) .Kako je γ(b) = γ(a) i h(a) = 0, odavde slijedi e h(b) = 1, tj. h(b) = 2kπi za nekik ∈ Z. Dakle,12πi∫γdz= 1z − z 0 2πi∫ baγ ′ (u)du = 1γ(u) − z 0 2πi h(b) = k ∈ Z .Korolar Z 34.2 Za po dijelovima gladak zatvoren put γ u C i točku z 0 /∈ γ ♣ , broj1 dzjednak je indeksu puta γ s obzirom na točku z 0 , tj.2πi z − z 0γν(γ, z 0 ) = 12πi∫γdzz − z 0.(Definicijom 25.2 smo indeks zatvorenog puta γ s obzirom na točku P 0 , bilidefinirali kao ν(γ, P 0 ) := 1 ∫2π γ ω ϑ,P 0, gdje je ω ϑ,P0 kutna diferencijalna 1-forma,definirana s ω ϑ,P0 (x, y) := −(y − y 0) dx + (x − x 0 ) dy.)(x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2Dokaz: Napravit ćemo dokaz za točku z 0 = 0. Opći slučaj dobije se translacijom

§ 34. Cauchyjeva integralna formula 25za −z 0 , tj. zamjenom w := z − z 0 . Prema definiciji integrala je∫1 dz2πi γ z = 1 ∫x − i y2πi γ x 2 (dx + i dy)+ y2 = 1 ( ∫ ∫x dx + y dy −y dx + x dy)2πi γ x 2 + y 2 + iγ x 2 + y 2= 1 ∫−y dx + x dy2π x 2 + y 2 − i ∫x dx + y dy2π x 2 + y 2 . (∗)γZ1 dzPrema prethodnoj propoziciji jecijeli, dakle realan broj pa je2πi γ znjegov imaginarni dio jednak nuli. Stoga je drugi od dva integrala diferencijalnih1-formi duž puta γ u posljednjem retku prethodne formule, jednak nuli, pa je∫1 dz2πi γ z = 1 ∫−y dx + x dy2π γ x 2 + y 2 = 1 ∫ω ϑ ,2π γšto je, prema definiciji, upravo indeks puta γ s obzirom na ishodište O = (0, 0).γNapomena 34.1 Da je imaginaran dio u formuli (∗) jednak nuli, mogli smose uvjeriti i direktno. Naime, na probušenoj ravnini R 2 \ {(0, 0)}, diferencijalnax dx + y dy1-forma je egzaktna, jer je jednaka (vanjskom) diferencijalu funkcijex 2 + y 2f(x, y) = 1 2 ln(x2 +y 2 ), pa je, prema teoremu 25.2, njezin integral po zatvorenomPDG putu γ koji ne prolazi ishodištem, jednak nuli.Primjer 34.1 Geometrijsku interpretaciju indeksa, kao broja obilazaka zatvorenogputa oko, naprimjer, ishodišta, možemo, koristeći kompleksnu logaritamskufunkciju, opisati i ovako. Neka je γ PDG put u skupu C π — komplementunegativnog dijela realne osi, od točke z 0 do z 1 . Tada je∫dz∣ ∣∣z = ln z z 1= ln ∣ z ∣1 ∣∣ + i (arg z1 − arg z 0 ) .z 0γz 0Ista će formula vrijediti i ako se čitav put γ nalazi u skupu C ϑ — komplementupolupravca iz ishodišta koji s pozitivnim dijelom realne osi zatvara kut ϑ, s timda treba koristiti i odgovarajuću logaritamsku funkciju C ϑ → C.Ako je put γ zatvoren, podijelimo ga točkama z 0 , z 1 , z 2 , . . . , z k = z 0 na dijelove,tako da se svaki dio puta između točaka z j−1 i z j nalazi čitav u nekom C ϑj .

26 5. KOMPLEKSNE FUNKCIJEKako je z k = z 0 , zbrajanjem dobivamo∫γdzz = ik∑(arg z j − arg z j−1 ) ,j=1gdje u j-tom sumandu treba za kutove arg z uzimati one koji pripadaju skupu C ϑj .Suma svih tih razlika kutova bit će upravo broj obilazaka puta γ pomnožen s 2π.Dokažimo sada nekoliko osnovnih svojstava indeksa zatvorenog puta s obziromna točku. Ta smo svojstva mogli, koristeći se teoremom 26.4 i njegovomposljedicom korolarom 26.5, dokazati i ranije, u četvrtom poglavlju. Kako ćenam ta svojstva zaista trebati istom sada, dokazat ćemo ih ovdje koristeći Cauchyjevteorem, i činjenicu dokazanu prethodnim korolarom 34.2, da se indeksmože definirati i kao integral odgovarajuće kompleksne funkcije.Propozicija 34.3 (osnovna svojstva indeksa)(i) Za čvrstu točku z 0 , indeks ν(γ, z 0 ) ne mijenja se ako se γ neprekidno deformira,i niti u jednom času ne prolazi kroz z 0 , tj. ν(γ 1 , z 0 ) = ν(γ 2 , z 0 )ako su zatvoreni putevi γ 1 i γ 2 homotopni u C \ {z 0 }.(ii) Za čvrst put γ, funkcija z ↦→ ν(γ, z) konstantna je na svakom krugu kojije disjunktan s γ ♣ . Stoga je indeks ν(γ, z) konstantan na komponentamapovezanosti komplementa od γ ♣ , tj. skupa C \ γ ♣ .(iii) Neka je Ω ⊆ C jednostavno povezano područje, γ po dijelovima gladakzatvoren put u Ω i z 0 ∈ C \ Ω. Tada je ν(γ, z 0 ) = 0.Stoga, ako je γ proizvoljan zatvoren PDG put u C, a z 0 točka iz neomeđenekomponente povezanosti skupa C \ γ ♣ , onda je ν(γ, z 0 ) = 0.(iv) Neka je Γ (pozitivno orijentirana) kružnica sa središtem u z 0 i radijusom r.Tada je{ 1 , za |z − z0 | < rν(Γ, z) =0 , za |z − z 0 | > r .Nije teško pokazati da se pri prijelazu iz jedne komponente povezanosti skupaC \ γ ♣ u susjednu, tj. pri prijelazu jednom preko krivulje γ ♣ , indeks promijeniza ±1 (i to ako gledamo u smjeru orijentacije krivulje, onda se pri prelaskuslijeva nadesno indeks smanji za 1, a pri prelasku zdesna nalijevo, poveća za 1).

§ 34. Cauchyjeva integralna formula 27Dokaz: (i) Kako je funkcija z ↦→ 1 derivabilna na C \ {z 0 }, to slijedi neposrednoiz općeg Cauchyjeva teorema, teorem 33.4.z − z 0(ii) Neka je γ : [a, b] → C po dijelovima gladak zatvoren put, neka je z 0 /∈ γ ♣ ,i neka je r > 0 takav da krug K(z 0 , r) ne siječe γ ♣ . Za h ∈ C takav da je |h| < r,označimo s γ h := γ − h put koji dobijemo tako da γ translatiramo za −h. Tadasu γ i γ h homotopni, s međunivoima γ sh := γ − sh, s ∈ [0, 1], i homotopija neprolazi točkom z 0 . Prema (i) je, dakle, ν(γ h , z 0 ) = ν(γ, z 0 ). Međutim, položajtočke z 0 prema putu γ h isti je kao položaj točke z 0 + h prema putu γ, pa jeν(γ h , z 0 ) = ν(γ, z 0 + h). Točnije,∫ν(γ h , z 0 ) = 12πi= 12πiγ h∫ ba= ν(γ, z 0 + h) .∫dzb= 1z − z 0 2πi aγ ′ (t) dtγ(t) − (z 0 + h) = 12πiγ ′ (t) dt(γ(t) − h) − z 0∫γdzz − (z 0 + h)γ h♣rz 0 +hz 0γ ♣Stoga je ν(γ, z 0 + h) = ν(γ, z 0 ) za |h| < r, tj. funkcija z ↦→ ν(γ, z) jekonstantna na krugu K(z 0 , r).(iii) Prvi dio tvrdnje je neposredna posljedica Cauchyjeva teorema za jednostavnopovezano područje, korolar 33.5. Naime, funkcija z ↦→ 1 je derivabilnana C \ {z 0 }, pa je derivabilna i na Ω, a svaki zatvoren PDG put γ u Ωz − z 0je nulhomotopan u Ω zbog jednostavne povezanosti.Za dokaz drugog dijela tvrdnje, primijetimo, najprije, da se komplementC\γ ♣ traga zatvorenog puta γ u ravnini, sastoji od nekoliko, možda i beskonačnomnogo, komponenti povezanosti, od kojih je jedna, i samo jedna, neomeđenskup, a ostale, ima ih barem jedna, su omeđeni otvoreni skupovi. Kako jeskup γ ♣ kompaktan, dakle i omeđen, postoji dovoljno velik otvoren krug kojiga sadrži. Prema prvom dijelu tvrdnje, indeks puta γ obzirom na svaku točkuizvan tog velikog kruga, jednak je nuli. Zbog tvrdnje (ii) je onda indeks puta γjednak nuli i obzirom na svaku točku neomeđene komponente skupa C \ γ ♣ .(iv) Da je indeks kružnice Γ s obzirom na svaku točku otvorenog kruga kojuta kružnica obrubljuje, jednak 1, slijedi iz (ii) i činjenice da je ∫ dz= 2πi ,z − zΓ 0vidi primjer 32.1. S druge strane, prema tvrdnji (iii), indeks kružnice jednak jenuli za svaku točku izvan tog kruga.

28 5. KOMPLEKSNE FUNKCIJESada možemo dokazati najavljivanTeorem 34.4 (Cauchyjeva integralna formula) Neka je Ω⊆C otvoren skup,f : Ω → C derivabilna funkcija, a γ u Ω nulhomotopan, po dijelovima gladak zatvorenput. Tada za svaku točku z 0 ∈ Ω \ γ ♣ vrijediν(γ, z 0 ) f(z 0 ) = 12πiDokaz: Definirajmo funkciju g : Ω → C s⎧⎨g(z) :=⎩∫γf(z)z − z 0dz .f(z) − f(z 0 )z − z 0, z ≠ z 0f ′ (z 0 ) , z = z 0.Funkcija g derivabilna je na Ω\{z 0 }, i neprekidna je na čitavom skupu Ω. Premaopćem Cauchyjevu teoremu, teorem 33.4, ∫ g dz = 0. Stoga jeγ∫0 =γ∫g dz =γ∫f(z) f(z 0 )dz − dzz − z 0 γ z − z 0odakle slijedi Cauchyjeva integralna formula (C).= f(z 0 ) ν(γ, z 0 ) 2πiU primjenama je γ najčešće jednostavno zatvoren po dijelovima gladak putkoji jednom obilazi točku z 0 , tj. trag takvog puta je kontura u čijem se unutrašnjempodručju nalazi točka z 0 , pa je indeks puta γ s obzirom na z 0 jednak1. U tom slučaju, Cauchyjeva integralna formula poprima sljedeći jednostavanoblik:Korolar 34.5 Neka je f : Ω → C derivabilna funkcija, Γ ⊆ Ω pozitivno orijentiranakontura čije je unutrašnje područje sadržano u Ω, i neka točka z 0 pripadatom unutrašnjem području. Tada jef(z 0 ) = 12πi∫Γf(z)z − z 0dz .Ovaj korolar pokazuje da ako je f derivabilna funkcija na nekom području,i njezine su vrijednosti poznate u svim točkama neke nulhomotopne konture,,(C)

§ 34. Cauchyjeva integralna formula 29onda su poznate vrijednosti funkcije f i u svim točkama unutrašnjeg područjate konture. U narednim ćemo teoremima ovu činjenicu još bolje razjasniti.Odsada će nam točka z 0varijablu integracije sa ζ.biti varijabilna, pa ćemo ju označavati sa z, aKorolar 34.6 Neka je V := V (z 0 ; r, R) := {z : r < |z − z 0 | < R} ⊆ C kružnivijenac, neka je f : V → C derivabilna funkcija, te neka su Γ 1 i Γ 2 pozitivnoorijentirane kružnice oko z 0 radijusa ρ 1 i ρ 2 , gdje je 0 < r < ρ 1 < ρ 2 < R.Tada za svaku točku z ∈ V (z 0 ; ρ 1 , ρ 2 ), tj. ρ 1

30 5. KOMPLEKSNE FUNKCIJE❄γ❄ˆγPočetni i završni stadij homotopije ˆγ ≃ γ, i četiri međunivoa.Cauchyjeva integralna formula i njezini korolari pokazuju da se vrijednostderivabilne funkcije na odgovarajućem području može izračunati kao integral ponekom putu. Zato je od interesa proučavati funkcije koje su tako i definirane.Teorem 34.7 (o derivabilnosti funkcije definirane integralom) Neka jeγ po dijelovima gladak put u C (ne nužno zatvoren), neka je γ ♣ ⊆ C njegovtrag, i neka je ψ : γ ♣ → C neprekidna funkcija. Tada je funkcija f : C \ γ ♣ → Cdefinirana s∫ψ(ζ)f(z) :=ζ − z dζderivabilna na C \ γ ♣ , i njezina je derivacija jednaka∫f ′ (z) =Štoviše, funkcija f ′ : C \ γ ♣ → C je neprekidna.γγψ(ζ)dζ . (1)(ζ − z)2Dokaz: Fiksirajmo točku z ∈ C \ γ ♣ i pokažimo da je formulom (1) dâna deriγ♣|h| < 1 z+h2 δ, i sve ζ ∈ , vrijedivacija funkcije f u točki z. Neka je δ > 0 takav daje K(z, δ) ⊆ C \ γ ♣ . Tada za sve h ∈ C takve da jeγ♣ζzδ|ζ − z| > δ|ζ − (z + h)| > 1 2 δ . (2)

§ 34. Cauchyjeva integralna formula 31Stoga je∫f(z + h) − f(z) ψ(ζ)∣ ∣∣∣ −hγ (ζ − z) 2 dζ = ∣ 1 ( ∫ ψ(ζ)h γ ζ − z − h∫γdζ − ∫ψ(ζ)= ∣γ (ζ − z − h)(ζ − z)∫γdζ − ∫ψ(ζ)∣ ∣∣= |h| · ∣(ζ − z − h)(ζ − z) 2 dζ .γψ(ζ)) ∫ζ − z dζ −γψ(ζ)(ζ − z) 2 dζ ∣ ∣∣ψ(ζ)(ζ − z) 2 dζ ∣ ∣∣Označimo li s M := max{|ψ(ζ)| : ζ ∈ γ ♣ }, primjenom leme 32.1 o ocjeniintegrala, zbog nejednakosti (2), to je daljeM≤ |h|1l(γ) ,2δ · δ2gdje je, kao i inače, l(γ) duljina puta γ.Zf(z + h) − f(z) ψ(ζ)Odavde slijedi da je lim=dζ, tj. funkcija f derivabilnaje u točki z, a kako je z ∈ C \ γ ♣ bila proizvoljna točka, zaključujemo dah→0 hγ (ζ − z) 2je f derivabilna, i njezina je derivacija zaista dâna formulom (1).Ostaje pokazati da je ta derivacija neprekidna funkcija. Uz iste oznake z, δ,h i M kao ranije, koristeći lemu o ocjeni integrala i nejednakosti (2), imamo∫ (|f ′ (z + h) − f ′ ψ(ζ)(z)| = ∣γ (ζ − z − h) 2 − ψ(ζ) )(ζ − z) 2 dζ∣∫(razlika kvadrata)h ψ(ζ)(1= ∣γ (ζ − z − h)(ζ − z) ζ − z − h + 1 )dζ∣ζ − zM( 1≤ |h|12 δ2 12 δ + 1 )l(γ) = |h| 6M δδ 3 l(γ) ,pa je limh→0f ′ (z + h) = f ′ (z), tj. f ′ je neprekidna.Definicija 34.1 Za funkciju f : Ω → C kažemo da je holomorfna ako je derivabilnai derivacija f ′ je neprekidna na Ω. Za funkciju f kažemo da je holomorfnau točki z 0 ako postoji okolina točke z 0 na kojoj je f holomorfna.Skup svih funkcija holomorfnih na otvorenom skupu Ω, označavat ćemos H(Ω).

32 5. KOMPLEKSNE FUNKCIJEPrethodni teorem kaže, dakle, da je svaka funkcija koja je definirana pomoćuneke neprekidne funkcije integralom kao u (1), holomorfna na komplementutraga puta integracije.Koristeći se prethodnim teoremom i Cauchyjevom integralnom formulom,točnije korolarom 34.5, dobivamoKorolar 34.8 (Teorem o holomorfnosti derivabilne funkcije)derivabilna funkcija f : Ω → C holomorfna, tj. D(Ω) = H(Ω).Svaka jeDokaz: Oko zadane točke z 0 ∈ Ω odaberemo dovoljno malenu kružnicu Γ 0 , takoda zajedno s krugom kojeg obrubljuje, leži u Ω. Prema korolaru 34.5, za svakiz iz toga kruga je f(z) = 1 Zf(ζ)2πi Γ 0ζ − z dζ. Budući da je funkcija f, koja senalazi u brojniku razlomka pod integralom, neprekidna, prema prethodnom teoremu34.7, funkcija f holomorfna je na krugu unutar Γ 0 , tj. na okolini točke z 0 .Zbog proizvoljnosti odabira točke z 0 , f je holomorfna na Ω.Ovaj, upravo dokazan rezultat, vrlo je važan. On pokazuje da je zahtjevderivabilnosti kompleksne funkcije tako jak, da ima za posljedicu ne samo postojanje,nego i neprekidnost derivacije, tj. holomorfnost. Stoga, za kompleksnefunkcije (jedne) kompleksne varijable, nema smisla govoriti da su, naprimjer,klase C 1 — sve derivabilne funkcije automatski su takve. Dokazat ćemo jošmnogo više:Teorem 34.9 (o višim derivacijama derivabilne funkcije) Neka je Ω⊆Cotvoren skup a f : Ω → C derivabilna funkcija. Tada f ima derivacije svakogreda, i sve su one holomorfne funkcije na Ω.Nadalje, ako je γ bilo koji, u Ω nulhomotopan, po dijelovima gladak zatvorenput, a točka z ∈ Ω \ γ ♣ , onda jeν(γ, z) f (n) (z) = n!2πi∫γf(ζ)dζ . (3)(ζ − z)n+1Dokaz: Znamo već, prema prethodnom korolaru 34.8 da je derivacija f ′ funkcije fneprekidna. Neka je z 0 ∈ Ω neka točka, i neka je r > 0 takav da kružnica Γ 0

§ 34. Cauchyjeva integralna formula 33radijusa r oko točke z 0 , zajedno s krugom K(z 0 , r)Ω kojeg obrubljuje, leži u Ω. Za svaki z ∈ K(z 0 , r)je, prema Cauchyjevoj integralnoj formuli, točnije korolaru34.5, f(z) = 1 ZΓ 0f(ζ)z 2πi Γ ζ − z dζ, pa je, prema te-00oremu 34.7, i formuli (1) za derivaciju takve funkcije,f ′ (z) = 12πi∫Γ 0f(ζ)(ζ − z) 2 dζ , z ∈ K(z 0, r) . (4)Odavde, parcijalnom integracijom, dobivamof ′ (z) = 12πi∫Γ 0f(ζ)α1(ζ − z) 2 dζdβ= 12πi∫Γ 0f ′ (ζ)ζ − z dζ , z ∈ K(z 0, r) . (5)Pritom smo rabili činjenicu da se radi o integralu po zatvorenom putu, pa je, kodparcijalne integracije, sumand koji ne sadrži integral, jednak nuli, tj. općenito,formula za parcijalnu integraciju duž zatvorenog puta γ ima oblik ∮ γ α dβ =− ∮ γ β dα.Iz prethodne formule, i već dokazane neprekidnosti funkcije f ′ , ponovnomprimjenom teorema 34.7, zaključujemo da je f ′ holomorfna na krugu K(z 0 , r).Kako je z 0 bila proizvoljna točka, dokazano je tako da je f ′ holomorfna na Ω.Indukcijom se sada jednostavno pokazuje da funkcija f ima derivacije svakogreda, i da su sve one holomorfne funkcije na Ω.Ostaje još dokazati formulu (3). Neka je γ, u Ω nulhomotopan, zatvorenpo dijelovima gladak put, i neka je z ∈ Ω \ γ ♣ . Prema već dokazanom, n-taderivacija f (n) funkcije f je holomorfna, pa je, prema Cauchyjevoj integralnojformuli,ν(γ, z) f (n) (z) = 12πi∫γf (n) (ζ)ζ − z dζ .

34 5. KOMPLEKSNE FUNKCIJEOdavde, uzastopnom parcijalnom integracijom, dobivamoν(γ, z) f (n) (z) = 12πi= 12πi= 1·22πi.= n!2πi∫∫∫∫γγγγf (n) (ζ)ζ − z dζ = 12πif (n−1) (ζ)f (n−2) (ζ)f(ζ)dζ .(ζ − z)n+1∫γ1ζ − zαdζ(ζ − z) 2 = 12πidζ(ζ − z) 3 = 2!2πi∫∫f (n) (ζ) dζγγdβ1(ζ − z) 2α1(ζ − z) 3αf (n−1) (ζ) dζdβf (n−2) (ζ) dζdβKako sada znamo da je za kompleksne funkcije derivabilnost na otvorenomskupu isto što i holomorfnost, odsada ćemo koristiti gotovo isključivo terminholomorfan.Na sljedeći teorem možemo gledati kao na neku vrstu obrata Cauchyjevateorema.Teorem 34.10 (Morerin 1 teorem) Neka je Ω⊆C otvoren skup, a f : Ω → Cneprekidna funkcija sa svojstvom, da za svaku točku z ∈ Ω, postoji r z > 0,dovoljno malen da je K(z, r z ) ⊆ Ω, i takav da za svaki pravokutnik I ⊆ K(z, r z )vrijedi ∫ ∂If dz = 0. Tada je f holomorfna na Ω.Dokaz: Neka je z ∈ Ω i r z > 0 kao u pretpostavci teorema, te označimo sK z := K(z, r z ). Prema teoremu 32.4 o postojanju primitivne funkcije na krugu,postoji derivabilna funkcija F z : K z → C takva da je F z ′ = f Kz, tj. za sveζ ∈ K z , je F ′ z(ζ) = ( f Kz)(ζ) = f(ζ). Prema prethodnom teoremu 34.9,funkcija F z ima derivacije svakog reda na K z , pa specijalno postoji F ′′z (z). Kakose funkcije F ′ z i f podudaraju na krugu K z oko točke z, i jedna od njih je1 Giacinto Morera (1856–1909), talijanski matematičar

§ 34. Cauchyjeva integralna formula 35derivabilna u z, to je i druga derivabilna u z (i njihove su derivacije jednake, štonam ovdje nije važno). Stoga je funkcija f derivabilna u točki z.Kako je z proizvoljna točka iz Ω, f je derivabilna na Ω, pa je, prema teoremuo holomorfnosti derivabilne funkcije, korolar 34.8, holomorfna.Na kraju, dokažimo jednu činjenicu, koja, na prvi pogled, sugerira da smomožda nepotrebno mistificirali pretpostavke u Cauchyjevim teoremima.Korolar 34.11 Neka je f : Ω → C neprekidna funkcija koja je i derivabilnaosim eventualno u konačno mnogo točaka. Onda je f derivabilna svuda, dakle iholomorfna na čitavom otvorenom skupu Ω.Dokaz: Zbog otvorenosti skupa Ω, za svaku točku z ∈ Ω, postoji r z > 0 takavda je K(z, r z ) ⊆ Ω. Za svaki pravokutnik I ⊆ K(z, r z ) je, prema Cauchyjevu teoremuza pravokutnik, teorem 33.2, ∫ f dz = 0, pa prema Morerinom teoremu∂Izaključujemo da je f holomorfna na Ω.Ovaj korolar pokazuje kako funkcija koja je neprekidna na otvorenom skupui derivabilna je u svim, osim možda u konačno mnogo točaka, ne može zaistane biti derivabilna u tih nekoliko točaka. Zašto onda nismo u Cauchyjevimteoremima — za pravokutnik, krug i, konačno, u općem Cauchyjevom teoremu,jednostavno pretpostavili da je funkcija derivabilna? Razlog je sljedeći: za dokazprethodnog korolara, kojim smo ustanovili da zapravo ovih konačno mnogo izuzetaka— točaka u kojima neprekidna funkcija nije derivabilna — ne može postojati,poslužili smo se Morerinim teoremom, a za dokaz kojega smo rabili teoremo postojanju viših derivacija derivabilne funkcije, koji je pak bio posljedicaCauchyjeve integralne formule. A u dokazu Cauchyjeve integralne formule, primijenilismo opći Cauchyjev teorem na izvjesnu pomoćnu funkciju g, za kojusmo, u tom času, znali da je neprekidna i da je derivabilna u svim točkama osimjedne. Nije bilo načina da tada ustanovimo njezinu derivabilnost i u toj jednojjedinoj točki. To je bilo jedino mjesto gdje smo zaista koristili punu snaguCauchyjeva teorema. Sada, naravno, znamo da je ta funkcija g bila zapravo i utoj jednoj točki derivabilna, ali tada to zaista nismo mogli tvrditi.Sljedećim dijagramom rekapitulirani su odnosi među osnovnim svojstvimakompleksne funkcije koja smo promatrali u ovom poglavlju.

36 5. KOMPLEKSNE FUNKCIJE∫γf dz = 0za svaki zatvorenPDG put γ u Ωza Ω jednostavnopovezano područje⇐ = = =f ∈ H(Ω)Tm. 32.2⇑⇓Tm. 32.2⇑Tm. 34.10⇑ Tm. 33.4⇓Tm. 32.2f ima na Ωprimitivnu funkcijutrivijalno=⇒f ima na Ω lokalnoprimitivnu funkciju

6Nizovi i redovi funkcijaU ovom ćemo se poglavlju baviti nizovima i redovima funkcija. Većina od tihstvari zapravo spada već u prvo poglavlje, gdje smo razmatrali pitanja konvergencijenizova. Međutim, osnovno svojstvo koje ćemo koristiti pri proučavanjunizova i redova kompleksnih funkcija — lokalno uniformna konvergencija —dosad nam nije trebalo, pa o tome govorimo istom sada.§ 35 Uniformna i lokalno uniformnakonvergencijaOdređenosti radi, govorit ćemo o nizovima i redovima kompleksnih funkcijakompleksne varijable, jer ćemo u idućem poglavlju upravo to trebati. Međutim,većina pojmova i svojstva koja ćemo dokazati, imaju smisla i vrijede i u drugim,često općenitijim, situacijama.Prisjetimo se najprije pojmova obične i uniformne konvergencije niza funkcija,kojima smo se već bavili u prvom poglavlju, § 4.Definicija 35.1 Neka je S ⊆ C neki skup i f n : S → C, n ∈ N, niz funkcija.Kažemo da niz (f n ) n konvergira (obično ili po točkama) ako za svaki z ∈ Sniz brojeva ( f n (z) ) konvergira. U tom slučaju, funkciju f : S → C definiranuns f(z) := lim f n (z) zovemo limes niza (f n ) n , i označavamo s f = lim f n . Piše sen ntakođer f n → f ili f nn−→ f.37

38 6. NIZOVI I REDOVI FUNKCIJADakle, niz funkcija (f n ) n konvergira funkciji f, ako∀z ∈ S, ∀ε > 0, ∃n 0 ∈ N, t.d. ∀n ≥ n 0 vrijedi |f n (z) − f(z)| < ε .Definicija 35.2 Za niz funkcija f n : S → C, n ∈ N, kažemo da konvergirauniformno ili jednoliko na S, ako postoji funkcija f : S → C, takva da za svakiε > 0 postoji n 0 ∈ N takav da za sve z ∈ S i sve n ≥ n 0 vrijedi |f n (z)−f(z)| < ε.Označavat ćemo to s f n ⇒ f. Dakle, niz (f n ) n konvergira uniformno funkciji f,ako∀ε > 0, ∃n 0 ∈ N, t.d. ∀z ∈ S, ∀n ≥ n 0 vrijedi |f n (z) − f(z)| < ε .Očito je da ako niz funkcija (f n ) n konvergira uniformno funkciji f, onda tajniz konvergira i obično, ali obratno ne.Napomena 35.1 S uniformnom konvergencijom bili smo se već bavili u § 4 uprvom poglavlju. Tamo smo promatrali skup B(S, C) svih omeđenih funkcijasa S u C (zapravo umjesto C tamo je bio općenito, metrički prostor Y ). U tomsmo skupu definirali metriku ρ formulom ρ(f, g) := supz∈S|f(z) − g(z)|, i timeje B(S, C) postao metrički prostor, a konvergencija s obzirom na metriku ρ jebila upravo uniformna konvergencija. Kako je prostor C potpun, pokazali smoi da je B(S, C) potpun. Važan je njegov potprostor BC(S, C) svih omeđenihneprekidnih funkcija, za koji smo pokazali da je zatvoren potprostor, pa jetakođer potpun. To je, specijalno, značilo da je uniformni limes niza (omeđenih)neprekidnih funkcija ponovno neprekidna funkcija.Nas sada zanimaju i funkcije koje nisu omeđene, pa formalno uzevši nemožemo koristiti navedene rezultate. Međutim, isti dokaz kojim smo u teoremu4.16 pokazali da je uniformni limes niza omeđenih neprekidnih funkcija,ponovno neprekidna funkcija, bez ikakve promjene vrijedi i bez pretpostavke oomeđenosti funkcija. Osim toga, u teoremu 35.4 mi ćemo taj dokaz napraviti iu nešto općenitijoj situaciji.Druga mogućnost da koristimo navedene rezultate iz prvog poglavlja, bezda ih ponovno dokazujemo, ( je sljedeća. Ako za proizvoljne ) funkcije f, g : S → Cdefiniramo ρ ′ (f, g) := sup min{|f(z) − g(z)|, 1} , dobit ćemo metriku na skupuz∈Ssvih funkcija sa S u C, i konvergencija s obzirom na tu metriku je upravo uniformnakonvergencija. Za prostor (C(S, C), ρ ′ ) svih neprekidnih funkcija sa S u Cvrijedi sve što smo bili dokazali za BC(S, C). Topologija, dakle i konvergencija,koju metrika ρ ′ inducira na podskupu B(S, C), ista je kao i ona koju definirametrika ρ, iako su sâme metrike različite. Isto vrijedi i za Cauchyjeve nizove.

§ 35. Uniformna i lokalno uniformna konvergencija 39Primjeri 35.1(i) Niz funkcija f n : [2, ∞〉 → R, n ∈ N, definiranih s f n (x) := 1uniformno konstantnoj funkciji 0, f n ⇒ 0.x nkonvergira(ii) Niz funkcija g n : [0, 1] → R, n ∈ N, definiranih { s g n (x) := x n , konvergirafunkciji g : [0, 1] → R definiranoj s g(x) :=, ali ta0 , x ∈ [0, 1〉1 , x = 1konvergencija nije uniformna, jer limes nije neprekidna funkcija.(iii) Neka je f : [0, 1] → R neprekidna funkcija takva da je f(0) = f(1) = 0i neka f nije svuda nula, f ≢ 0, te neka je g n : [0, 1] → R, n ∈ N, nizfunkcija definiranih s g n (x) := f(x n ). Tada niz (g n ) n konvergira konstantnojfunkciji 0, ali ta konvergencija nije uniformna, iako su g n i 0 = lim g n nneprekidne funkcije na kompaktnom skupu [0, 1].Zaista, kada bi g n ⇒ 0, onda bi∀ε > 0, ∃n 0 ∈ N t.d. ∀n ≥ n 0 i ∀x ∈ [0, 1] vrijedi |g n (x)| < ε .Pokažimo da g n ⇏ 0, tj. da∃ε > 0, t.d. ∀n 0 ∈ N, ∃n ≥ n 0 i ∃x n ∈ [0, 1] t.d. je |g n (x n )| ≥ ε .Neka je ε := maxx∈[0,1] |f(x)| > 0, i neka je x 0 ∈ 〈0, 1〉 takav da je |f(x 0 )| = ε.Za n 0 ∈ N neka je n := n 0 i x n := n√ x 0 ∈ 〈0, 1〉. Tada je|g n (x n )| = |g n ( n√ x 0 )| = |f(x 0 )| = ε .Na sljedećoj slici prikazani su grafovi funkcija g 1 , g 2 , g 4 , g 8 , g 16 , . . . , g 256 ,i to za polaznu funkciju f(x) := √ x(1 − x) .0.50.40.30.20.10.2 0.4 0.6 0.8 1

40 6. NIZOVI I REDOVI FUNKCIJASada ćemo definirati jedan novi tip konvergencije, koji će se pokazati vrlokorisnim pri proučavanju kompleksnih funkcija.Definicija 35.3 Neka je f n : S → C, n ∈ N, niz funkcija. Kažemo da niz (f n ) nkonvergira lokalno uniformno na S, ako za svaki z ∈ S postoji r z > 0 takavda niz restrikcija f n K(z, r z ) ∩ S konvergira uniformno na S z := K(z, r z ) ∩ S.Lokalno uniformna konvergencija znači, da oko svake točke postoji okolina ina toj okolini neka funkcija kojoj niz restrikcija uniformno konvergira. Sljedećapropozicija kaže da se ipak radi o funkciji na čitavom skupu S, tako da možemogovoriti i o lokalno uniformnom limesu.Propozicija 35.1 Ako niz funkcija f n : S → C, n ∈ N, konvergira lokalno uniformnona S, onda postoji funkcija f : S → C takva da niz (f n ) n konvergiralokalno uniformno prema f, tj. za svaki z ∈ S postoji r z > 0 takav da niz restrikcijaf n S zkonvergira uniformno restrikciji f Sz, gdje je S z kao u prethodnojdefiniciji.Dokaz: Kako niz (f n ) n konvergira lokalno uniformno na S, za svaki z ∈ S postojir z > 0 i funkcija g z : S z → C tako da niz restrikcija f n S zkonvergira uniformnofunkciji g z na skupu S z .Pokažimo da se na presjecima S z ′ ∩ S z ′′, z ′ , z ′′ ∈ S, funkcije g z ′ i g z ′′ podudaraju.Neka je z ∈ S z ′ ∩ S z ′′. Tada jeg z ′(z) = limn(fnS z ′)(z) = limn f n (z) = limn(fnS z ′′)(z) = gz ′′(z) .Stoga je dobro definirana funkcija f : S → C takva da je f Sz:= g z , z ∈ S, iočito je limnf n (z) = f(z), z ∈ S.Primjer 35.2 Niz funkcija g n : [0, 1] → R definiranih s g n (x) := x n , n ∈ N, konvergiralokalno uniformno na poluotvorenom intervalu [0, 1〉 konstantnoj funkciji0, ali taj niz ne konvergira lokalno uniformno na segmentu [0, 1].Primijetimo da niz (g n ) n ne konvergira uniformno na [0, 1〉, jer bi tada konvergiraouniformno i na čitavom [0, 1], što prema primjeru 35.1 nije istina.Očito je da ako neki niz funkcija konvergira uniformno, onda on konvergirai lokalno uniformno. Da obratno ne vrijedi, pokazuje prethodni primjer. Međutim,na kompaktnim skupovima te se dvije vrste konvergencije podudaraju.Točnije, vrijedi

§ 35. Uniformna i lokalno uniformna konvergencija 41Propozicija 35.2 Neka niz funkcija f n : S → C, n ∈ N, konvergira lokalnouniformno. Ako je skup S kompaktan, onda niz (f n ) n konvergira uniformno.Dokaz: Kako niz (f n ) n konvergira lokalno uniformno na S, to, prema prethodnojlokalnopropoziciji 35.1, postoji funkcija f : S → C takva da (f n ) n ⇒ f. Stoga zasvaki z ∈ S, postoji r z > 0 takav da ( f n S z)n ⇒ f S z, gdje je, kao i ranije,S z := S ∩ K(z, r z ).⋃Zbog kompaktnosti, postoje točke z 1 , . . . , z k ∈S takve da je S ⊆ k K(z i , r zi ),⋃i=1tj. S = k S zi .i=1Budući niz ( f n S zi)n konvergira uniformno restrikciji f S zi, to za svaki ε > 0postoji n 0,i ∈ N takav da za sve z ∈ S zi i sve n ≥ n 0,i , vrijedi |f n (z)−f(z)| < ε.Neka je n 0 := max{n 0,1 , . . . , n 0,k }. Tada za sve z ∈ S i sve n ≥ n 0 vrijedi|f n (z) − f(z)| < ε, tj. niz (f n ) n konvergira uniformno na S.Korolar 35.3 Neka je Ω ⊆ C otvoren skup, a f n : Ω → C, n ∈ N, niz funkcija.Sljedeće su tvrdnje ekvivalentne:(i) Niz (f n ) n konvergira lokalno uniformno na Ω.(ii) Za svaki kompaktan skup K ⊆ Ω, niz restrikcija f n K : K → C, n ∈ N,konvergira uniformno na K.(iii) Za svaki zatvoreni krug K(z, r) ⊆ Ω, niz restrikcija ( )f nK(z, r)konvergirauniformno na K(z,nr).Dokaz: Da (ii) slijedi iz (i), pokazuje prethodna propozicija. (iii) slijedi trivijalnoiz (ii), jer je svaki zatvoreni krug kompaktan. A implikacija (iii) ⇒ (i) jegotovo sâma definicija lokalno uniformne konvergencije.Dokažimo sada da lokalno uniformna konvergencija čuva neprekidnost.Teorem 35.4 Neka je f n : S → C, n ∈ N, niz neprekidnih funkcija koji lokalnouniformno konvergira funkciji f : S → C. Tada je i funkcija f neprekidna.Dokaz: Neka je z 0 ∈ S proizvoljna točka. Na nekoj okolini S z0 := S ∩ K(z 0 , r z0 )točke z 0 , niz (f n ) n konvergira uniformno funkciji f, pa za svaki ε > 0 postojin 0 ∈ N, takav da za svaki z ∈ S z0 i svaki n ≥ n 0 vrijedi |f n (z) − f(z)| < ε 3 .Specijalno je |f n0 (z) − f(z)| < ε 3 za sve z ∈ S z 0.

42 6. NIZOVI I REDOVI FUNKCIJAKako je funkcija f n0 neprekidna u z 0 , postoji δ > 0, δ < r z0 , takav da za svez ∈ S za koje je |z − z 0 | < δ, vrijedi |f n0 (z) − f n0 (z 0 )| < ε . Tada za sve takve z3vrijedi|f(z) − f(z 0 )| ≤ |f(z) − f n0 (z)| + |f n0 (z) − f n0 (z 0 )| + |f n0 (z 0 ) − f(z 0 )| < ε .< ε 3< ε 3< ε 3Zbog prethodnog teorema, kaže se da, u slučaju lokalno uniformne konvergencije,limes (niza) i limes (funkcije), komutiraju. Naime, ako je funkcija flokalno uniformni limes niza funkcija neprekidnih u točki z 0 , onda je i f neprekidnau z 0 , pa jelimz→z 0limnf n (z) = limz→z 0f(z) = f(z 0 ) = limnf n (z 0 ) = limnlimz→z 0f n (z) .Naš glavni interes u ovom poglavlju su redovi funkcija. Kako redove dosadnismo spominjali, pođimo od definicije. Neka je X neki vektorski prostorsnabdjeven nekom metrikom, ili barem nekom topologijom, naprimjer, nekaje X normiran vektorski prostor, a (x n ) n niz u X. Red ∑ x n je uređen par( ) ∑(xn ) n , (s n ) n niza (xn ) n i niza (s n ) n njegovih parcijalnih suma s n := n x k ,n ∈ N. Za red ∑ x n kažemo da konvergira, ako konvergira niz (s n ) n . U tomslučaju limes lim s n niza parcijalnih suma zovemo sumom reda ∑ x n i označavamosa ∞ x nn∑.n=1Nas će zanimati redovi funkcija, posebice redovi funkcija ∑ f n , gdje suf n : S → C kompleksne funkcije kompleksne varijable. Za takav red kažemoda konvergira (obično) ako za svaki z ∈ S red ∑ f n (z) kompleksnih brojevakonvergira. 1 Za red funkcija ∑ f n kažemo da konvergira uniformno ako( n∑ )niz f k konvergira uniformno, tj. konvergira u prostoru funkcija sa Sk=1nu C, snabdjevenom ranije spomenutom metrikom ρ ′ . Slično se definira lokalnouniformna konvergencija reda funkcija.Korolar 35.5 Ako je ∑ f n red neprekidnih funkcija f n : S → C koji konvergira∑lokalno uniformno, onda je njegova suma ∞ f n : S → C neprekidna funkcija.1 Primijetimo da ne postoji metrika na prostoru svih funkcija sa S u C takva da konvergencijas obzirom na tu metriku bude upravo obična konvergencija niza funkcija. Za opis običnekonvergencije potrebna je ne-metrizabilna topološka struktura na prostoru funkcija, vidi [4].n=1k=1

§ 35. Uniformna i lokalno uniformna konvergencija 43Kao kod nizova, ako red ∑ f n funkcija neprekidnih u točki z 0 lokalno uniformnokonvergira, onda se limes po z sume reda dobije kao suma reda limesapo z, tj.∞∑ ∑lim f n (z) = ∞ lim f n (z) ,z→z 0z→z 0 n=1pa se kaže da limes i suma reda komutiraju.Sljedeći teoremi govore o zamjeni limesa niza, odnosno sume reda, i integrala,odnosno derivacije.Teorem 35.6 Neka je γ : [a, b] → C po dijelovima gladak put, a f n : γ ♣ → C,n ∈ N, niz neprekidnih funkcija koji konvergira lokalno uniformno funkcijif : γ ♣ → C. Tada je ∫ γ f dz = lim ∫n γ f n dz.n=1U slučaju lokalno uniformne konvergencije, vrijedi, dakle∫ ∫lim f n dz = lim f n dz ,nnγpa se kaže da limes i integral komutiraju.Dokaz: Prema teoremu 35.4, f je neprekidna funkcija na γ ♣ , pa integral ∫ γ f dzima smisla. Prema lemi 32.1 o ocjeni integrala, vrijedi∣∫γ∫f n dz −γf dz ∣ = ∣ ∫γγ(fn (z) − f(z) ) dz ∣ ∣≤ max{|f n (z) − f(z)| : z ∈ γ ♣ } · l(γ) .Kako je skup γ ♣ kompaktan, niz (f n ) n konvergira uniformno, pa za svaki ε > 0postoji n 0 ∈ N takav da za sve n ≥ n 0 i sve z ∈ γ ♣ vrijedi ∣ ∣f n (z) − f(z) ∣

44 6. NIZOVI I REDOVI FUNKCIJAKaže se, stoga, da se lokalno uniformno konvergentan red može integrirati članpo član.Prethodna dva teorema i korolara o zamjeni limesa s limesom odnosno integralom,nepromijenjeno vrijede i za, naprimjer, realne funkcije realne varijable.Međutim, sljedeći teorem o zamjeni limesa i derivacije, kao i njegov korolar, bezdodatnih pretpostavki, ne vrijede u slučaju realnih funkcija.Teorem 35.8 (Weierstrassov teorem o limesu niza holomorfnih funkcija)Neka je Ω ⊆ C otvoren skup i f n ∈ H(Ω), n ∈ N, niz holomorfnih funkcija kojina Ω konvergira lokalno uniformno funkciji f : Ω → C. Tada je i f holomorfnafunkcija, f ∈ H(Ω). Štoviše, niz derivacija (f ′ n) n konvergira lokalno uniformnona Ω funkciji f ′ , tj. vrijedilimnf ′ n = (limnf n ) ′ .Dokaz: Prema teoremu 35.4 je funkcija f : Ω → C neprekidna. Neka je z ∈ Ωproizvoljna točka i r z > 0 takav da je K(z, r z ) ⊆ Ω. Tada, prema teoremu 35.6i Cauchyjevu teoremu, za svaki pravokutnik I ⊆ K(z, r z ) vrijedi∫∫f dz = lim f n dz = 0 .n∂Izz 02rΓintegralom, za svaki z ∈ K(z 0 , r) vrijedif ′ (z) = 1 ∫f(ζ)2πi (ζ − z) 2 dζf ′ n(z) = 12πi∂IPrema Morerinom teoremu 34.10, zaključujemo da je f holomorfna na Ω.Dokažimo i da niz (f n) ′ n lokalno uniformno konvergira k f ′ . Neka je z 0 ∈ Ωproizvoljna točka i neka je r > 0 takav da je K(z 0 , 2r) ⊆ Ω, te neka jeΓ := ∂K(z 0 , 2r) pozitivno orijentirana obrubljujućakružnica. Kako je skup Γ kompak-Ωζtan, niz (f n ) n konvergira na Γ uniformno funkcijif, pa za svaki ε > 0, postoji n 0 ∈ N takavda za sve n ≥ n 0 i sve ζ ∈ Γ vrijedi|f n (ζ)−f(ζ)| < ε r . Nadalje, kako su funkcije f2i f n , n ∈ N, holomorfne na Ω, prema Cauchyjevojintegralnoj formuli, točnije korolaru 34.5,i teoremu 34.7 o derivaciji funkcije definirane∫ΓΓf n (ζ)(ζ − z) 2 dζ , n ∈ N .

§ 35. Uniformna i lokalno uniformna konvergencija 45Kako za sve z ∈ K(z 0 , r) i sve ζ ∈ Γ vrijedi |ζ − z| > r, to je, prema lemi 32.1,|f n(z) ′ − f ′ (z)| = ∣ 1 ∫f n (ζ) − f(ζ)2πi (z − ζ) 2 dζ∣ < 12π · ε · r2 · 1r 2 · 2 · 2rπ = ε ,Γpa (f ′ n) n ⇒ f ′ na okolini K(z 0 , r) točke z 0 . Stoga niz (f ′ n) n lokalno uniformnokonvergira funkciji f ′ .Za redove, kao posljedicu, dobivamoKorolar 35.9 Neka je Ω ⊆ C otvoren skup, a f n : Ω → C, n ∈ N, niz holomorfnihfunkcija, takvih da red ∑ f n lokalno uniformno konvergira. Tada je i suma∑reda ∞ f n holomorfna funkcija na Ω, red ∑ f n ′ konvergira lokalno uniformnon=1na Ω, i f ′ ∑= ∞ f n, ′ tj.n=1( ∞∑ )′∑f n = ∞ f n ′ .n=1Kaže se da se lokalno uniformno konvergentan red derivira član po član.Uniformna i lokalno uniformna konvergencija su svojstva redova koja su‚dobra’ sa stajališta analize. Međutim za ‚računanje’ s redovima, naprimjer zazbrajanje, a posebno množenje, potrebna je jedna druga vrsta konvergencije.Definicija 35.4 Za red brojeva ∑ a n kažemo da apsolutno konvergira akokonvergira red ∑ |a n |. Analogno, za red ∑ f n funkcija sa S u C kažemo daapsolutno konvergira, ako konvergira red ∑ |f n |.Kod apsolutno konvergentnih redova, članovi se mogu po volji grupirati ipermutirati, a da to nema utjecaja na njihovu konvergenciju niti na sâmu sumu.Mi te stvari nećemo dokazivati, a precizno iskazane tvrdnje i detaljni dokazinalaze se u [4].n=1Važna je sljedeća, na prvi pogled očita, činjenica:Teorem 35.10 Neka je z n , n ∈ N, niz kompleksnih brojeva.konvergira apsolutno, onda on i konvergira.Ako red ∑ z nDokaz: Da red ∑ z n apsolutno konvergira znači da konvergira red ∑ |z n |, tj.da konvergira njegov niz parcijalnih suma σ n :=n ∑j=1|z j |. Stoga je niz (σ n ) nCauchyjev niz, pa za svaki ε > 0 postoji n 0 ∈ N, takav da za sve n ≥ n 0 i svek ∈ N vrijedi|σ n+k − σ n | = n+k ∑j=1|z j | − n ∑j=1|z j | = n+k ∑j=n+1|z j | < ε .

46 6. NIZOVI I REDOVI FUNKCIJAStoga za sve n ≥ n 0 i sve k ∈ N, za parcijalne sume s n reda ∑ z n vrijedi|s n+k − s n | = ∣ n+k ∑j=n+1∣z j ≤ n+k ∑j=n+1|z j | < ε ,pa je niz (s n ) n parcijalnih suma reda ∑ z n Cauchyjev niz. Zbog potpunostiprostora C, taj niz konvergira, tj. red ∑ z n je konvergentan.U dokazu prethodnog teorema koristili smo potpunost prostora kompleksnihbrojeva. Iz sâmog se dokaza vidi da će u svakom Banachovom prostoru apsolutnokonvergentni redovi biti i konvergentni. Međutim, u prostorima koji nisupotpuni postoje apsolutno konvergentni redovi koji ne konvergiraju.Primjer 35.3 Konstruirat ćemo red racionalnih brojeva koji u Q apsolutnokonvergira ali koji u Q nije konvergentan.Neka su članovi redova ∑ a n i ∑ b n definirani sa 2k := 1 k! − 1 ⎫⎬2 k k = 0, 1, 2, . . .⎭a 2k+1 := 0ib 2k := 0b 2k+1 := 1 k!⎫⎬k = 0, 1, 2, . . .⎭Kako su redovi ∑ 1i ∑ 1, kao redovi u R, apsolutno konvergentni, to su ik! 2k redovi ∑ a n i ∑ b n apsolutno konvergentni u R. Zbog toga je u R apsolutnokonvergentan i red ∑ q n čiji su članovi definirani s⎧⎨ 1q n := a n + b n = k! − 12 , n = 2kk⎩ 1, n = 2k + 1 .k!Budući je R potpun, taj red u R i konvergira i suma mu je∞∑ ∞∑q n = (a n + b n ) =n=0n=0=∞∑ ∞∑ ∞∑a n + b n =n=0∞∑k=0n=01∞k! − ∑k=0k=01∞2 k + ∑k=0( 1k! − 1 2 k )+1k! = 2e − 2 .∞∑k=01k!

§ 35. Uniformna i lokalno uniformna konvergencija 47Red ∑ q n je red racionalnih brojeva, q n ∈ Q, n = 0, 1, 2, . . . Ali broj 2e − 2nije racionalan, pa taj red ne konvergira u Q, tj. kao red u Q on nije konvergentan.Pokažimo da je on ipak apsolutno konvergentan i u Q.Označimo sa σ n parcijalne sume reda ∑ |q n |. Direktnim računom, vidi seda je σ 7 = 8324 , a jer za sve k ≥ 4 vrijedi 1k! < 1 , to za n ≥ 4 vrijedi2k σ 2n = 83n24 + ∑ 12 k − 1 n!k=4σ 2n+1 = 83n 24 + ∑ 12 kk=4σ 2n+2 = 83n+124 + ∑ 12 k − 1(n + 1)!k=4( 1= σ 2n+1 +2 n+1 − 1)(n + 1)!pa je σ 2n < σ 2n+1 < σ 2n+2 , n ≥ 4, tj. niz (σ n ) n je monotono rastuć niz u Q.Međutim, njegov podniz (σ 2n+1 ) n konvergira u Q. Zaista,σ 2n+1 = 8324 + n∑k=412 k = 83124 + 2− 14 2 n+11 − 1 2,= 10 3 − 12 n ,pa je limnσ 2n+1 = 10 3 . Zbog toga i sâm niz (σ n) n konvergira (i limes mu je 10 3 ),tj. promatrani red ∑ q n je i u Q apsolutno konvergentan.Iz prethodnog teorema i definicije konvergencije reda funkcija, slijediKorolar 35.11 Svaki apsolutno konvergentan red kompleksnih funkcija konvergira(obično).Primijetimo da apsolutno konvergentan red funkcija ne mora konvergirati(lokalno) uniformno, niti obratno, uniformno konvergentan red ne mora konvergiratiapsolutno.

48 6. NIZOVI I REDOVI FUNKCIJAPrimjer 35.4(i) Red ∑ f n funkcija f n : R → R definiranih s f n (t) := (−1) n−1 1n , konvergirauniformno na R, ali ne konvergira apsolutno.(ii) Red ∑ g n funkcija g n : [0, 1〉 → R definiranih s g n (t) := t n , konvergira apsolutno,ali ne i uniformno. Naime, kada bi red ∑ g n konvergirao uniformno,onda bi opći član morao uniformno težiti nuli, tj. niz funkcija (g n ) n bi na[0, 1〉 morao konvergirati uniformno, što, kako smo vidjeli u primjeru 35.1,nije istina.Dokažimo na kraju ovog paragrafa jedan koristan dovoljan uvjet za apsolutnui uniformnu konvergenciju, koji ćemo često koristiti.Teorem 35.12 (Weierstrassov kriterij) Neka je ∑ f n red funkcija sa S u C.Ako postoje nenegativni realni brojevi ρ n ≥ 0, n ∈ N, takvi da red ∑ ρ n konvergirai da je |f n (z)| ≤ ρ n za sve z ∈ S i sve n ∈ N, onda red ∑ f n konvergiraapsolutno i uniformno na S.Dokaz: Da bismo dokazali apsolutnu konvergenciju, dovoljno je pokazati da jeza svaki z ∈ S, niz parcijalnih suma reda ∑ |f n (z)| omeđen (jer će tada zbogmonotonosti i konvergirati). No, za svaki n ∈ N i svaki z ∈ S jen∑ ∑|f k (z)| ≤ n ∑ρ k ≤ ∞ ρ k ∈ R ,k=1k=1pa red ∑ f n zaista konvergira apsolutno.Pokažimo da red ∑ f n konvergira i uniformno. Kako red ∑ ρ n konvergira,∞∑za svaki ε > 0 postoji n 0 ∈ N takav da za sve n ≥ n 0 vrijedi ρ k < ε.k=1Zbog toga, za svaki n ≥ n 0 i svaki z ∈ S, vrijedi∣ ∞ ∑k=1∑f k (z) − n f k (z) ∣ ∣ = k=1ova suma postojizbog već dokazane(apsolutne) konvergencije∞∑k=n+1f k (z) ∣ ∣ ≤∞∑k=n+1k=n+1|f k (z)| ≤ ∞ ∑k=n+1ρ k < ε ,pa red ∑ f n konvergira uniformno. Gornji račun je korektan, jer, kako smo većbili pokazali, red ∑ f n konvergira apsolutno, pa onda i konvergira.

§ 36. Redovi potencija 49§ 36 Redovi potencijaU ovom ćemo paragrafu promatrati neke posebne redove funkcija, i dokazatineka, za njih tipična, svojstva.Red potencija je red oblika ∑ a n (z−z 0 ) n , gdje su z 0 i koeficijenti a n , n ≥ 0,kompleksni brojevi. Uobičajeno je da kod redova potencija indeksi n uključuju,osim prirodnih brojeva, i nulu, pa ćemo sâm red označavati i sa ∑ a n (z − z 0 ) n ,∑n≥0a njegovu sumu, kada postoji, sa ∞ a n (z − z 0 ) n .n=0Često ćemo rabiti sljedeći teorem:Teorem 36.1 (Abelova 1 lema) Ako red potencija ∑ a n (z − z 0 ) n konvergiraza neki z ′ ≠ z 0 , onda taj red konvergira apsolutno i lokalno uniformno na cijelomkrugu K(z 0 , r), gdje je r := |z ′ − z 0 |.Dokaz: Ako red ∑ a n (z ′ −z 0 ) n konvergira, onda je specijalno limna n (z ′ −z 0 ) n =0.Postoji stoga M > 0 takav da je |a n (z ′ − z 0 ) n | ≤ M, za sve n = 0, 1, 2, . . .Neka je 0 < ρ < r = |z ′ − z 0 |. Tada za svaki z ∈ K(z 0 , ρ)z ′ vrijedizrz 0|a n (z − z 0 ) n | = |a n (z ′ − z 0 ) n | · ∣ z − z ∣0 ∣∣n ( ρ) n< M .z ′ − z 0 rρKako je ρ r < 1, red ∑ M( ρ r )n konvergira, pa premaWeierstrassovu kriteriju, teorem 35.12, zaključujemo dared ∑ a n (z − z 0 ) n konvergira na K(z 0 , ρ) apsolutno i uniformno.Budući da za svaki z ∈ K(z 0 , r) postoji ρ takav da je |z − z 0 | < ρ < r,red ∑ a n (z − z 0 ) n konvergira apsolutno i lokalno uniformno na cijelom kruguK(z 0 , r).Definicija 36.1 Neka je ρ n , n ∈ N, niz nenegativnih realnih brojeva. Ako jetaj niz neograničen, definiramo lim sup ρ n := +∞. U protivnom, tj. ako je niz(ρ n ) n ograničen, označimo skup svih njegovih gomilišta sa S (taj je skup, premaBolzano-Weierstrassovom teoremu, neprazan), i definiramo lim sup ρ n := sup S.Nije teško pokazati da je i lim sup ρ n također gomilište niza (ρ n ) n , tj. vrijedilim sup ρ n ∈ S, i zbog toga naziv — najveće gomilište.1 Niels Henrik Abel (1802–1829), norveški matematičar

50 6. NIZOVI I REDOVI FUNKCIJANeka jednostavna svojstva koja ćemo trebati, dana su sljedećom propozicijom:Propozicija 36.2(i) Neka su (α n ) n i (β n ) n nizovi nenegativnih realnih brojeva takvi da niz(β n ) n konvergira, te neka je b := limnβ n i α := lim sup α n . Tada je(a)lim sup α n · β n = α · b(b) lim sup(α n ) βn = α b .(ii) (Cauchyjev kriterij konvergencije reda)Neka je (α n ) n niz nenegativnih realnih brojeva i neka je A := lim sup n√ α n .Ondaako je A < 1, red ∑ α n konvergira, aako je A > 1, red ∑ α n divergira.Dokažimo sada osnovni teorem o redovima potencija:Teorem 36.3 (Cauchy-Hadamardov 1 teorem) Neka je∑an (z − z 0 ) n (1)red potencija i neka je1r :=lim sup n√ |a n |(2)(dogovorno uzimamo r := 0 ako je lim sup n√ |a n | = +∞, a r := +∞ ako jelim sup n√ |a n | = 0). Tada(a) red (1) konvergira apsolutno i lokalno uniformno na krugu K(z 0 , r), i(b) red (1) divergira za svaki z ∈ C za koji je |z − z 0 | > r.Broj r zove se radijus konvergencije, a K(z 0 , r) krug konvergencijereda potencija (1).1 Jacques Salamon Hadamard (1865–1963), francuski matematičar

§ 36. Redovi potencija 51Dokaz:(a) Neka je z ∈ K(z 0 , r) proizvoljan. Odaberimo z ′ ∈ K(z 0 , r) takav daje |z − z 0 | < |z ′ − z 0 | < r. Tada je, prema prethodnoj propoziciji 36.2 (i),z ′zz 0rlim sup n √ ∣∣a n (z ′ − z 0 ) n | = lim sup n√ |a n | · |z ′ − z 0 |= 1 r |z′ − z 0 | < 1 .Prema Cauchyjevu kriteriju, propozicija 36.2 (ii), red∑an (z ′ − z 0 ) n konvergira apsolutno.Prema Abelovoj lemi, teorem 36.1, zaključujemo da red (1) konvergira apsolutnoi lokalno uniformno na krugu K(z 0 , |z ′ − z 0 |). Kako je z ∈ K(z 0 , r) bioproizvoljan, red (1) konvergira apsolutno i lokalno uniformno na cijelom kruguK(z 0 , r).(b) Pretpostavimo da red (1) konvergira za neki z ′ takavda je |z ′ − z 0 | =: R > r. Tada, prema Abelovoj lemi, teorem36.1, red (1) konvergira apsolutno na krugu K(z 0 , R),pa specijalno konvergira apsolutno za neki z ′′ takav da jer < |z ′′ − z 0 | < R, tj. konvergira red ∑ |a n (z ′′ − z 0 ) n |.Međutim,lim sup n√ |a n (z ′′ − z 0 ) n | = lim sup n√ |a n | · |z ′′ − z 0 | = |z′′ − z 0 |ršto se protivi Cauchyjevu kriteriju, propozicija 36.2 (ii).z ′′R z ′z 0 r> 1 ,Dokažimo sada da su sume redova potencija uvijek ‚dobre’, tj. holomorfne,funkcije.Teorem 36.4 (o holomorfnosti sume reda potencija) Neka red potencija∑an (z−z 0 ) n ima radijus konvergencije r > 0. Tada je funkcija f : K(z 0 , r) → Cdefinirana s∑f(z) := ∞ a n (z − z 0 ) nn=0holomorfna na K(z 0 , r), i njezina derivacija jednaka jef ′ ∑(z) = ∞ n a n (z − z 0 ) n−1 . (3)n=1Pritom, radijus konvergencije za f ′ također jednak je r.

52 6. NIZOVI I REDOVI FUNKCIJADrugim riječima, red potencija predstavlja, na krugu konvergencije, holomorfnufunkciju, a derivacija se dobije deriviranjem reda član po član.Dokaz: Holomorfnost funkcije f i formula (3) za njezinu derivaciju, slijede izCauchy-Hadamardova teorema 36.3 i korolara 35.9. Treba još samo pokazati daje radijus konvergencije za derivaciju f ′ upravo r.Promatrajmo red ∑ c n (z − z 0 ) n , gdje je c n := (n + 1) a n+1 . Za radijuskonvergencije toga reda, koristeći propoziciju 36.2, nalazimolim sup n√ |c n | = lim sup n√ (n + 1)|a n+1 |(n+1= lim sup√ n + 1 · n+1√ |a n+1 |(n+1= lim sup√ n + 1 · n+1√ )|a n+1 |= lim sup n+1√ |a n+1 | = 1 r ,) n+1npa redovi ∑ a n (z −z 0 ) n i ∑ n a n (z −z 0 ) n−1 imaju iste radijuse konvergencije.Napomena 1 36.1 Prethodni teorem o holomorfnosti sume reda potencija, pokazujeda je na krugu konvergencije, suma reda potencija holomorfna funkcija.Prema Cauchy-Hadamardovu teoremu, taj red potencija ne konvergira niti ujednoj točki izvan zatvorenog kruga konvergencije. To specijalno znači da zasvaku točku s ruba kruga konvergencije, red potencija ne konvergira niti na jednojokolini te točke. To, međutim, ne znači da se funkcija definirana sumomreda potencija na krugu konvergencije, ne može proširiti do holomorfne funkcijei izvan toga kruga. Naprimjer, red ∑ (−1) n z 2n konvergira na jediničnom kruguoko ishodišta, ali funkcija f(z) = 1 , koja je na tom krugu jednaka sumi1 + z2 toga reda, definirana je na cijeloj kompleksnoj ravnini, osim u dvije točke: i i−i . A te su dvije točke upravo na rubu kruga konvergencije. Za red ∑ z n , komeje krug konvergencije također jedinični krug, jedina „loša” točka je 1.Jednostavna posljedica Taylorova teorema, kojeg ćemo dokazati u idućempoglavlju, je da na rubu kruga konvergencije uvijek postoji barem jedna točkatakva da se suma reda potencija ne može proširiti do holomorfne funkcije nitina jednu okolinu te točke.1 vidi također napomenu 37.1.

7Razvoji kompleksnihfunkcija u redove potencijaU ovom ćemo poglavlju najprije pokazati da je svaka holomorfna funkcija čakanalitička, tj. da se može razviti u red potencija. Nakon toga ćemo pokazati da sei neke funkcije koje u ponekoj točki nisu holomorfne, mogu na nekoj okolini takvetočke razviti u red sastavljen od pozitivnih, ali i negativnih potencija. Vidjetćemo da ti redovi sadrže mnogo informacija o sâmim funkcijama i predstavljajumoćno oruđe u njihovom proučavanju.§ 37 Taylorov redPokazat ćemo najprije da se svaka funkcija, koja je holomorfna na nekom krugu,može na tom krugu prikazati kao suma reda potencija.Teorem 37.1 (Taylorov 1 teorem) Neka je funkcija f holomorfna na kruguK(z 0 , r). Tada za svaki z ∈ K(z 0 , r) vrijedi f(z) =∞ ∑n=0a n (z − z 0 ) n , gdje su1 Brook Taylor (1685–1731), engleski matematičar53

54 7. RAZVOJI KOMPLEKSNIH FUNKCIJA U REDOVE POTENCIJAkoeficijenti a n dani formulamaa n = 1 n! f (n) (z 0 ) , pritom je f (0) (z 0 ) := f(z 0 ) (1)= 1 ∫f(ζ)dζ , (2)2πi (ζ − z 0 )n+1Γ 0gdje je Γ 0 proizvoljna pozitivno orijentirana kružnica oko z 0 radijusa manjegod r. To je Taylorov red funkcije f u točki z 0 .Uobičajeno je koeficijente Taylorova reda pisati u obliku (1), pa se najčešćeTaylorov red piše kaof(z) = ∞ ∑n=01n! f (n) (z 0 ) (z − z 0 ) n .Dokaz: Dokaz ćemo provesti za slučaj z 0 = 0. Opći se slučaj dobije translacijom,tj. jednostavnom zamjenom varijable z sa z − z 0 .Neka je, dakle, f ∈ H(K(0, r)) i neka je z ∈ K(0, r) proizvoljna točka.Odaberimo ρ takav da je |z| < ρ < r, i neka je Γ ρ pozitivnoζ orijentirana kružnica oko 0 radijusa ρ. Prema Cauchyjevojzr integralnoj formuli, točnije korolaru 34.5, vrijediΓ ρ0ρf(z) = 12πiZa svaki ζ ∈ Γ ρ je ζ ≠ 0 i ∣ z ∣ < 1, pa vrijediζ∫Γ ρf(ζ)dζ . (3)ζ − z1ζ − z = 1 ζ11 − z ζ= 1 ∞∑ ( z) n ∞∑ =ζ n=0 ζn=0z nζ n+1 .Uvrstimo li to u (3), dobivamof(z) = 12πi∫∞∑Γ ρ n=0Označimo s M := max{|f(ζ)| : ζ ∈ Γ ρ }. Tada je∣ ∣ zn ∣∣ζ n+1 f(ζ) 1≤ M ∣ z ∣ n = M 1∣ z ∣ n .|ζ| ζ |ρ| ρz nf(ζ) dζ . (4)ζn+1

§ 37. Taylorov red 55Kako red ∑ ∣ z ∣ n konvergira, to prema Weierstrassovom kriteriju, teorem 35.12,ρred pod integralom u (4) konvergira uniformno na Γ ρ , pa se, prema korolaru 35.9,može integrirati član po član. Vrijedi zatof(z) = 1 ∫∞∑ z n1 ∞∑ ( ∫ f(ζ))f(ζ) dζ =2πi ζn+1 2πi Γ ρζ n+1 dζ z n .Γ ρ n=0Tako smo prikazali funkciju f kao sumu reda ∑ a n z n , gdje su koeficijentidâni formulom a n = 1 Zf(ζ)f(ζ)dζ, n ∈ N. Kako je funkcija2πi Γ ρζn+1 ζ holomorfnan+1na probušenom krugu K ∗ (0, r), a kružnica Γ ρ je u K ∗ (0, r) homotopna kružniciΓ 0 , to su, prema Cauchyjevu teoremu, teorem 33.4, integrali po tim kružnicamajednaki, pa dobivamo (2) za slučaj z 0 = 0.Prema teoremu 34.9 o višim derivacijama derivabilne funkcije, znamo da jea n = 12πi∫Γ 0n=0f(ζ)ζ n+1 dζ = 1 n! f (n) (0) ,pa je tako dokazana i formula (1) za slučaj z 0 = 0.Kao posljedicu Taylorova teorema i teorema 36.4, dobivamoKorolar 37.2 (analitičnost holomorfne funkcije) Neka je Ω ⊆ C otvorenskup. Funkcija f : Ω → C je holomorfna u točki z 0 ∈ Ω ako i samo ako postojired potencija ∑ a n (z − z 0 ) n s radijusom konvergencije r > 0 takav da jeza sve z iz neke okoline točke z 0 .∑f(z) = ∞ a n (z − z 0 ) nn=0Ovaj korolar pokazuje, da je svaka derivabilna kompleksna funkcija ne samoholomorfna i da ima derivacije svih redova, kao što smo bili već dokazali uteoremu 34.9 o višim derivacijama derivabilne funkcije, nego je svaka takvafunkcija ujedno i analitička, tj. može se razviti u red potencija, što je mnogoviše.Korolar 37.3 Neka je f : Ω → C holomorfna funkcija i z 0 ∈ Ω. Tada za∑svaki r > 0 takav da je K(z 0 , r) ⊆ Ω vrijedi f(z) =∞ 1n=0 n! f (n) (z 0 )(z − z 0 ) nza sve z ∈ K(z 0 , r). Specijalno, ako je f (n) (z 0 ) = 0 za sve n ∈ N, onda je fkonstantna funkcija na svakom krugu K(z 0 , r) oko točke z 0 , koji je sadržan u Ω.

56 7. RAZVOJI KOMPLEKSNIH FUNKCIJA U REDOVE POTENCIJADokaz: Prema Taylorovu teoremu, za svaki r > 0 takav da je K(z 0 , r) ⊆ Ω,∑i svaki z ∈ K(z 0 , r) je f(z) = ∞ 1n=0 n! f (n) (z 0 )(z − z 0 ) n . Ako je f (n) (z 0 ) = 0 zasve n ∈ N, onda je f(z) = f(z 0 ) za sve z ∈ K(z 0 , r), tj. funkcija f je na tomkrugu konstantna.Definicija 37.1 Za točku z 0 ∈ C za koju je f(z 0 ) = 0 kažemo da je nultočkafunkcije f. Ako je f holomorfna na nekom krugu K(z 0 , r) oko nultočke z 0 , i fnije konstantna funkcija 0 na tom krugu, onda, prema prethodnom korolaru,postoji n ∈ N takav da je f (n) (z 0 ) ≠ 0. Najmanji takav prirodan broj n zove sered nultočke.Teorem 37.4 (o izoliranosti nultočaka holomorfne funkcije) Neka jefunkcija f holomorfna na krugu K(z 0 , r) i neka je z 0 njezina nultočka reda n.Tada postoji funkcija g, holomorfna na krugu K(z 0 , r), takva da je g(z 0 ) ≠ 0, ida za svaki z ∈ K(z 0 , r) vrijedif(z) = (z − z 0 ) n g(z) .Štoviše, postoji δ > 0 takav da je g(z) ≠ 0 za sve z ∈ K(z 0 , δ).Dakle, holomorfna funkcija, ako se ne radi o trivijalnoj funkciji f ≡ 0, imasamo izolirane nultočke.1Dokaz: Prema Taylorovom teoremu, f(z) =k=0 k! f (k) (z 0 )(z − z 0 ) k , za svakiz ∈ K(z 0 , r). Kako je z 0 nultočka reda n, to je f (k) (z 0 ) = 0 za k = 0, 1, . . . , n−1,pa jef(z) = ∞ ∑k=n∞ ∑1k! f (k) (z 0 ) (z − z 0 ) k = (z − z 0 ) n ∑ ∞Definiramo li funkciju g kao sumu g(z) := ∞ ∑k=nk=n1k! f (k) (z 0 ) (z − z 0 ) k−n .1k! f (k) (z 0 ) (z − z 0 ) k−n , bit će natom krugu zaista f(z) = (z − z 0 ) n g(z) i g(z 0 ) = 1 n! f (n) (z 0 ) ≠ 0.Da je funkcija g holomorfna na krugu K(z 0 , r) slijedi iz činjenice da redkojim je funkcija g definirana ima isti radijus konvergencije kao i Taylorov redfunkcije f. Zaista, za svaki niz a n , n ∈ N, kompleksnih brojeva, prema propoziciji36.2 (i), vrijedilim supk√k |an+k |=lim supk( n+k√|an+k | ) n+kk=lim sup√ √n+k k|a n+k |=lim sup |ak | ,kk

§ 37. Taylorov red 57odakle slijedi da redovi za g i f imaju jednake radijuse konvergencije.Nadalje, kako je funkcija g holomorfna, to je i neprekidna, a jer je g(z 0 ) ≠ 0,postoji δ > 0 takav da je g(z) ≠ 0 i za sve z ∈ K(z 0 , δ). Zbog toga je z 0 jedinanultočka funkcije f u krugu K(z 0 , δ).Teorem 37.5 Neka je Ω ⊆ C otvoren i povezan skup, a f : Ω → C holomorfnafunkcija. Ako skup nultočaka funkcije f ima gomilište koje pripada skupu Ω,onda je f(z) = 0 za sve z ∈ Ω, tj. f ≡ 0 na Ω.Dokaz: Neka je z 0 ∈ Ω gomilište skupa f ← (0), skupa nultočaka funkcije f.Tada je, zbog neprekidnosti, i točka z 0 nultočka funkcije f. Tvrdimo da jef (n) (z 0 ) = 0 za sve n ≥ 0. U protivnom bi z 0 bila nultočka funkcije f nekog,konačnog, reda, pa bi, prema prethodnom teoremu, to bila izolirana nultočka,što se protivi pretpostavci da je ona gomilište skupa nultočaka od f.Kako je, dakle, f (n) (z 0 ) = 0 za sve n ≥ 0, iz Taylorovog razvoja funkcije foko točke z 0 , zaključujemo da je na svakom krugu K oko z 0 koji je sadržan u Ω,f ≡ 0, tj. K ⊆ f ← (0) .Pokažimo da je f ≡ 0 na cijelom Ω, tj. f ← (0) = Ω. Neka je z ′ ∈ Ω proizz1 0 0, 1, . . . , k, ε-krugovi oko tih to-voljna točka. Kako je Ω otvoreni povezan podskup od C,Ωpostoji poligonalna linija Λ ⊆Ω od točke z 0 do z ′ . Neka jeε := d(Λ, C \ Ω). Zbog kompaktnostije ε > 0 (vidi ko-Λz 3 K 3rolar 5.10). Odaberimo točkez 0 , z 1 , . . . , z k = z ′ na Λ tako daz 2K 2je |z j − z j−1 | < ε, j = 1, . . . , k,z 1 i neka su K j := K(z j , ε), j =K z k =z ′K 0 čaka. Tada je K j ⊆ Ω i z j ∈K j−1 ∩ K j za sve j = 1, . . . , k.Prema prvom dijelu dokaza, f ≡ 0 na K 0 , tj. K 0 ⊆ f ← (0). Pretpostavimo,induktivno, da je f ≡ 0 na K j−1 . Kako je točka z j gomilište skupaK j−1 ⊆ f ← (0), to je ona gomilište i skupa f ← (0), skupa nultočaka funkcije f,pa je, prema prvom dijelu dokaza, f ≡ 0 i na krugu K j . Indukcijom zaključujemoda je f ≡ 0 i na K k−1 , pa je i f(z ′ ) = 0.Kao posljedicu dobivamo činjenicu, da ako su dvije holomorfne funkcije jednakena, naprimjer, nekom malom luku, one tada moraju biti jednake svuda.

58 7. RAZVOJI KOMPLEKSNIH FUNKCIJA U REDOVE POTENCIJATočnije, vrijediKorolar 37.6 (Teorem o jedinstvenosti holomorfne funkcije) Neka jeskup Ω ⊆ C otvoren i povezan, a f i g holomorfne funkcije na Ω. Ako se f i gpodudaraju na nekom skupu koji ima gomilište u Ω, onda je f = g na Ω.Dokaz: Primijenimo prethodni teorem na funkciju f − g : Ω → C.Teorem 37.7 (Cauchyjeve ocjene koeficijenata Taylorova reda) Neka∑je f(z) := ∞ a n (z − z 0 ) n za |z − z 0 | < R, i za pozitivan broj r < R neka jen=0M(r) := max{|f(z)| : |z − z 0 | = r}. Tada je|a n | ≤ M(r)r n , za sve n ≥ 0 .Dokaz: Prema teoremu 36.4 o holomorfnosti sume reda potencija, funkcija fje holomorfna na krugu K(z 0 , R), a prema definiciji funkcije f i formule zaderivaciju iz istog teorema, slijedi da jea n = 1 n! f (n) (z 0 ) .Zbog toga je, prema teoremu 34.9 o višim derivacijama derivabilne funkcije,a n = 1 ∫f(ζ)dζ ,2πi (ζ − z 0 )n+1Γ 0gdje je Γ 0 pozitivno orijentirana kružnica oko z 0 radijusa r. Prema lemi 32.1o ocjeni integrala, imamo|a n | ≤ 1 M(r) M(r)2π r n+1 · 2rπ =r n .Zašto za prethodni teorem kažemo da govori o ocjeni koeficijenata Taylorovareda, kad zapravo govori o proizvoljnom redu potencija∑an (z − z 0 ) n(∗)s radijusom konvergencije barem R? Ako je (∗) proizvoljan red potencija kojikonvergira na krugu K(z 0 , R), pa s f(z) označimo njegovu sumu, kao što smo

§ 37. Taylorov red 59učinili u dokazu prethodnog teorema, onda ćemo na isti način kao u prethodnomdokazu, zaključiti da je a n = 1 n! f (n) (z 0 ), pa je red (∗) zapravo red∑ 1n! f (n) (z 0 )(z − z 0 ) n , dakle Taylorov red funkcije f oko točke z 0 . Time je,zapravo, dokazan teorem jedinstvenosti za redove potencija, koji kaže daako za svaki z iz nekog otvorenog kruga K(z 0 , R), za dva reda vrijedi∞∑a n (z − z 0 ) n ∑= ∞ b n (z − z 0 ) n ,n=0onda je a n = b n , za sve n ≥ 0. Ovaj teorem nismo posebno iskazali i numerirali,jer je on specijalan slučaj općenitijeg teorema 38.2, kojeg ćemo izreći i dokazatiu idućem paragrafu.Napomena 1 37.1 Promotrimo funkciju f : C \ {1} → C definiranu s f(z) :=1. Na krugu K(0, 1) oko 0 radijusa 1, f je holomorfna funkcija, i f(z) =1 − z∞∑z n . To je, naravno, izraz koji znamo od ranije kao formulu za sumu ge-n=0ometrijskog reda za |z| < 1. To je ujedno i Taylorov red te funkcije na kruguK(0, 1). Radijus konvergencije reda ∑ z n jednak je 1. Zaista, krug K(0, 1) jenajveći krug sa središtem u 0, koji je sadržan u domeni funkcije f, tj. u skupuC\{1}, a ‚loša’ točka za tu funkciju — točka 1, leži na rubu kruga konvergencije.To nije slučajno. Neka je funkcija f holomorfna u točki z 0 i neka njezinTaylorov red ∑ a n (z − z 0 ) n ima radijus konvergencije r < ∞. Tada na rubukruga konvergencije postoji točka u kojoj f nije holomorfna, tj. postoji točka z ′ ,|z ′ − z 0 | = r, takva da f nije holomorfna niti na jednoj okolini te točke. Naime,kada bi oko svake točke kružnice oko z 0 radijusa r, postojala okolina na kojoj jefunkcija f holomorfna, onda bi f bila holomorfna i na nekoj otvorenoj okolinizatvorenog kruga K(z 0 , r), pa bi i za neki R > r, funkcija f bila holomorfna nakrugu K(z 0 , R). No tada bi radijus konvergencije reda ∑ a n (z − z 0 ) n bio većiod r.To pojašnjava i neke pojave kod realnih funkcija realne varijable. Naprimjer,funkcija ϕ: R → R definirana s ϕ(x) := 1 , definirana je i analitička na cijelomR. Međutim, njezin Taylorov red oko 0 je ϕ(x) = ∞ (−1) n x 2n , i1 + x2 ∑radijuskonvergencije tog reda jednak je 1, iako je u točkama ruba intervala konvergencije,dakle u točkama 1 i −1, funkcija ϕ analitička. Razlog zašto je radijuskonvergencije Taylorova reda funkcije ϕ samo 1, postaje jasan ako na funkciju ϕ1 vidi također napomenu 36.1.n=0n=0

60 7. RAZVOJI KOMPLEKSNIH FUNKCIJA U REDOVE POTENCIJAgledamo kao na restrikciju kompleksne funkcije f(z) := 1 na realnu os.1 + z2 Taylorov red oko 0 za funkciju f je ∑ (−1) n z 2n , i njegov radijus konvergencijeje 1. I zaista se na rubu kruga konvergencije tog reda nalaze točke i i −i ukojima f nije niti definirana.Korolar 37.8 Neka je funkcija f holomorfna na otvorenom krugu K(z 0 , R),i neka je |f(z)| ≤ M za svaki z ∈ K(z 0 , R). Tada je|f (n) (z 0 )| ≤ n! M , za sve n ≥ 0 .Rn Dokaz: Prema prethodnom teoremu, uz iste oznake, za svaki r < R je|f (n) (z 0 )| = n! |a n | ≤n! M(r)r npa gledajući limes limr→R, dobivamo traženu ocjenu.≤ n! Mr n ,Ovaj ćemo korolar odmah iskoristiti u dokazu sljedećeg važnog teorema.Teorem 37.9 (Liouvilleov 1 teorem) Ako je funkcija f holomorfna na cijelojkompleksnoj ravnini C, i ako je ograničena, onda je f konstantna funkcija.Dokaz: Neka je |f(z)| < M za sve z ∈ C. Kako je f ∈ H(C), to je i za svakiR > 0, f holomorfna na krugu K(0, R). Prema prethodnom korolaru je|f (n) (0)| ≤ n! MR n ,pa kako to vrijedi za svaki R > 0, zaključujemo da je f (n) (0) = 0 za sve n ≥ 1.Prema korolaru 37.3, f je konstantna funkcija.Liouvilleov teorem ne kaže da su ograničene holomorfne funkcije nužno konstantne.Samo ograničene funkcije koje su holomorfne na cijeloj kompleksnojravnini su konstantne. Funkcije koje su holomorfne na cijeloj kompleksnoj ravnini,zovu se cijele ili čitave funkcije. Liouvilleov teorem kaže da su ‚prave’,tj. nekonstantne, cijele funkcije, uvijek neomeđene. To se možda kosi s našompredodžbom o, naprimjer, funkciji sinus, koja je cijela funkcija, i, kao funkcija1 Joseph Liouville (1809–1882), francuski matematičar

§ 38. Laurentov red 61realne varijable, ona je ograničena, ali sinus, kao funkcija kompleksne varijablenije ograničena funkcija.Sljedeći teorem zapravo ne spada u analizu, nego u algebru. Međutim, svinjegovi dokazi, kako elementarni tako i sofisticirani, zahtijevaju sredstva analizei/ili topologije. Mi ćemo ovaj teorem ovdje dokazati kao jednostavnu posljedicuLiouvilleova teorema, koji nam je sada pri ruci. Postoje i elementarni dokazikoji koriste samo malo ε–δ tehnike iz realne analize.Teorem 37.10 (Osnovni teorem algebre) Neka je p(z) := a n z n +a n−1 z n−1 +· · · + a 1 z + a 0 , gdje su a 0 , . . . , a n ∈ C, a n ≠ 0, n ≥ 1, polinom s kompleksnimkoeficijentima, stupnja barem 1. Tada p ima barem jednu nultočku, tj. postojiz 0 ∈ C takav da je p(z 0 ) = 0.Dokaz: Pretpostavimo suprotno, tj. da p nema nultočke, dakle da je p(z) ≠ 0 zasve z ∈ C. Tada je i funkcija q : C → C, definirana s q(z) := 1 , cijela funkcija.p(z)Nadalje,|p(z)| = |z| ∣ n ∣a n + a n−1+ · · · + a 1z z n−1 + a 0∣ z n ,pa je zbog a n ≠ 0, |p(z)| = +∞. Stoga je lim q(z) = 0. To znači dalim|z|→∞|z|→∞za svaki ε > 0, specijalno za ε = 1, postoji R > 0 takav da za sve z ∈ C, zakoje je |z| > R, vrijedi |q(z)| < 1. Kako je zatvoren krug K(0, R) kompaktan,a q je neprekidna funkcija, to je funkcija q na tom krugu omeđena, tj. postojiM > 0 takav da je |q(z)| < M za sve |z| ≤ R, pa je |q(z)| < M + 1 za sve z ∈ C.Prema Liouvilleovom teoremu je q konstantna funkcija, a zboglim q(z) = 0|z|→∞je q(z) = 0, ∀z ∈ C, što ne može biti jer je, prema definiciji, q(z) = 1p(z) .§ 38 Laurentov redPri proučavanju funkcija koje su holomorfne na nekom krugu oko točke z 0 ,koristi se razvoj u Taylorov red — red (pozitivnih) potencija od z−z 0 . Međutim,ako je funkcija u točki z 0 ‚loša’, ali je u drugim točkama holomorfna, koriste seredovi u kojima se osim pozitivnih, pojavljuju i negativne potencije.Prije nego što iskažemo osnovni teorem, uvedimo neke oznake. Neka suc n ∈ C, n ∈ Z, kompleksni brojevi. Dvostrani red,∑tj. red kome su članovinumerirani (indeksirani) cijelim brojevima, u oznaci c n , označavat će sumun∈Z

62 7. RAZVOJI KOMPLEKSNIH FUNKCIJA U REDOVE POTENCIJAdvaju redova, reda ∑ c n i reda∑n . Za redn≥0n≤−1c ∑ c n kažemo da konvergira,n∈Zako konvergiraju oba reda ∑ ∑c n i c n , a sumu ćemo označavati san≥0Pritom je+∞∑n=−∞ili, ako umjesto n pišemo −n,−∞∑n=−1n≤−1c n := −∞ ∑ ∑c n + ∞ c n .n=−1c n := lim−n ∑n=0n→∞k=−1∑:= ∞ c −n .n=1Analogno ćemo govoriti o apsolutnoj, a u slučaju redova funkcija, i o uniformnoji lokalno uniformnoj konvergenciji takvih redova.Kao i u poglavlju 5, za točku z 0 ∈ C i pozitivne brojeve 0 < r < R, označavatćemo s V := V (z 0 ; r, R) kružni vijenac, tj. skup {z ∈ C : r < |z − z 0 | < R}.Teorem 38.1 (Laurentov 1 teorem) Neka je funkcija f holomorfna na kružnomvijencu V := V (z 0 ; r, R) oko točke z 0 . Tada za svaki z ∈ V vrijedif(z) =+∞ ∑n=−∞gdje su koeficijenti a n dâni formuloma n = 1 ∫2πiΓ 0c k ,a n (z − z 0 ) n , (1)f(ζ)dζ , (2)(ζ − z 0 )n+1a Γ 0 je pozitivno orijentirana kružnica oko z 0 proizvoljnog radijusa ρ, r < ρ < R.To je Laurentov red funkcije f oko točke z 0 .Dokaz: Kao i kod Taylorova teorema, dokaz ćemo provesti za slučaj z 0 = 0,a opći se slučaj dobije zamjenom varijable z sa z −z 0 . Trebamo, dakle, dokazatida za z ∈ V := V (0; r, R) vrijedif(z) =+∞ ∑n=−∞1 Pierre Alphonse Laurent (1813–1854), francuski inženjera n z n , (3)

§ 38. Laurentov red 63gdje su koeficijenti dâni formuloma n = 1 ∫2πiΓ 0f(ζ)dζ , n ∈ Z , (4)ζn+1 a Γ 0 je proizvoljna kružnica oko 0 koja leži u V .Neka je z ∈ V i neka su Γ 1 i Γ 2 kružnice oko 0 radijusa ρ 1 i ρ 2 tako daje r < ρ 1 < |z| < ρ 2 < R. Prema Cauchyjevoj integralnoj formuli, točnijekorolaru 34.6, jef(z) = 1 ∫f(ζ)2πi ζ − z dζ − 1 ∫f(ζ)dζ . (5)2πi ζ − zΓ 2Γ 1VzKao i u dokazu Taylorova teorema 13.1, jer jeza sve ζ ∈ Γ 2 , ∣ z ∣ < 1, u ∫ ζΓ 2stavimo0rΓ 2Γ 1ρ 1ρ 2R1ζ − z = ∑ ∞n=0z nζ n+1 ,pa kao i kod Taylorova teorema, dobivamo∫1 f(ζ)2πi ζ − z dζ = ∑ ∞ a n z n , (6)Γ 2n=0gdje jea n = 12πi∫Γ 2f(ζ)dζ ,ζn+1 n ≥ 0 . (7)∣ > 1,Da bismo izračunali integral ∫ Γ 1u (5), primijetimo da je za ζ ∈ Γ 1 , ∣ z ζtj. ∣ ζ ∣ 1 < 1, pazζ − z razvijemo po potencijama od ζ z . Dobivamo− 1ζ − z = ∞ ∑n=0ζ nz n+1 = ∑ ∞n=1ζ n−1z n= −∞ ∑n=−1z nζ n+1(za drugu jednakost zamijenili smo n s n − 1, a za treću n s −n).Kao i ranije, dokazavši uniformnu konvergenciju na Γ 1 , odavde dobivamo− 1 ∫f(ζ)2πi ζ − z dζ = −∞ ∑a n z n , (8)Γ 1n=−1

64 7. RAZVOJI KOMPLEKSNIH FUNKCIJA U REDOVE POTENCIJAgdje jea n = 12πi∫Γ 1f(ζ)dζ , n ≤ −1 . (9)ζn+1 Kako su kružnice Γ 1 i Γ 2 u vijencu V homotopne kružnici Γ 0 , a funkcijaf(ζ)je na V holomorfna, prema općem Cauchyjevom teoremu, teorem 33.4,ζn+1 integrale po Γ 2 odnosno Γ 1 u (7) odnosno (9), možemo zamijeniti integralimapo Γ 0 , pa uvrštavanjem formula (6) i (8) u (5), dobivamo (3), a koeficijenti a ndani su formulom (4).Napomena 38.1 Laurentov teorem vrijedi i u slučaju kada se umjesto kružnogvijenca V (z 0 ; r, R) radi o probušenom krugu K ∗ (z 0 , R) := K(z 0 , R) \ {z 0 },na koji možemo gledati i kao na degenerirani vijenac s r = 0. Najčešće ćemoLaurentov red i promatrati upravo na nekom K ∗ (z 0 , R). Odsada ćemo, za točkuz 0 ∈ C i realne brojeve 0 ≤ r < R, vijencem V := V (z 0 ; r, R) zvati otvoren skup,koji je u slučaju r > 0 pravi vijenac, a za r = 0 je to, zapravo, probušen krugK ∗ (z 0 , R).Sljedeći teorem najavljivali smo već ranije.Teorem 38.2 (o jedinstvenosti Laurentova reda)(i) Ako za svaki z ∈ V := V (z 0 ; r, R) vrijedi+∞∑n=−∞onda je a n = b n za sve n ∈ Z.a n (z − z 0 ) n =+∞ ∑n=−∞b n (z − z 0 ) n , (10)(ii) Ako je funkcija f holomorfna na vijencu V , onda je f = f 1 +f 2 , gdje je f 2holomorfna na krugu K(z 0 , R) a f 1 je holomorfna izvan zatvorenog krugaK(z 0 , r), tj. za |z −z 0 | > r. Štoviše, ako je lim f 1(z) = 0, onda je rastav|z|→∞f = f 1 + f 2 jedinstven. Funkcija f 1 naziva se glavni ili singularni dio,a funkcija f 2 regularni dio funkcije f.

§ 38. Laurentov red 65Dokaz: (i)Pokažimo najprije, da oba reda u (10) konvergiraju lokalno uniformno navijencu V . Prema definiciji je∑a n (z − z 0 ) n =∑ a n (z − z 0 ) n + ∑ a n (z − z 0 ) n . (11)n≤−1 n≥0n∈ZTreba pokazati da oba reda na desnoj strani u prethodnoj formuli, konvergirajulokalno uniformno na V . Promotrimo najprije drugi od tih redova — red pozitivnihpotencija, i pokažimo da on konvergira lokalno uniformno i na većemskupu K(z 0 , R) ⊇ V .Neka je z ′ ∈ K(z 0 , R) proizvoljna točka. Odaberimo točku z ′′ ∈ V tako daz ′′ z ′Rz 0je |z ′ − z 0 | < |z ′′ − z 0 | < R. Kako red ∑ a n (z ′′ − z 0 ) nn≥0konvergira,∑to prema Abelovoj lemi, teorem 36.1, reda n (z − z 0 ) n konvergira lokalno uniformno na krugun≥0K(z 0 , |z ′′ − z 0 |), što, prema definiciji, znači da konvergira∑uniformno i na nekoj okolini točke z ′ . Stoga reda n (z −z 0 ) n konvergira lokalno uniformno na K(z 0 , R).n≥0Dokažimo sada da prvi od redova na desnoj strani u (11) — red negativnihpotencija, konvergira lokalno uniformno izvan zatvorenog kruga K(z 0 , r),tj. na većem skupu C \ K(z 0 , r) ⊇ V . Neka je z ′ ∈ C \ K(z 0 , r). Uz supstitucijuz ′′z 0rz ′ρ0w ′ w ′′1ρ1rw := 1 i zamjenu k := −n, tajz − z 0red postaje∑a n (z−z 0 ) n = ∑ a −k w k . (12)n≤−1 k≥1Neka je z ′′ ∈ V takav da je r < |z ′′ − z 0 | < |z ′ − z 0 | i neka je ρ takav da je|z ′′ − z 0 | < ρ < |z ′ − z 0 |. Kako je z ′′ ∈ V , red ∑ a n (z ′′ − z 0 ) n konvergira,n≤−1pa za w ′′ 1:= , konvergira i red ∑ az ′′ −k w ′′k . Prema Abelovoj lemi, red− z 0 k≥1∑a −k w k konvergira lokalno uniformno na krugu K(0, |w ′′ |), pa zbog 1 ρ

66 7. RAZVOJI KOMPLEKSNIH FUNKCIJA U REDOVE POTENCIJAna okolini K(0, 1 ρ ) točke w′ . Stoga red∑n≤−1a n (z − z 0 ) n konvergira uniformnona okolini C \ K(z 0 , ρ) točke z ′ , pa taj red konvergira lokalno uniformno izvanzatvorenog kruga K(z 0 , r).Analogno se dokazuje da i red ∑ n∈Zb n (z − z 0 ) n konvergira lokalno uniformnona vijencu V .Odaberimo k ∈ Z, i podijelimo oba reda u (10) sa (z − z 0 ) k+1 . Dobivamo+∞∑n=−∞a n (z − z 0 ) n−k−1 =+∞ ∑n=−∞b n (z − z 0 ) n−k−1 . (13)Neka je Γ 0 proizvoljna kružnica oko z 0 koja leži u V . Kako oba ova reda konvergirajuuniformno na ∫kružnici Γ 0 , možemo { te redove integrirati član po član,korolar 35.7. Međutim, (z − z 0 ) l 0 , l ≠ −1dz =, pa integrirajući (13)Γ 02πi , l = −1po kružnici Γ 0 , dobivamoa k · 2πi = b k · 2πi , k ∈ Z ,te je a k = b k za sve k ∈ Z, čime je dokazano (i).(ii)Neka je funkcija f holomorfna na vijencu V, i neka je f(z) = +∞ ∑a n (z−z 0 ) n ,n=−∞z ∈ V, njezin Laurentov razvoj. Definirajmo funkcije f 1 i f 2 formulamaf 1 (z) := −∞ ∑n=−1a n (z − z 0 ) n (14)f 2 (z) := +∞ ∑a n (z − z 0 ) n . (15)n=0Kao što smo pokazali u dokazu tvrdnje (i), red u (15) konvergira lokalno uniformnona krugu K(z 0 , R), pa je na tom krugu funkcija f 2 holomorfna, a redu (14) konvergira lokalno uniformno izvan zatvorenoga kruga K(z 0 , r), pa jetamo funkcija f 1 holomorfna.Ostaje pokazati da je, uz uvjet lim f 1(z) = 0, takav rastav jedinstven.|z|→∞Neka je, također, f = g 1 + g 2 , gdje je g 2 ∈ H(K(z 0 , R)) i g 1 ∈ H(C \ K(z 0 , r)),i vrijedi lim g 1(z) = 0. Definirajmo funkciju h: C → C s|z|→∞{f1 (z) − gh(z) :=1 (z) , |z − z 0 | > rg 2 (z) − f 2 (z) , |z − z 0 | < R .

§ 38. Laurentov red 67Funkcija h je dobro definirana, jer je za r < |z − z 0 | < R, tj. za z ∈ V ,f 1 (z) + f 2 (z) = f(z) = g 1 (z) + g 2 (z)pa jef 1 (z) − g 1 (z) = g 2 (z) − f 2 (z) .Iz definicije funkcije h, jasno je da je ona holomorfna na krugu K(z 0 , R) i izvanzatvorenog kruga K(z 0 , r). No kako je presjek tih dvaju otvorenih skupovavijenac V , na kome se formule za h podudaraju, h je holomorfna na čitavojkompleksnoj ravnini, tj. h je cijela funkcija. Nadalje, kako je lim 1(z) =|z|→∞lim 1(z) = 0, to je i lim h(z) = 0, pa, kao i u dokazu Osnovnog teorema|z|→∞ |z|→∞algebre, teorem 37.10, slijedi da je funkcija h i omeđena. Prema Liouvilleovomteoremu, teorem 37.9, zaključujemo da je h konstantna funkcija, a kakoje lim 1|z|→∞= f 1 i g 2 = f 2 , čime je dokazanajedinstvenost.Upravo dokazan teorem o jedinstvenosti Laurentova reda, vrlo je koristan,kako teoretski, tako i u primjenama. Prvo, on pokazuje da je svaki red pozitivnihi negativnih potencija, koji funkciji f konvergira na nekom vijencu ili(probušenom) krugu, upravo Laurentov red te funkcije. Tu je sadržan i teoremo jedinstvenosti Taylorova reda. Jer i Taylorov red, dakle red sa sâmim nenegativnimpotencijama, je također Laurentov red, samo što su svi koeficijenti uznegativne potencije jednaki nuli. Ako, dakle, krenemo razviti funkciju f u Laurentovred oko neke točke u kojoj je ona holomorfna, kao rezultat dobit ćemonjezin Taylorov red, tj. dobit ćemo da su koeficijenti uz sve negativne potencijejednaki nuli.Drugo, kada trebamo neku funkciju razviti u red potencija — pozitivnih,negativnih — kako ispadne, onda tome obično ne pristupamo tako da počnemoderivirati ili integrirati ne bi li odredili koeficijente dâne formulama (1) i (2) nastr. 54 ili (2) na str. 62, nego se nastojimo dočepati traženoga reda (najčešćeje dovoljno naći samo nekoliko prvih članova) koristeći neke, od ranije poznate,redove.Primjer 38.1 Za primjer odredimo Laurentov red funkcijef(z) := 1z − 2 − 1z − 1

68 7. RAZVOJI KOMPLEKSNIH FUNKCIJA U REDOVE POTENCIJAoko 0. Budući da f nije definirana u 1 i u 2, razvit ćemo ju u redove na kruguK(0, 1) i na vijencima V (0; 1, 2) i V (0; 2, +∞).Za drugi sumand, za |z| < 1, je − 1z − 1 = 11 − z = ∑ ∞ z n , dok je za |z| > 1,− 1z − 1 = −1 zZa prvi sumand,a za |z| > 2 je11 − 1 z1z − 2 = − 12 − z = −1 21z − 2 = 1 z= − 1 ∞∑ ( 1)n∑= − ∞z n=0 z1, za |z| < 2 vrijediz − 211 − 2 z⎪⎩11 − z 2= 1 ∞∑ ( 2)n∑= ∞z n=0 zn=−1−∞∑n=1n=01z n = − −∞ ∑z n .n=−1= − 1 ∞∑ ( z) n ∞∑ = −2 n=0 2n=0n=12 n−1z n= −∞ ∑n=0n=−1z n2 n+1 ,z n2 n+1 .Zbrajanjem, na sva tri područja, odgovarajućih redova, dobivamo⎧ ∞∑ (1 − 1 )z n , |z| < 1n=0 2⎪⎨n+1f(z) = − −∞ ∑z n ∑− ∞ 12 n+1 zn , 1 < |z| < 2 .n=−1( 12 n+1 − 1 )z n, 2 < |z|Ako želimo tu istu funkciju razviti u red, naprimjer, na probušenom kruguK ∗ (1, 1), dakle po potencijama od z − 1, onda za prvi sumand nalazimo1z − 2 = − 11 − (z − 1) = − ∑ ∞n=0(z − 1) n ,dok je drugi sumand već zapisan kao red potencija od z −1, a svi koeficijenti a n ,osim a −1 , jednaki su nuli, i a −1 = −1. Tako dobivamof(z) = − 1z − 1 − ∑ ∞ (z − 1) n , 0 < |z − 1| < 1 .n=0Kao i u slučaju Taylorova reda, i kod Laurentova reda dokazuju se sljedećeocjene za koeficijente:

§ 39. Singulariteti 69Teorem 38.3 (Cauchyjeve ocjene koeficijenata Laurentova reda) Nekaje f(z) =+∞ ∑n=−∞a n (z − z 0 ) n za 0 ≤ r < |z − z 0 | < R, i neka je za r < ρ < R,M(ρ) := max{|f(z)| : |z − z 0 | = ρ}. Tada je|a n | ≤ M(ρ)ρ n , za sve n ∈ Z .Dokaz: Prema prethodnom teoremu o jedinstvenosti dvostranih redova, red ∑ n∈Za n (z−z 0 ) n je upravo Laurentov red funkcije f na vijencu V (z 0 ; r, R), pa je, prema Laurentovomteoremu 38.1, a n = 1 f(ζ)2πi∫Γ ρ (ζ − z 0 ) dζ, gdje je Γ n+1 ρ kružnica radijusaρ oko z 0 . Tvrdnja se sada dobije, kao i u dokazu teorema 37.7, korištenjemleme 32.1 o ocjeni integrala.§ 39 SingularitetiLaurentovi redovi omogućuju proučavanje funkcija i u okolini točaka u kojimanisu holomorfne, tj. u okolini singulariteta.Definicija 39.1 Neka je Ω ⊆ C otvoren skup, a f : Ω → C funkcija. Kažemoda je točka z 0 ∈ Int Ω = Ω \ ∂Ω singularitet funkcije f, ili da funkcija f imau točki z 0 singularitet, ako u točki z 0 funkcija f nije holomorfna ili uopće nijedefinirana u toj točki.Kako bismo mogli govoriti o tome je li neka točka z 0 singularitet funkcije fili nije, točka z 0 mora biti okružena točkama u kojima f jeste definirana, točnije,mora biti z 0 ∈ Int Ω, a je li funkcija f definirana u sâmoj točki z 0 ili nije — nijeodlučujuće. Naprimjer, funkcija f(z) := 1 ima u točki 1 singularitet, isto{ 1 − z1, z ≠ 1kao i funkcija f 1 definirana s f 1 (z) := 1 − z , iako prva nije definiranau 1, a druga jeste. U svim ostalim točkama kompleksne ravnine, obje su0 , z = 1∑funkcije holomorfne. S druge strane, za funkciju f 2 , definiranu s f 2 (z) := ∞ z n ,ne možemo kazati da, u smislu gornje definicije, ima singularitet u točki 1, jer,kako je definirana kao suma reda potencija, njezino područje definicije je samokrug konvergencije toga reda, tj. otvoren krug K(0, 1), a točka 1 nije u nutrinin=0

70 7. RAZVOJI KOMPLEKSNIH FUNKCIJA U REDOVE POTENCIJAzatvarača toga kruga. Druga je stvar što se funkcija f 2 na svojoj domeni podudaras restrikcijom funkcije f, a funkcija f zaista ima u točki 1 singularitet.Singulariteta ima različitih i vrlo ‚neugodnih’. Mi ćemo promatrati samotzv. izolirane singularitete:Definicija 39.2 Za singularitet z 0 kažemo da je izoliran singularitet funkcijef, ako je f holomorfna funkcija na nekom probušenom krugu K ∗ (z 0 , R) okotočke z 0 .Naprimjer, točka 1 je izoliran singularitet maloprije promatranih funkcija fi f 1 . Isto je tako 0 izoliran singularitet funkcije z ↦→ sin 1 , ali 0 nije izoliranzsingularitet funkcije z ↦→ 1 . Prema gornjoj definiciji, za točku 1 ne možemokazati da je izoliran singularitet funkcije f 2 , jer ta funkcija, onako kakosin 1 zje zadana, definirana je samo tamo gdje red ∑ z n konvergira, pa nije definirananiti u jednoj točki izvan zatvorenog kruga K(0, 1), dakle, nije definirana nitina jednom probušenom krugu K ∗ (1, R), R > 0. Ipak, funkcija f 2 podudarase s funkcijom f na krugu K(0, 1), pa na f možemo gledati kao na proširenjefunkcije f 2 , i u tom smislu može se ipak za točku 1 kazati da je izolirani singularitetfunkcije f 2 . Mi u tako detaljna razmatranja nećemo ulaziti, i bavit ćemose samo ‚pravim’ izoliranim singularitetima koji su okruženi točkama u kojimapromatrana funkcija je definirana, dakle točkama z 0 ∈ Int Ω.Napomena 39.1 Primijetimo da funkcija može imati i beskonačno mnogo izoliranihsingulariteta. Ali, ako funkcija ima samo izolirane singularitete, ondaskup singulariteta ne može imati gomilište koje je sadržano u Ω. Stoga nitijedan kompaktan podskup od Ω ne može sadržavati više od konačno mnogo izoliranihsingulariteta takve funkcije f. Nadalje, svaki otvoren podskup od C jeσ-kompaktan, tj. prebrojiva je unija kompaktnih podskupova, vidi teorem 5.5,pa odavde slijedi da funkcija koja ima samo izolirane singularitete, može ih imatinajviše prebrojivo mnogo.Pokazat ćemo da postoje tri vrste izoliranih singulariteta: uklonjivi, polovii bitni singulariteti. Pođimo redom:Za izoliran singularitet z 0 funkcije f kažemo da je uklonjiv, ako u točki z 0možemo funkciju f predefinirati ili, ako u z 0 nije bila definirana, dodefinirati,tako da postane holomorfna na nekom (pravom, neprobušenom) krugu K(z 0 , R)oko točke z 0 . Drugim riječima, singularitet je uklonjiv, ako ga možemo ukloniti.Sljedeći teorem daje nekoliko karakterizacija uklonjivog singulariteta.

§ 39. Singulariteti 71Teorem 39.1 (Karakterizacija uklonjivih singulariteta) Neka je funkcija fholomorfna na probušenom krugu K ∗ (z 0 , R). Sljedeće su tvrdnje ekvivalentne:(i) z 0 je uklonjiv singularitet funkcije f.(ii) Postoji limes limz→z 0f(z) ∈ C.(iii) f je omeđena na nekoj okolini točke z 0 .(iv) lim (z − z 0 ) f(z) = 0z→z 0(v) U Laurentovom razvoju funkcije f oko točke z 0 nema negativnih potencija,tj. svi koeficijenti uz negativne potencije jednaki su nuli.Dokaz: (i) ⇒ (ii) Ako je z 0 uklonjiv singularitet funkcije f, onda, uklonivši ga,dobivamo funkciju, nazovimo ju ˆf, koja je holomorfna na nekoj okolini točke z 0 ,pa ona, zbog neprekidnosti, ima u z 0 limes. Kako je za limes neke funkcijenebitno kako je i je li uopće definirana u točki u kojoj se promatra limes, to ifunkcija f ima u točki z 0 limes.(ii) ⇒ (iii) Ova implikacija slijedi iz sâme definicije limesa. Naime, neka jel := lim f(z) ∈ C. To znači, da za svaki ε > 0 postoji δ > 0 takav da za svez→z 0z ∈ K ∗ (z 0 , δ) vrijedi |f(z) − l| < ε. Stoga je f(K(z 0 , δ)) ⊆ K(l, ε) ∪ {f(z 0 )}ako f jeste definirana u z 0 , ili je f(K ∗ (z 0 , δ)) ⊆ K(l, ε), ukoliko nije. U oba jeslučaja f ograničena na δ-okolini točke z 0 .(iii) ⇒ (iv) Ova je implikacija trivijalna, jer ako je f omeđena na nekojokolini točke z 0 , onda zbog lim (z − z 0 ) = 0, slijedi da limes lim (z − z 0 ) f(z)z→z 0 z→z 0postoji, i jednak je 0.(iv) ⇒ (v) Za broj 0 < r < R, s M(r) označimo maksimum modula funkcijef na kružnici oko z 0 radijusa r, dakle, M(r) := max{|f(z)| : |z − z 0 | = r}.Dokažimo, najprije, da jelim r M(r) = 0 . (1)r→0Zbog kompaktnosti kružnice, za svaki r < R, postoji točka z r , |z r − z 0 | = r,z 0 zrtakva da je M(r) = |f(z r )|. Označimo sa S skup tako odabranihtočaka z r . Zbog (iv) je i lim |z − z 0 | |f(z)| = 0, az→z 0kako je z 0 očito gomilište skupa S, to je i0 = lim |z − z 0 | |f(z)| = lim |z r − z 0 | |f(z r )| = lim r M(r)z r→z 0 r→0z→z 0z∈Sčime je dokazano (1).

72 7. RAZVOJI KOMPLEKSNIH FUNKCIJA U REDOVE POTENCIJANeka je f(z) =+∞ ∑n=−∞a n (z−z 0 ) n Laurentov razvoj funkcije f na probušenomkrugu K ∗ (z 0 , R). Prema Cauchyjevim ocjenama koeficijenata Laurentova reda,teorem 38.3, je |a −n | ≤ r n M(r) za sve n ≥ 1, pa zbog (1) zaključujemo da jea −n = 0 za sve n ≥ 1, tj. koeficijenti uz sve negativne potencije u Laurentovomredu funkcije f oko točke z 0 , jednaki su nuli.(v) ⇒ (i) Ova implikacija je opet jednostavna. Zaista, prema (v), Laurentovrazvoj funkcije f na K ∗ ∑(z 0 , R) ima oblik f(z) = ∞ a n (z − z 0 ) n . Definiramo lif(z 0 ) := a 0 , singularitet smo uklonili, jer dobivena je funkciju na cijelom kruguK(z 0 , R) jednaka sumi reda (nenegativnih) potencija, pa je holomorfna na tomkrugu.1 − cos 2zPrimjer 39.1 Kao primjer, promotrimo funkciju f(z) := , koja jez 2holomorfna svuda osim u točki 0, gdje nije definirana. Pokažimo da je taj, očitoizoliran, singularitet, uklonjiv. Kako je cos t = 1 − t22! + t44! − t6+ · · · , to je6!f(z) = 1 − ( 1 − (2z)22!+ (2z)44!− (2z)66!+ · · · )z 2 = 2 − 2 3 z2 + 4 45 z4 + · · · .Dakle, 0 je uklonjiv singularitet funkcije f, i definiramo li f(0) := 2 — uklonilismo ga.Funkcije s uklonjivim singularitetima su gotovo tako dobre kao holomorfnefunkcije. Specijalno, i za njih vrijedi opći Cauchyjev teorem:Korolar 39.2 (Cauchyjev teorem za funkcije s uklonjivim singularitetima)Neka je funkcija f : Ω → C holomorfna, osim možda u nekim točkama, u kojimaima uklonjive singularitete. Tada je za svaki, u Ω nulhomotopan, zatvoren podijelovima gladak put γ, ∫ f dz = 0.γDokaz: Uklonimo li singularitete funkcija f, dobivamo holomorfnu funkciju ˆf,pa na nju primijenimo opći Cauchyjev teorem, teorem 33.4. Ako put integracijene prolazi niti jednim uklonjivim singularitetom funkcije f, onda se ˆf i fduž tog puta podudaraju, pa su im i integrali jednaki. Ali i ako put integracijeprolazi nekim od uklonjivih singulariteta funkcije f, to na integral nemautjecaja. Naime, kako su uklonjivi singulariteti izolirani, na putu γ ih, premanapomeni 39.1, ima samo konačno mnogo, a kao što znamo od ranije, promjenan=0

§ 39. Singulariteti 73funkcije u konačno mnogo točaka ne utječe niti na njezinu integrabilnost, nitina sâm integral.Drugi tip izoliranih singulariteta su polovi. Za izoliran singularitet z 0 funkcijef kažemo da je pol, ako u Laurentovom razvoju funkcije f oko točke z 0ima konačno mnogo (ali barem jedan) članova s negativnim potencijama, tj. s11potencijama od . Red pola je red najveće potencije od koja se uz − z 0 z − z 0tom Laurentovom razvoju pojavljuje s koeficijentom različitim od nule.Teorem 39.3 (Karakterizacija polova) Neka je funkcija f holomorfna naprobušenom krugu K ∗ (z 0 , R). Sljedeće su tvrdnje ekvivalentne:(i) z 0 je pol funkcije f (reda m).(ii) z 0 nije uklonjiv singularitet funkcije f, ali postoji prirodan broj k takav daje z 0 uklonjiv singularitet funkcije z ↦→ (z − z 0 ) k f(z). (Najmanji takav kupravo je m — red pola.)(iii)lim |f(z)| = +∞.z→z 0Dokaz: (i) ⇒ (ii) Ako je z 0 pol m-tog reda funkcije f, onda, prema definiciji,Laurentov razvoj funkcije f oko točke z 0 ima oblik f(z) =+∞ ∑n=−ma n (z − z 0 ) n ,a −m ≠ 0, m ≥ 1, pa prema teoremu 39.1 kojim su karakterizirani uklonjivisingulariteti, z 0 nije uklonjiv singularitet funkcije f. Pomnožimo li f sa (z−z 0 ) k ,za svaki k ≥ m dobit ćemo funkciju koja u svom Laurentovom razvoju okotočke z 0 nema negativnih potencija, pa je, prema istom teoremu, z 0 uklonjivsingularitet te funkcije. Očito je najmanji prirodan broj s ovim svojstvom,upravo broj m — red pola.(ii) ⇒ (iii) Ako funkcija g(z) := (z−z 0 ) m f(z) ima u z 0 uklonjiv singularitet,onda, prema teoremu 39.1, postoji limes lim g(z) ∈ C, pa je, zbog m ≥ 1,z→z 0lim |f(z)| = limz→z 0 z→z 0|g(z)||z − z 0 | m = +∞.(iii) ⇒ (i) Pretpostavimo da je lim |f(z)| = +∞. To znači da za svakiz→z 0M > 0 postoji δ > 0, takav da za svaki z ∈ K ∗ (z 0 , δ) vrijedi |f(z)| > M.Specijalno (uzevši npr. M = 1), postoji δ > 0 takav da je f(z) ≠ 0 za svez ∈ K ∗ (z 0 , δ). Definirajmo funkciju g : K ∗ (z 0 , δ) → C s g(z) := 1f(z) . Funkcija gje holomorfna na K ∗ (z 0 , δ) i lim g(z) = 0. Prema teoremu 39.1, g ima u z 0z→z 0

74 7. RAZVOJI KOMPLEKSNIH FUNKCIJA U REDOVE POTENCIJAuklonjiv singularitet, i ako definiramo g(z 0 ) := 0, dobivamo holomorfnu funkcijuna cijelom krugu K(z 0 , δ).Točka z 0 je jedina nultočka funkcije g, i označimo njezin red s m. Premateoremu 37.4, na krugu K(z 0 , δ) postoji holomorfna funkcija h takva da jeg(z) = (z − z 0 ) m h(z) , |z − z 0 | < δ , (2)i h(z) ≠ 0 za sve |z − z 0 |

§ 39. Singulariteti 75= 1, pa, prema te-sin zpa je limz→0 zoremu 39.1, funkcija z ↦→ z 1= 1. Odavde slijedi da je limz→0z 1sin zima u 0 uklonjiv singularitet. Primijenimosin zli sada prethodni teorem kojim su karakterizirani polovi, zaključujemo dafunkcija f(z) = 1 ima u 0 pol, i to prvoga reda.sin zDefinicija 39.3 Za funkciju f kažemo da je meromorfna na otvorenom skupuΩ ⊆ C ako ima samo uklonjive singularitete i polove, i ako skup singularitetanema gomilište u Ω.Tipični primjeri meromorfnih funkcija su racionalne funkcije. One, ako subrojnik i nazivnik relativno prosti, tj. razlomak je ‚skraćen do kraja’, od singularitetaimaju samo polove, i to u nultočkama nazivnika. Ima međutim i drugihmeromorfnih funkcija. Naprimjer, funkcija z ↦→ 1 također je meromorfnasin zna C, jer ona, od singulariteta u C, ima samo polove, i to u nultočkama funkcijesinus. Treba ipak malo pripaziti. Funkcija z ↦→ 1 meromorfna je na C \ {0},sin 1 zali nije meromorfna na C, jer 0 jeste singularitet te funkcije, ali nije izoliran (pane može biti pol niti uklonjiv singularitet).Promatrajući Laurentov razvoj funkcije oko singulariteta z 0 , ostaje još jednamogućnost — da je glavni dio beskonačan. Za izoliran singularitet z 0 kažemo daje bitan singularitet ako u Laurentovom razvoju funkcije f oko točke z 0 imabeskonačno mnogo članova s negativnim potencijama, tj. beskonačno mnogokoeficijenata uz negativne potencije je različito od nule.Iz već dokazanog o ponašanju funkcije u okolini uklonjivih singulariteta ipolova, vidimo da funkcija ne može biti ograničena niti na jednoj okolini bitnogsingulariteta, ali ne može niti po modulu težiti u +∞. Ona je, dakle, neomeđenana svakoj okolini točke z 0 , i čak njezin modul nema niti konačnog niti beskonačnoglimesa. Preciznije o ponašanju funkcije u okolini bitnog singulariteta,govori sljedeći teorem.Teorem 39.4 (Casorati 1 -Weierstrass-Sohockij 2 ) Neka je funkcija f holomorfnana probušenom krugu K ∗ (z 0 , R). Točka z 0 je bitan singularitet funkcijef ako i samo ako je za svaki δ > 0, slika probušenog kruga K ∗ (z 0 , δ) gustana C, tj. za svaki w ∈ C i svaki ε > 0, postoji z ∈ K ∗ (z 0 , δ), takav da je|f(z) − w| < ε.1 Felice Casorati (1835–1890), talijanski matematičar2 Julian-Karl Vasilievič Sohockij (1842–1927), ruski matematičar, rođen u Poljskoj

76 7. RAZVOJI KOMPLEKSNIH FUNKCIJA U REDOVE POTENCIJAzz 0δf w 0f(z)εDokaz: Neka je z 0 bitan singularitet funkcije f, i odaberimo δ, w i ε kao u iskazuteorema. Ako postoji z ∈ K ∗ (z 0 , δ) takav da je f(z) = w, tvrdnja je dokazana.Pretpostavimo, dakle, da je f(z) ≠ w za svaki z ∈ K ∗ (z 0 , δ). Tada je i funkcijag : K ∗ 1(z 0 , δ) → C, definirana s g(z) :=f(z) − w , holomorfna na K∗ (z 0 , δ).Funkcija g ima u z 0 izoliran singularitet.Ako je funkcija g omeđena na nekoj okolini točke z 0 , onda je z 0 uklonjivsingularitet, pa postoji limes lim g(z) =: l ∈ C.z→z 0Ako je l ≠ 0, onda je lim f(z) = 1 + w, pa bi, prema teoremu 39.1, funkcija fz→z 0 limala u z 0 uklonjiv singularitet, i u njezinom Laurentovom razvoju oko z 0ne bi bilo negativnih potencija.Ako je l = 0, onda je lim |f(z) − w| = +∞, pa je i lim |f(z)| = +∞, štoz→z 0 z→z 0bi, prema teoremu 39.3, značilo da f ima u z 0 pol, dakle, u Laurentovomrazvoju bilo bi samo konačno mnogo negativnih potencija.Prema tome, otpadaju obje mogućnosti, pa je funkcija g neomeđena nasvakoj okolini točke z 0 . To specijalno znači, da i za odabrane δ i ε, postojiz ∈ K ∗ (z 0 , δ) takav da je |g(z)| > 1 , tj. |f(z) − w| < ε.εObrat je jednostavan. Naime, ako je za svaki δ > 0, slika probušenog δ-krugaoko z 0 gusta na C, onda niti može f biti omeđena na nekoj okolini točke z 0 , nitimože limes modula biti jednak +∞. Prema karakterizacijama uklonjivih singulariteta,odnosno polova, zaključujemo da u Laurentovom razvoju funkcije foko točke z 0 mora biti beskonačno mnogo negativnih potencija, pa je z 0 bitansingularitet funkcije f.Primjeri funkcija s bitnim singularitetom su z ↦→ e 1 z i z ↦→ sin 1 z . Objeove funkcije imaju bitan singularitet u 0, što se jednostavno vidi iz njihovihLaurentovih razvoja.

§ 40. Reziduumi 77§ 40 ReziduumiU ovoj ćemo točki dokazati teorem o reziduumima, koji je vrlo koristan i teoretskii u primjenama.Definicija 40.1 Neka je funkcija f holomorfna na probušenom krugu K ∗ (z 0 , r)i neka je ∑ n∈Za n (z − z 0 ) n njezin Laurentov red oko točke z 0 . Koeficijent a −1 uz1z − z 0naziva se reziduum funkcije f u točki z 0 , i označavamo ga res(f, z 0 ).Promotrimo li Laurentov razvoj funkcije z ↦→ f(z) − res(f, z 0)z − z 0oko točke z 0 ,vidimo da ona ima na probušenom krugu K ∗ (z 0 , r) primitivnu funkciju. Takona reziduum funkcije u nekoj točki, možemo gledati kao na mjeru koliko se tafunkcija razlikuje od derivacije neke holomorfne funkcije definirane na okolini tetočke.Prema formuli (2) na str. 62, za koeficijente Laurentova reda, vidimo da jeres(f, z 0 ) = 12πi∫Γ 0f(ζ) dζ ,gdje je Γ 0 neka dovoljno mala pozitivno orijentirana kružnica oko z 0 . Napišemoli tu formulu kao∫Γ 0f(ζ) dζ = 2πi res(f, z 0 ) ,dobivamo korisnu formulu za nalaženje integrala kompleksne funkcije u slučajevimakada znamo njezin Laurentov razvoj, ili barem koeficijent uz .1z − z 0Teorem o reziduumima, koji ćemo sada dokazati, poopćuje tu formulu.Teorem 40.1 (o reziduumima za funkcije s konačno mnogo singulariteta)Neka je Ω ⊆ C otvoren skup, f : Ω → C funkcija koja je holomorfna osim u točkamas 1 , s 2 , . . . , s k , u kojima ima izolirane singularitete, i neka je γ zatvoren,u Ω nulhomotopan, po dijelovima gladak put, koji ne prolazi niti jednom od tihtočaka. Tada je∫k∑f dz = 2πi ν(γ, s j ) · res(f, s j ) . (1)γj=1

78 7. RAZVOJI KOMPLEKSNIH FUNKCIJA U REDOVE POTENCIJADokaz: Neka je g j (z) := ∞ ∑n=1a (j)−n (z − s j ) −n glavni dio Laurentova razvoja funkcijef oko točke s j , j = 1, . . . , k. Definirajmo funkciju h: Ω → C formulomh(z) := f(z) −k∑g j (z) . (2)Svaka od funkcija g j je holomorfna na C \ {s j }, pa je funkcija h holomorfna,osim u točkama s 1 , s 2 . . . , s k , u kojima ima uklonjive singularitete. Primijenimoli sada Cauchyjev teorem za funkcije s uklonjivim singularitetima, korolar 39.2,dobivamo∫h dz = 0 . (3)γZa svaki j ∈ {1, . . . , k} je∫g j dz = 2πi ν(γ, s j ) res(f, s j ) . (4)γZaista, kako je funkcija g j holomorfna na C \ {s j }, red kojim je ona definiranakonvergira lokalno uniformno na cijelom skupu C \ {s j }, vidi dokaz tvrdnje (i)teorema o jedinstvenosti Laurentova reda, teorem 38.2, pa, jer put γ ne prolazitočkom s j , taj red konvergira uniformno na γ ♣ . Zato možemo integrirati članpo član, pa dobivamo∫γ∫g j dz =∞∑γ n=1j=1a (j)−n(z − s j ) −n dz = a (j)−1 2πi ν(γ, s j) = 2πi ν(γ, s j ) res(f, s j ) ,jer za n ≠ 1, funkcije z ↦→ 1(z − s j ) n imaju na C\{s j} ⊇ γ ♣ , primitivnu funkciju,te je njihov integral duž γ jednak nuli.Zbrajanjem formula (4), iz (2) i (3) dobivamo tvrdnju teorema.Teorem 40.2 (o reziduumima) Neka je Ω ⊆ C otvoren skup, f : Ω → Cfunkcija koja je holomorfna osim u točkama skupa S ⊆ Ω, u kojima ima izoliranesingularitete, i neka je γ : [a, b] → Ω zatvoren, u Ω nulhomotopan, po dijelovimagladak put, koji ne prolazi niti jednim singularitetom funkcije f, tj. γ ♣ ∩ S = ∅.Tada je indeks puta γ s obzirom na sve točke skupa S osim njih konačno mnogo,jednak nuli, i vrijedi∫f dz = 2πi ∑ ν(γ, s) · res(f, s) . (5)s∈Sγ

§ 41. Broj nultočaka i polova meromorfnih funkcija 79Dokaz: Primijetimo najprije, da, prema napomeni 39.1, S, skup singularitetafunkcije f, nema gomilište koje pripada skupu Ω, jer bi inače to gomilište biloneizoliran singularitet funkcije f. Stoga proizvoljan kompaktan podskup od Ωsadrži najviše konačno mnogo elemenata skupa S.Neka je γ zatvoren po dijelovima gladak put, nulhomotopan u Ω, i neka jeH : [a, b]×[0, 1] → Ω homotopija između γ i nekog konstantnog puta. Označimos H ♣ := H([a, b] × [0, 1]) ⊆ Ω trag (sliku) homotopije H. Za svaku točkuz ∈ C \ H ♣ je zatvoren put γ nulhomotopan u C \ {z}, pa je ν(γ, z) = 0,propozicija 34.3 (i).Označimo sa S H := S∩H ♣ skup onih singulariteta funkcije f koji se nalaze uskupu H ♣ , i neka je S O := S\S H skup ostalih singulariteta. Zbog kompaktnostipravokutnika [a, b]×[0, 1] i neprekidnosti homotopije H, skup H ♣ je kompaktan,pa je skup S H konačan, a za sve točke s ∈ S O je ν(γ, s) = 0.Neka je Ω 1 := Ω \ S O . Pokažimo da je to otvoren skup. Neka je z ∈ Ω 1proizvoljna točka. z nije gomilište skupa S O , jer bi to onda bilo i gomilišteskupa S, a pokazali smo da takvih u Ω nema. Zbog toga, postoji r > 0 takavda je K(z, r) ⊆ Ω \ S O = Ω 1 , tj. skup Ω 1 je otvoren.Restrikcija funkcije f na otvoren skup Ω 1 je funkcija koja je holomorfna,osim u točkama konačnog skupa S H =: {s 1 , . . . , s k }, a zatvoren put γ je nulhomotopanu Ω 1 , jer je H ♣ ⊆ Ω 1 . Možemo, dakle, na tu restrikciju primijenitiprethodni teorem o reziduumima za funkciju s konačno mnogo singulariteta, padobivamo∫γf dz = 2πik∑ν(γ, s j ) res(f, s j ) .j=1Kako smo dokazali da je ν(γ, s) = 0 za sve s ∈ S O , to sumu u prethodnojformuli možemo napisati i kao ∑ , pa smo tako dokazali (5).s∈S§ 41 Broj nultočaka i polova meromorfnih funkcijaPrimijenit ćemo sada teorem o reziduumima na određivanje broja nultočaka ipolova meromorfnih funkcija, a kao jednostavnu posljedicu dobit ćemo i dokazDrugog osnovnog teorema algebre.Kako meromorfna funkcija, u točkama u kojima nije holomorfna, ima samouklonjive singularitete i polove, možemo uklonjive singularitete zaista i ukloniti,

80 7. RAZVOJI KOMPLEKSNIH FUNKCIJA U REDOVE POTENCIJAtako da općenito možemo smatrati da meromorfna funkcije ima samo polove.Za točku z 0 koja je nultočka ili pol funkcije f, s r(z 0 , f) ∈ N označit ćemored te nultočke odnosno pola.Teorem 41.1 Neka je f meromorfna funkcija na otvorenom povezanom skupuΩ ⊆ C, koja nije konstanta 0, f ≢ 0. Γ ⊆ Ω neka je pozitivno orijentiranakontura koja ne prolazi niti jednom nultočkom niti polom funkcije f i čije jeunutarnje područje B sadržano u Ω, te neka je h ∈ H(Ω) proizvoljna holomorfnafunkcija. Tada je12πi∫Γh(z) f ′ (z)f(z) dz = ∑z ′ ∈Bz ′ je nultočka od fh(z ′ ) r(z ′ , f) − ∑z ′′ ∈Bz ′′ je pol od fh(z ′′ ) r(z ′′ , f) . (1)Dokaz: Kako je ν(Γ, z 0 ) = 1 za svaku točku z 0 ∈ B, to je, prema teoremu oreziduumima, teorem 40.2,∫1h(z) f ′ (z)2πi f(z) dz = ∑res(h f ′, s) . (2)fΓs∈Bs je singularitet od h f′fOdredimo reziduume funkcije h f ′u njezinim singularitetima koji se nalazefu unutrašnjem području B konture Γ. U točkama u kojima je funkcija f holomorfnai nije jednaka nuli, funkcija h f ′je holomorfna. Zato se singularitetiffunkcije h f ′nalaze među nultočkama i singularitetima, dakle polovima, funkcijef. Niti skup nultočaka niti skup polova funkcije f nema gomilišta u Ω, pafsmo na funkciju h f ′zaista mogli primijeniti teorem o reziduumima.fNeka je, prvo, s nultočka funkcije f, i to reda r(s, f) =: n. Prema teoremu37.4, postoje δ > 0 i holomorfna funkcija g ∈ H(K(s, δ)), takvi da jeZa svaki z ∈ K ∗ (s, δ) tada vrijedif(z) = (z − s) n g(z) , z ∈ K(s, δ) , ig(z) ≠ 0 , z ∈ K(s, δ) .h(z) f ′ (z)f(z) = h(z) nz − s + (z)h(z)g′ g(z) .

§ 41. Broj nultočaka i polova meromorfnih funkcija 81Kako je drugi sumand, funkcija h g′, holomorfna na krugu K(s, δ), to je singularitetfunkcije h f ′ngzapravo singularitet funkcije z ↦→ h(z) . Razvijemo lifz − sfunkciju h na δ-krugu oko s u Taylorov red, vidimo da ako je h(s) = 0, onda je snuklonjiv singularitet funkcije z ↦→ h(z) , pa je njezin reziduum u s jednakz − snnuli, dakle jednak je broju h(s) · n. Ako je h(s) ≠ 0 onda funkcija z ↦→ h(z)z − sima u s pol prvog reda, i njezin reziduum je opet jednak h(s) · n.Ponovimo li ovo zaključivanje za svaku nultočku funkcije f koja se nalaziunutar konture Γ, dobivamo prvi sumand u (1).Neka je sada s pol funkcije f reda p. Ako u Laurentovom razvoju funkcije foko pola s izlučimo faktor (z −s) −p , vidimo da, kao i u slučaju nultočke, postojiδ > 0 i holomorfna funkcija g ∈ H(K(s, δ)), sa svojstvom g(z) ≠ 0 za svez ∈ K(s, δ), i takva da jeKao i ranije, dobivamopa zaključujemo da jef(z) =h(z) f ′ (z)f(z)1(z − s) p g(z) , z ∈ K∗ (s, δ) .= h(z)−pz − s + h(z)g′ (z)g(z) ,res(h f ′, s) = h(s) · (−p) = −h(s) · r(s, f) .fSumiranjem po svim polovima funkcije f koji se nalaze unutar Γ, dobivamo idrugu sumu u (1).Specijalno, za konstantnu funkciju h(z) = 1 za svaki z, dobivamoKorolar 41.2 Neka je f meromorfna funkcijama na otvorenom povezanomskupu Ω, koja nije konstantna, a Γ ⊆ Ω neka je nulhomotopna pozitivno orijentiranakontura, koja ne prolazi niti jednom nultočkom niti polom funkcije f.Tada je12πi∫Γf ′ (z)f(z) dz = N Γ(f) − P Γ (f) , (3)gdje je N Γ (f) broj nultočaka, a P Γ (f) broj polova funkcije f unutar Γ, i toračunajući njihov red, tj. ukoliko je neka nultočka ili pol reda r, treba ju brojati rputa.

82 7. RAZVOJI KOMPLEKSNIH FUNKCIJA U REDOVE POTENCIJAIntegralu na lijevoj strani formule (3) možemo dati i geometrijski smisao.Ako napravimo supstituciju (zamjenu varijabli) f(z) =: w, dobivamo∫1 f ′ (z)2πi f(z) dz = 1 ∫dw2πi w . (4)Γf(Γ) je po dijelovima glatka zatvorena krivulja, pa je desna strana u prethodnojformuli, upravo indeks te krivulje s obzirom na točku 0. Tako dobivamoKorolar 41.3 Za meromorfnu funkciju f koja nije konstantna na otvorenompovezanom skupu Ω ⊆ C, i pozitivno orijentiranu konturu Γ koja je nulhomotopnau Ω i ne prolazi niti jednom nultočkom niti polom funkcije f, vrijedif(Γ)N Γ (f) − P Γ (f) = ν(f(Γ), 0) .Ovaj se korolar naziva i Princip argumenta.Primjer 41.1 Kao primjer upotrebe prethodnih razmatranja, odredimo kakosu po kvadrantima raspoređene nultočke polinomap(z) := 1 8 z8 − 8 7 z7 + 29 6 z6 − 12z 5 + 37 2 z4 − 52 3 z3 + 8z 2 + 1 .Pokažimo, najprije, da p nema realnih nultočaka. Zaista, za derivaciju nalazimo(kako tražimo realne nultočke, varijablu označavamo sa x)p ′ (x) = x 7 − 8x 6 + 29x 5 − 60x 4 + 74x 3 − 52x 2 + 16x .Direktnom provjerom, vidi se da su 0, 1 i 2 nultočke polinoma p ′ , pa dijeljenjemdobivamo djelomičnu faktorizacijup ′ (x) = x (x − 1)(x − 2) (x 4 − 5x 3 + 12x 2 − 14x + 8) .=:q(x)Polinom q faktoriziramo tako da nađemo koeficijente a, b, c, d koji zadovoljavajusistem linearnih jednadžbi dobiven uspoređivanjem koeficijenata uz istepotencije od x u produktupa dobivamo(x 2 + ax + b)(x 2 + cx + d) = x 4 − 5x 3 + 12x 2 − 14x + 8 ,p ′ (x) = x (x − 1)(x − 2)(x 2 − 2x + 2)(x 2 − 3x + 4) .

§ 41. Broj nultočaka i polova meromorfnih funkcija 83Kvadratni faktori nemaju realnih nultočaka, pa su točke 0, 1 i 2 jedine realnenultočke derivacije, te, jer se radi o polinomu parnog stupnja kojemu je najstarijikoeficijent pozitivan, p ima, kao realna funkcija, tri stacionarne točke, i to sulokalni minimumi u točkama 0 i 2, i lokalni maksimum u točki 1. Kako jep(0) = 1 > 0, i p(2) = 29 > 0, p nema realnih nultočaka.21Pokažimo sada da p nema niti čisto imaginarnih nultočaka. Za y ∈ R jep(i y) = 1 8 y8 − 29 6 y6 + 37 2 y4 − 8y 2 + 1 +i ( 8 7 y7 − 12y 5 + 52 3 y3 ). (5)=:p Re (y)=:p Im (y)Da bi bilo p(i y) = 0, moraju realni i imaginarni dio istovremeno iščezavati.Imaginarni dio jednak jep Im(y) = 421 y3 (6y 4 − 63y 2 + 91) ,pa je y 1 = 0 trostruka nultočka, a ostale četiri jednostruke nultočke su√√√√y 4,5 = ± 1 59521 −23 ≈ ±1.315 y 6,7 = ± 1 59521 +23 ≈ ±2.962 .Kako je p Re(0) = 1, p Re(y 4 ) = p Re(y 5 ) ≈ 18.611 i p Re(y 6 ) = p Re(y 7 ) ≈ −1167.39,to p Rei p Imne mogu istovremeno iščezavati, tj. p nema nultočaka niti na imaginarnojosi.Odredimo sada broj nultočaka polinoma p u prvom kvadrantu. Neka jeR > 0, i neka je Γ = Γ 1 + Γ 2 + Γ 3 kontura sastavljena od sljedećih orijentiranihlukova (vidi sliku):Γ 1 je segment realne osi od 0 do R.Γ 2 je luk kružnice oko 0 radijusa R od točke R do i RΓ 3 je segment imaginarne osi od i R do 0.Prema Drugom osnovnom teoremu algebre, koji ćemo uskoro dokazati, korolar41.5, polinom ima konačno mnogo nultočaka — točno onoliko koliki mu jered. Zbog toga će, za dovoljno veliki R, sve nultočke polinoma p koje se nalazeu prvom kvadrantu, biti obuhvaćene konturom Γ. Kako je polinom holomorfnafunkcija, pa nema polova, bit će, prema prethodnom korolaru, broj tih nultočakajednak indeksu krivulje p(Γ) = p(Γ 1 ) + p(Γ 2 ) + p(Γ 3 ) s obzirom na 0. Treba,dakle, samo približno, kvalitativno, odrediti sliku p(Γ) — detalji nam nisu važni,važno je jedino koliko se puta p(Γ) ‚namota’ oko 0.

84 7. RAZVOJI KOMPLEKSNIH FUNKCIJA U REDOVE POTENCIJA(i) Jer je p polinom s realnim koeficijentima, to za realne varijable p poprima irealne vrijednosti, pa je p(Γ 1 ) segment realne osi, koji sadrži točke p(0) = 1i p(R) ≈ 1 8 R8 .(ii) Točke luka Γ 1 su oblika R e i t , t ∈ [0, π 2 ], pa je u točkama luka Γ 1p(R e i t ) = 1 8 R8 e 8 i t( 1 − 647R e i t + 1163R 2 e 2 i t − 96R 3 e 3 i t ++ 148R 4 e 4 i t − 4163R 5 e 5 i t + 64R 6 e 6 i t + 8R 8 e 8 i t ).Kako je R velik, to je izraz u velikoj zagradi u prethodnoj formuli približnojednak 1, pa slika p(Γ 2 ) dva puta obilazi približno kružnicu oko 0radijusa 1 8 R8 , počevši od točke p(R) do točke p(i R), za koju, iz formule (5),vidimo da je Im p(i R) ≈ 8 7 R7 > 0, jer je R velik.iRp(Γ 2 )Γ 2p(Γ 3 )Γ 30 Γ 1 R1 p(Γ 1 ) 18 R8(iii) p(Γ 3 ) je skup točaka oblika p(i y), y ∈ [R, 0]. Krivulja p(Γ 3 ) počinje utočki p(i R), gdje je završila krivulja p(Γ 2 ), a završava u točki 1 = p(0),gdje je počela krivulja p(Γ 1 ). Pitanje je samo ‚vrti’ li se, i kako, p(Γ 3 )oko 0. Kako bismo to ustanovili, dovoljno je ustanoviti gdje i kako p(Γ 3 )siječe realnu os. Iz (5) vidimo da je za nenegativan realan y, p(i y) realansamo u nultočkama polinoma p Im, tj. u točkama√√√√y 6 = 1 59521 +23 ≈ 2.962 , y 4 = 1 59521 −23 ≈ 1.315 , y 1 = 0 ,

§ 41. Broj nultočaka i polova meromorfnih funkcija 85u kojima polinom p poprima približno vrijednosti −1167.39, 18.611 i 0.Kako su y 6 i y 4 jednostruke nultočke polinoma p Im, to krivulja p(Γ 3 ) počinjeu točki p(i R) ≈ 1 8 R8 + i 8 7 R7 u kojoj završava p(Γ 2 ), i koja je u gornjojpoluravnini, zatim u točki p(i y 6 ) ≈ −1167.39 prelazi u donju poluravninu,pa se opet u točki p(i y 4 ) ≈ 18.611 vraća u gornju poluravninu, te završavau točki p(0) = 1, gdje je početak krivulje p(Γ 1 ) (vidi sliku).Na osnovi ovih razmatranja, zaključujemo da je indeks krivulje p(Γ) sobzirom na točku 0 jednak 3, pa naš polinom p ima u prvom kvadrantu trinultočke (računajući njihov red).Kako nultočke polinoma s realnim koeficijentima moraju dolaziti u konjugiranokompleksnim parovima, zaključujemo da polinom p ima i u četvrtomkvadrantu tri nultočke. Prema, već spominjanom Drugom osnovnom teoremualgebre, ukupan broj nultočaka našeg polinoma p je osam, pa jerna koordinatnim osima nema nultočaka i jer nultočke dolaze u konjugiranokompleksnim parovima, mora se još po jedna nultočka nalaziti u drugom iu trećem kvadrantu.Često se koristi sljedeći teorem:Teorem 41.4 (Rouchéov 1 teorem) Neka su funkcije f i g holomorfne naotvorenom skupu Ω, i neke je Γ ⊆ Ω kontura čije je i unutrašnje područjesadržano u Ω. Ako za svaki z ∈ Γ vrijedi |g(z)| < |f(z)|, onda Γ obuhvaćajednak broj nultočaka funkcijâ f i f + g (pritom svaku nultočku treba računationoliko puta koliki je njezin red).Dokaz: Za svaki z ∈ Γ je |f(z)| > |g(z)| ≥ 0, pa je f(z) ≠ 0. Nadalje, kada bineki z ∈ Γ bio nultočka funkcije f + g, bilo bi g(z) = −f(z), tj. |g(z)| = |f(z)|,suprotno pretpostavci teorema. Dakle, kontura Γ ne prolazi niti jednom nultočkomfunkcijâ f i f + g, pa, jer se radi o holomorfnim funkcijama, za određivanjebroja njihovih nultočaka unutar konture Γ, možemo primijeniti korolar 41.2.Tako dobivamoN Γ (f + g) − N Γ (f) = 12πi= 12πi1 Eugène Rouché (1832–1910), francuski matematičar∫∫ΓΓf ′ (z) + g ′ (z)f(z) + g(z) dz − 12πig ′ (z) f(z) − g(z) f ′ (z)f(z)(f(z) + g(z))∫Γf ′ (z)f(z) dzdz . (6)

86 7. RAZVOJI KOMPLEKSNIH FUNKCIJA U REDOVE POTENCIJAPokazali smo da je za svaki z ∈ Γ, f(z) ≠ 0. Stoga, zbog neprekidnosti,postoji (otvorena) okolina U ⊇ Γ, takva da je f(z) ≠ 0 za sve z ∈ U, pa jedobro definirana funkcije h: U → C formulom h(z) := 1 + g(z)f(z) . Deriviranjemnalazimo da je h′ (z)= g′ (z) f(z) − g(z) f ′ (z). Uvrstimo li to u (6), zamjenomh(z) f(z)(f(z) + g(z))varijable w := h(z), dobivamoN Γ (f + g) − N Γ (f) = 12πi∫Γh ′ (z)h(z) dz = 12πi∫h(Γ)dww= ν(h(Γ), 0) ,gdje je posljednja jednakost dobivena kao ranije u korolaru 41.3.Treba još odrediti indeks ν(h(Γ), 0). Kako je za svaki z ∈ Γ, ∣ g(z)∣ < 1,f(z)to je, prema definiciji funkcije h, krivulja h(Γ) sadržana u krugu radijusa 1 okotočke 1, tj. h(Γ) ⊆ K(1, 1). Zbog toga je ν(h(Γ), 0) = 0, pa iz prethodne formuleslijedi da f + g i f imaju jednak broj nultočaka unutar Γ.Primijetimo da Rouchéov teorem ne tvrdi da funkcije f i f + g imaju istenultočke unutar Γ — samo da ih je jednako mnogo.Primjenom Rouchéova teorema, dobivamo sada najavljivaniKorolar 41.5 (Drugi osnovni teorem algebre) Svaki polinom stupnja n, skompleksnim koeficijentima, ima točno n nultočaka u C.Dokaz: Neka jep(z) = a n z n + a n−1 z n−1 + · · · + a 1 z + a 0 , a i ∈ C , a n ≠ 0 , n ≥ 1 .Definirajmof(z) := a n z ng(z) := a n−1 z n−1 + · · · + a 1 z + a 0 .Kako je limt→∞|a n−1 | t n−1 + · · · + |a 1 | t + |a 0 ||a n| t n = 0, postoji R 0 > 0 takav da za sveR > R 0 vrijedi |a n | R n > |a n−1 | R n−1 + · · · + |a 1 | R + |a 0 |. Neka je Γ kružnicaoko 0 radijusa R. Iz prethodne nejednakosti vidimo da za svaki z ∈ Γ vrijedi|g(z)| < |f(z)|, pa prema Rouchéovom teoremu zaključujemo da p = f +g ima ukrugu K(0, R) jednak broj nultočaka kao f, koji ima jednu nultočku, 0, reda n.Kako to vrijedi za svaki R ≥ R 0 , svaka nultočka polinoma p će kad-tad bitiobuhvaćena, pa zaključujemo da p ima točno n kompleksnih nultočaka.

§ 41. Broj nultočaka i polova meromorfnih funkcija 87Primjer 41.2 Promotrimo ponovno polinomp(z) := 1 8 z8 − 8 7 z7 + 29 6 z6 − 12z 5 + 37 2 z4 − 52 3 z3 + 8z 2 + 1iz primjera 41.1, i pokažimo da se sve njegove nultočke nalaze unutar kruga radijusa3 oko točke 1, a izvan kruga radijusa 99, tj. u kružnom vijencu V (1;10 10 , 3).Razvijemo li polinom p po potencijama od z − 1, dobijemop(z) = 1 8 (z − 1)8 − 1 7 (z − 1)7 + 1 3 (z − 1)6 − 1 4 (z − 1)4 + 1 3 (z − 1)3 − (z − 1) 2 + 11156(to je zapravo Taylorov red polinoma p oko točke 1, a najjednostavnije se dobijetako da se izračuna p(z + 1), i uzmu koeficijenti dobivenog polinoma). Neka jef(z) := 1 (z − 1)88g(z) := − 1 7 (z − 1)7 + 1 3 (z − 1)6 − 1 4 (z − 1)4 + 1 3 (z − 1)3 − (z − 1) 2 + 11156 .Tada je za |z − 1| = 3|f(z)| = 1 8 · 38 ≈ 820 , i|g(z)| ≤ 1 7 · 37 + 1 3 · 36 + 1 4 · 34 + 1 3 · 33 + 3 2 + 11156 ≈ 596 ,pa u svim točkama kružnice |z − 1| = 3 vrijedi |g(z)| < |f(z)|. PrimjenomRouchéova teorema zaključujemo da polinomi p = f + g i f imaju u kruguK(1, 3) jednak broj nultočaka. Kako polinom f ima utom krugu, jednu nultočku, 1, i ona je reda osam, to ipolinom p ima u tom krugu osam nultočaka, a premaDrugom osnovnom teoremu algebre, to su ujedno i sve1njegove nultočke.Neka je sadaf(z) := 11156g(z) := 1 8 (z − 1)8 − 1 7 (z − 1)7 + 1 3 (z − 1)6 − 1 4 (z − 1)4 + 1 3 (z − 1)3 − (z − 1) 2 .Tada je za |z − 1| = 910

88 7. RAZVOJI KOMPLEKSNIH FUNKCIJA U REDOVE POTENCIJA|f(z)| = 11156 ≈ 1.98 , i|g(z)| ≤ 1 ( 9 ) 8 1( 9 +8 10 7 10) 7 1( 9 +3 10) 6 1( 9 +4 10) 4 1( 9 ) 3 ( 9 ) 2+ + ≈ 1.52 ,3 10 10pa u svim točkama kružnice |z − 1| = 9 vrijedi |g(z)| < |f(z)|. Kako je f10konstantan polinom, pa nema niti jedne nultočke, to niti polinom p = f + g ukrugu K(1, 9 ) nema niti jedne nultočke. Sve se, dakle, nultočke polinoma p10nalaze u kružnom vijencu V (1; 910 , 3).Zadatak 41.1 Poboljšajte ocjenu u prethodnom primjeru i pokažite da se sve nultočkepolinoma p nalaze u kružnom vijencu V (1; 1, 3).§ 42 Lokalna svojstva holomorfnih funkcijaU ovoj ćemo točki, nakon Weierstrassovog pripremnog teorema, dokazati tripoznata teorema: o otvorenom preslikavanju, o maksimumu modula i Schwarzovulemu.Teorem 42.1 (Weierstrassov pripremni teorem) Neka je funkcija f holomorfnau točki z 0 , označimo w 0 := f(z 0 ), i neka je red nultočke z 0 funkcijez ↦→ f(z) − w 0 jednak n. Tada postoje δ > 0 i ε > 0 takvi da za svakiw ∈ K(w 0 , ε), funkcija z ↦→ f(z) − w ima u krugu K(z 0 , δ) točno n nultočaka,računajući njihov red.Štoviše, brojevi δ i ε mogu se odabrati tako da za svaki w ∈ K ∗ (w 0 , ε),funkcija z ↦→ f(z) − w ima u krugu K(z 0 , δ), točno n različitih nultočaka.z 0δf w w 0εDokaz: Funkcija z ↦→ f(z)−w 0 je holomorfna i nije konstanta 0 (jer tada njezinanultočka z 0 ne bi mogla biti konačnog reda n). Stoga su sve njezine nultočkeizolirane, teorem 37.4, pa postoji δ > 0 takav da je z 0 jedina nultočka funkcijez ↦→ f(z) − w 0 na zatvorenom krugu K(z 0 , δ). Specijalno, na rubu, tj. za

§ 42. Lokalna svojstva holomorfnih funkcija 89|z − z 0 | = δ, vrijedi |f(z) − w 0 | > 0. Neka je ε := min |f(z) − w 0| > 0|z−z 0|=δ(minimum postoji jer je kružnica kompaktan skup, a f neprekidna funkcija).Neka je w ∈ K(w 0 , ε). Tada za |z −z 0 | = δ vrijedi |w 0 −w| < ε ≤ |f(z)−w 0 |. IzRouchéova teorema 41.4, primijenjenog na funkcije z ↦→ f(z)−w 0 i z ↦→ w 0 −w,slijedi da njihova suma, tj. funkcija z ↦→ (f(z) − w 0 ) + (w 0 − w) = f(z) − w, imau krugu K(z 0 , δ) jednak broj nultočaka kao i funkcija z ↦→ f(z)−w 0 , dakle, imaih točno n. Time je dokazana prva tvrdnja teorema.Kako bismo dokazali i drugi dio teorema, primijetimo najprije da ako su δi ε kao u teoremu, onda je i svaki δ ′ < δ, uz pripadni ε ′ := min |f(z) − w 0|,|z−z 0|=δ ′dobar. Nadalje, derivacija f ′ funkcije f također je holomorfna funkcija, i nijekonstantna funkcija 0, f ′ ≢ 0. Naime, u protivnom bi sve njezine derivacije bilejednake nuli, pa bi funkcija f bila konstantna na K(z 0 , δ). Stoga su i nultočkefunkcije f ′ izolirane, pa δ možemo odabrati tako da, osim ranijeg zahtjeva, vrijedii f ′ (z)≠0 za sve z ∈ K ∗ (z 0 , δ). Zbog toga su, za proizvoljan w ∈ K ∗ (f(z 0 ), ε),sve nultočke funkcije z ↦→ f(z) − w u krugu K(z 0 , δ) jednostruke. Kako ih,računajući red, ima n, moraju sve biti međusobno različite.Primjer 42.1 Dobra ilustracija Weierstrassovog pripremnog teorema, je funkcijaf(z) := z n = |z| n e ni arg z . Ona preslikava kut 2π s vrhom u 0, na cijelunkompleksnu ravninu C, tj. ravninu ‚namota’ n puta oko ishodišta. Osim 0, svesu ostale točke kompleksne ravnine, slike od po točno n različitih točaka, n različitihn-tih korijena. Weierstrassov pripremni teorem kaže, dakle, da lokalno,svaka je holomorfna funkcija takva.Korolar 42.2 (Teorem o otvorenom preslikavanju) Neka je Ω ⊆ C otvorenskup i f : Ω → C holomorfna funkcija, koja nije konstantna niti na jednojkomponenti povezanosti skupa Ω. Tada je za svaki otvoren skup U ⊆ Ω, slikaf(U) otvoren skup u C, tj. f je otvoreno preslikavanje.Dokaz: Neka je w 0 ∈ f(U), i neka je z 0 ∈ U takav da je f(z 0 ) = w 0 , tj.z 0 je nultočka funkcije z ↦→ f(z) − w 0 . Prema Weierstrassovom pripremnomteoremu, postoje brojevi δ > 0 i ε > 0 takvi da za svaki w ∈ K(w 0 , ε), funkcijaz ↦→ f(z) − w ima u krugu K(z 0 , δ) barem jednu nultočku. Drugačije rečeno,za svaki w ∈ K(w 0 , ε) postoji z ∈ K(z 0 , δ) takav da je f(z) = w. Premanapomeni na početku dokaza drugog dijela Weierstrassovog teorema, broj δ, ionda pripadni ε, možemo odabrati tako da, zbog otvorenosti skupa U, budeK(z 0 , δ) ⊆ U, pa je tada i K(w 0 , ε) ⊆ f(U), što pokazuje da je skup f(U) ⊆ Cotvoren.

90 7. RAZVOJI KOMPLEKSNIH FUNKCIJA U REDOVE POTENCIJASpecijalno, vrijediKorolar 42.3 Neka je Ω ⊆ C otvoren i povezan skup, a f : Ω → C holomorfnafunkcija koja nije konstantna. Tada je skup f(Ω) ⊆ C otvoren.Teorem 42.4 (o lokalnoj invertibilnosti holomorfne funkcije) Neka jefunkcija f holomorfna u točki z 0 i neka je f ′ (z 0 ) ≠ 0. Tada postoje otvoreni skupoviU ∋ z 0 i V ∋ f(z 0 ) takvi da je f U : U → V bijekcija, i inverzna funkcijag := ( f U) −1: V → U je holomorfna u f(z0 ).Dokaz: Iz pretpostavke f ′ (z 0 ) ≠ 0, slijedi da je z 0 jednostruka nultočka funkcijez ↦→ f(z) − f(z 0 ). Neka su δ > 0 i ε > 0 kao u Weierstrassovom pripremnom teoremu42.1, s tim da je δ dovoljno malen da vrijedi i f ′ (z) ≠ 0 za sve z ∈ K(z 0 , δ),što zbog neprekidnosti funkcije f ′ i napomene na početku dokaza drugog dijelaWeierstrassovog teorema, možemo postići. Označimo s V := K(f(z 0 ), ε)i U := K(z 0 , δ) ∩ f ← (V ). Zbog neprekidnosti funkcije f, skup U je otvoren.Prema Weierstrassovom teoremu, za svaki w ∈ V = K(f(z 0 ), ε), postoji jedanjedini z ∈ K(z 0 , δ) takav da je f(z) = w, što znači da je f U : U → V bijekcija.Označimo njezin inverz s g := ( ) −1f U : V → U. Preslikavanje g je neprekidno,jer, kako je f, prema prethodnom korolaru, otvoreno preslikavanje, zasvaki otvoren skup U ′ ⊆ U, skup g ← (U ′ ) = f(U ′ ) je otvoren. Stoga su f U i ghomeomorfizmi.Ostaje pokazati da je funkcija g holomorfna na V , a za to je dovoljno pokazatida je g derivabilna na V . Neka su w, w ′ ∈V , i neka su z := g(w) i z ′ := g(w ′ )∈U,tj. w = f(z) i w ′ = f(z ′ ). Tada jeg(w ′ ) − g(w)limw ′ →w w ′ = lim− w z′ →zz ′ − zf(z ′ ) − f(z) = limz ′ →z1f(z ′ )−f(z)z ′ −z.(U ovom smo računu mogli zamijeniti limes lim s limesom lim jer su fw ′ →w z ′ →zUi g homeomorfizmi.) Ovaj posljednji limes postoji, jer je f holomorfna na U.Stoga postoji i prvi od gornjih limesa, tj. funkcija g derivabilna je u w, a kakoje w ∈ V bila proizvoljna točka, g je derivabilna na V .Napomena 42.1 Pokažimo kako se prethodni teorem može dokazati i koristećisamo teorem o inverznoj funkciji iz realne analize, teorem 12.1, i Cauchy-Riemannov teorem 31.1.

§ 42. Lokalna svojstva holomorfnih funkcija 91Naime, funkcija f je holomorfna, pa je f ′ neprekidna. Stoga je f, shvaćenakao funkcija f = (u, v): Ω → R 2 , Ω ⊆ R 2 , diferencijabilna klase C 1 . U točkiz 0 = (x 0 , y 0 ) je f ′ (z 0 ) = ∂ x u(x 0 , y 0 ) + i ∂ x v(x 0 , y 0 ) ≠ 0, pa, zbog Cauchy-Riemannovih uvjeta, za Jacobijan nalazimo∂(u, v)det∂(x, y)˛˛˛˛ (x0, y0) = ∂ xu ∂ yu˛ =∂ xv ∂ yv ˛ ∂xu −∂xv˛ = |f ′ (z∂ xv ∂ 0)| 2 ≠ 0 ,xu˛(x 0 ,y 0 )˛(x 0 ,y 0 )tj. diferencijal preslikavanja f = (u, v) je u točki (x 0 , y 0 ) regularan. Prema teoremuo inverznom preslikavanju, postoje otvoreni skupovi U oko točke (x 0 , y 0 )i V oko točke f(x 0 , y 0 ) =: (ξ 0 , η 0 ), takvi da je f U : U → V bijekcija, ainverzno preslikavanje g = (p, q): V → U je diferencijabilno klase C 1 , i vrijediDg(ξ, η) = ( Df(x, y) ) −1, za sve (ξ, η) = f(x, y) ∈ V . To znači da je∂(p, q)( ∂(u, v)) ( )−1∂(ξ, η) (ξ, η) = ∂(x, y) (x, y) 1 ∂x u ∂ = x v,det ∂(u,v)∂(x,y) (x, y) −∂ x v ∂ x u(x,y)pa i za funkciju g = (p, q) vrijede Cauchy-Riemannovi uvjeti, tj. funkcija g,shvaćena kao kompleksna funkcija, holomorfna je u točki f(z 0 ).Korolar 42.5 (Teorem o holomorfnom izomorfizmu) Neka je holomorfnafunkcija f : Ω → C injektivna. Tada je f ′ (z) ≠ 0 za sve z ∈ Ω, skup f(Ω) ⊆ C jeotvoren, i inverzna funkcija g : f(Ω) → Ω bijekcije f : Ω ↣→ f(Ω) je holomorfna,tj. f : Ω → f(Ω) je holomorfni ili analitički izomorfizam.Dokaz: Kada bi postojala točka z 0 ∈ Ω takva da je f ′ (z 0 ) = 0, onda bi z 0 bilanultočka funkcije z ↦→ f(z) − f(z 0 ) reda barem 2, pa, prema Weierstrassovompripremnom teoremu 42.1, funkcija f ne bi mogla biti injekcija na nekoj okolinitočke z 0 .Kako je f injektivno preslikavanje, korestrikcija f : Ω → f(Ω) je bijekcija,pa postoji inverzno preslikavanje g : f(Ω) → Ω. Prema teoremu o otvorenompreslikavanju, zapravo korolaru 42.3, skup f(Ω) ⊆ C je otvoren, pa ima smislagovoriti o holomorfnosti preslikavanja g.Prema teoremu o lokalnoj invertibilnosti holomorfne funkcije, teorem 42.4,oko svake točke z skupa Ω, postoji okolina i na njoj holomorfni inverz funkcije f.Ali, inverzna funkcija je jedinstvena, pa se takav lokalni inverz, na toj okolinipodudara s restrikcijom funkcije g. Zbog lokalnog karaktera derivabilnosti, toznači da i funkcija g ima na toj okolini derivaciju, pa je ona holomorfna u z,dakle, g ∈ H(Ω).Kao posljedicu teorema o otvorenom preslikavanju, dobivamo i

92 7. RAZVOJI KOMPLEKSNIH FUNKCIJA U REDOVE POTENCIJAKorolar 42.6 (Teorem o maksimumu modula) Neka je Ω ⊆ C otvoren ipovezan skup, a f : Ω → C holomorfna funkcija. Ako f nije konstantna funkcijaonda je ona ili neomeđena ili je |f(z)| < sup |f(ζ)| za svaki z ∈ Ω, tj. |f| nemaζ∈Ωna području Ω maksimum.Dokaz: Prema teoremu o otvorenom preslikavanju, korolar 42.3, skup f(Ω) jeotvoren, pa za svaki z ∈ Ω, oko točke f(z) postoji krug K(f(z), ε) ⊆ f(Ω), a unjemu očito ima točaka kojima je modul veći od |f(z)|.zf|f(z)|f(z)I sljedeća se varijanta prethodnog korolara često naziva istim imenom, a zaobje verzije koristi se i naziv Princip maksimuma modula.Korolar 42.7 Neka je K ⊆ Ω kompaktan skup, a f : Ω → C holomorfnafunkcija koja nije konstantna niti na jednoj okolini niti jedne točke nutrineskupa K. Tada modul funkcije f K poprima maksimum samo u nekoj točkiruba ∂K = K \ Int K skupa K.Malo pojednostavljeno rečeno, ako je funkcija f holomorfna u svim točkamakompaktnog skupa K, onda modul |f|, koji kao neprekidna funkcija na kompaktumora imati maksimum, taj maksimum poprima jedino u točkama ruba.Korolar 42.8 (Schwarzova 1 lema) Neka je f : K(0, 1) → K(0, 1) holomorfnafunkcija takva da je f(0) = 0. Tada je ili |f(z)| < |z| za sve z ∈ K ∗ (0, 1),ili je f rotacija, tj. postoji α ∈ R takav da je f(z) = z e i α , za sve z ∈ K(0, 1).Drugačije rečeno, holomorfno preslikavanje jediničnog kruga na sâma sebekoje fiksira središte kruga, je ili rotacija, dakle, izometrija, ili ima svojstvo dasvaku točku, osim središta koje drži fiksnim, približi središtu kruga.1 Karl Herman Amandus Schwarz (1843–1921), njemački matematičar

§ 42. Lokalna svojstva holomorfnih funkcija 93Dokaz: Definirajmo pomoćnu funkciju g : K(0, 1) → C formulom⎧⎨ f(z), z ≠ 0g(z) := z.⎩f ′ (0) , z = 0Funkcija g je holomorfna na probušenom krugu K ∗ (0, 1) i neprekidna je u 0, paje, prema korolaru 34.11, holomorfna na cijelom krugu K(0, 1).Neka je z ∈ K(0, 1) proizvoljna točka. Za svaki r takav da je |z| < r < 1,modul funkcije g poprima maksimum na rubuK(0, r)z rzr0 1toga kruga, korolar 42.7, tj. postoji točka z r , |z r | = r,takva da je |g(z ′ )| ≤ |g(z r )| za sve z ′ ∈ K(0, r), specijalnoza z ′ = z. Zbog toga je|g(z)| ≤ |g(z r )| = |f(z r)||z r |< 1 r .Kako to vrijedi za svaki r, |z| < r < 1, zaključujemo da je |g(z)| ≤ 1. Točka zje bila proizvoljna, pa je |g(z)| ≤ 1 za sve z ∈ K(0, 1).Ako postoji z 0 ∈ K(0, 1) takav da je |g(z 0 )| = 1, onda je, prema teoremu omaksimumu modula, korolar 42.6, funkcija g konstantna, i to jednaka konstantimodula 1, pa postoji α ∈ R takav da je g(z) = e i α , dakle i f(z) = z e i α , za svez ∈ K(0, 1). U protivnom je |g(z)| < 1 za sve z ∈ K(0, 1), pa je |f(z)| < |z| zasve z ∈ K ∗ (0, 1).Schwarzova lema formulira se često i ovako:Korolar 42.9 (Schwarzova lema) Neka je f : K(0, 1) → K(0, 1) holomorfnafunkcija takva da je f(0) = 0. Tada je ili |f ′ (0)| < 1, ili postoji α ∈ R takav daje f(z) = z e i α , za sve z ∈ K(0, 1).Dokaz: Za funkciju g, kao u dokazu prethodnog korolara, je ili |g(0)| < 1, ili|g(0)| = 1. U prvom slučaju je |f ′ (0)| = |g(0)| < 1, a u drugom se, na isti načinkao u dokazu prethodnog korolara, pokazuje da je f rotacija.Nekad je korisna i oslabljena verzija Schwarzove leme:Korolar 42.10 Ako je f : K(0, 1) → K(0, 1) holomorfna funkcija takva da jef(0) = 0, onda je |f(z)| ≤ |z|, za sve z ∈ K(0, 1).

Korišteni teoremi iz analize u R nU ovom dodatku navodimo one teoreme iz Matematičke analize u R n koje smorabili i na koje smo se na raznim mjestima pozivali, i to s numeracijom iz [6],kako smo i citirali.1 Neprekidnost i limesTeorem 2.2 (Lema o uniji preslikavanja) Neka je X = A ∪ B gdje su Ai B zatvoreni podskupovi od X te neka su f : A → Y i g : B → Y neprekidnapreslikavanja takva da je f| A∩B = g| A∩B . Tada je i preslikavanje h: X → Ydefinirano s{f(P ) , P ∈ Ah(P ) =g(P ) , P ∈ Bneprekidno. Ista tvrdnja vrijedi i kada su A i B otvoreni podskupovi od X.Korolar 2.12 (jedinstvenost neprekidnog proširenja na zatvorenje)Neka su X i Y metrički prostori, a f, g : X → Y dva neprekidna preslikavanja,te neka je f A = g A za neki podskup A ⊆ X. Tada je i f A= g A.Teorem 4.13 (Cantorov teorem o presjeku) Neka je (X, d) potpun metričkiprostor, F 1 ⊇ F 2 ⊇ F 3 ⊇ . . . silazni niz nepraznih zatvorenih podskupovaod X takvih da je lim diam F k = 0. Tada je presjek ⋂ F k neprazan i sastoji sekk∈Nod točno jedne točke.Teorem 4.16 Neka su X, Y metrički prostori, a BC(X, Y ) skup svih omeđenihneprekidnih preslikavanja s X u Y . BC(X, Y ) je zatvoren potprostor odB(X, Y ), tj. limes (s obzirom na metriku ρ u prostoru B(X, Y )) niza neprekidnihomeđenih preslikavanja je neprekidno omeđeno preslikavanje.95

96 Korišteni teoremi iz analize u R nKorolar 4.17 Prostor BC(X, Y ) svih omeđenih neprekidnih preslikavanja metričkogprostora X u potpun metrički prostor (Y, d) je potpun metrički prostor.Teorem 4.19 Neka su X i Y metrički prostori, A ⊆ X gust podskup, i neka jef : A → Y uniformno neprekidno preslikavanje. Ako je prostor Y potpun, ondase f može proširiti, i to na jedinstven način, na čitav X, tj. postoji jedno jedinoneprekidno preslikavanje ˆf : X → Y takvo da je ˆf A = f. Preslikavanje ˆf čakje uniformno neprekidno.Primjer 5.1 (Cantorov trijadski skup) Neka je E 1 = 〈 1 3 , 2 3〉 srednja trećinaPrvih pet koraka u konstrukcijiCantorova skupasegmenta I = [0, 1], E 2 = 〈 1 9 , 2 9 〉 ∪ 〈 7 9 , 8 9 〉 unijasrednjih trećinâ komponenata skupa I \ E 1 ,E 3 = 〈 127 , 227 〉 ∪ 〈 727 , 827 〉 ∪ 〈 1927 , 2027 〉 ∪ 〈 2527 , 2627 〉unija srednjih trećinâ komponenata skupa⋃I \ (E 1 ∪ E 2 ), itd. Skup C := I \ ∞ jeCantorov trijadski skup.E ii=1Teorem 5.5 Neka je U ⊆ R n otvoren skup. Tada postoji rastući niz kompaktnihskupova K 1 ⊆ K 2 ⊆ . . . ⊆ K i ⊆ K i+1 ⊆ . . . ⊆ U takvih da je U = ⋃ K i .Korolar 5.10 Neka je K kompaktan skup u metričkom prostoru X, a U otvorenskup takav da je K ⊆ U i U ≠ X. Tada je d(K, X \ U) > 0.Teorem 5.12 Neka je f : K → L neprekidna bijekcija metričkih prostora. Akoje K kompaktan, onda je i inverzno preslikavanje g = f −1 : L → K neprekidno,tj. f je homeomorfizam s K na L.i∈N2 Diferencijal i derivacijeTeorem 9.1 Neka je f : Ω ⊆ R n → R m preslikavanje za koje postoje parcijalnederivacije na Ω. Ako su sve derivacije ∂ i f j neprekidne u P 0 ∈ Ω, i = 1, . . . , n,j = 1, . . . , m, tada je f diferencijabilno u P 0 .Teorem 9.6 (Schwarzov teorem) Neka je f : Ω ⊆ R n → R diferencijabilnafunkcija klase C 2 na Ω. Tada jeza sve i, j = 1, . . . , n i P ∈ Ω.∂ i ∂ j f(P ) = ∂ j ∂ i f(P )

Korišteni teoremi iz Aanalize u R n 97Teorem 12.1 (o inverznom preslikavanju) Neka je Ω ⊆ R n otvoren skup,f : Ω → R n preslikavanje klase C 1 na Ω i neka je u točki P 0 ∈ Ω diferencijalDf(P 0 ): R n → R n regularan operator. Tada postoje okoline U ⊆ R n oko P 0 iV ⊆ R n oko Q 0 := f(P 0 ) takve da je f| U : U → V bijekcija. Inverzno preslikavanjeg := (f| U ) −1 : V → U je diferencijabilno klase C 1 i vrijediDg(f(P )) = Df(P ) −1 , P ∈ U .Teorem 12.2 Neka je f : Ω ⊆ R n → R n preslikavanje klase C 1 takvo da jediferencijal Df(P ) regularan za sve P ∈ Ω. Tada je za svaki otvoreni skupW ⊆ Ω, slika f(W ) otvoren skup, tj. f je otvoreno preslikavanje. Specijalnoje skup f(Ω) otvoren.Teorem 13.1 (Taylorov teorem srednje vrijednosti) Neka je Ω ⊆ R notvoren skup, f : Ω → R diferencijabilno preslikavanje klase C k+1 i [P 0 , P ] ⊆ Ω.Tada postoji ϑ P ∈ 〈0, 1〉 ⊆ R takav da jef(P ) = f(P 0 ) ++k∑j=13 Riemannov integral1j! Dj f(P 0 )(P − P 0 ) +1(k + 1)! Dk+1 f ( P 0 + ϑ P (P − P 0 ) ) (P − P 0 ) .Teorem 16.6 Neka je Ω ⊆ R 2 otvoren skup, ϕ: Ω → R 2 preslikavanje klase C 1 .Ako je A ⊆ Ω skup mjere nula, onda je i ϕ(A) skup mjere nula.Teorem 19.1 (Fubinijev teorem) Neka je I = [a, b] × [c, d] ⊆ R 2 pravokutnik,a f : I → R omeđena funkcija takva da je skup D točaka u kojima f nijeneprekidna, skup (dvodimenzionalne) mjere nula. Ako za svaki x ∈ [a, b] skupD x := {y ∈ [c, d] : (x, y) ∈ D} ima (jednodimenzionalnu) mjeru nula, onda:(i) funkcija y ↦→ f(x, y) je R-integrabilna na [c, d] za svaki x ∈ [a, b] ;(ii) funkcija x ↦→∫ d(iii) vrijedi jednakostcf(x, y) dy je R-integrabilna na [a, b] ;∫If =∫ ba( ∫ df(x, y) dy ) dx .Analogne tvrdnje vrijede ako x i y zamijene uloge.c

98 Korišteni teoremi iz analize u R nKorolar 19.6 Neka je funkcija f : [a, b] × [c, d] → R neprekidna. Tada za svakix 0 ∈ [a, b] vrijedi∫ dlim f(x, y) dy =x→x 0c∫ dKaže se da „limes i integral komutiraju”.cf(x 0 , y) dy =∫ dclim f(x, y) dy .x→x 0Teorem 19.8 Neka je f : I = [a, b] × [c, d] → R R-integrabilna funkcija kojaima neprekidnu parcijalnu derivaciju ∂ 1 f na I. Tada je funkcija F (x) :=∫ dc f(x, y) dy neprekidno diferencijabilna na [a, b], tj. F ∈ C1 ([a, b]), i derivacijaje jednakaF ′ (x) =∫ dc∂ 1 f(x, y) dy , x ∈ [a, b] .Teorem 20.1 (o zamjeni varijabli u dvostrukom integralu) Neka je K ⊆R 2kompaktan J-izmjeriv skup, Ω ⊇ K otvoren skup, a ϕ: Ω → R 2 injektivno diferencijabilnopreslikavanje klase C 1 takvo da je diferencijal Dϕ(P ) regularanu svim točkama P ∈ Ω. Tada za svaku R-integrabilnu funkciju f : ϕ(K) → Rvrijedi∫ ∫f = (f ◦ ϕ) |det Dϕ| .ϕ(K)4 Integrali duž puteva i krivuljaKTeorem 25.2 Neka je Ω ⊆ R n otvoren skup, a ω = F 1 dx 1 + F 2 dx 2 + · · · +F n dx n diferencijalna 1-forma na Ω. Sljedeće su tvrdnje ekvivalentne:(i) Integral 1-forme ω ne ovisi o putu, tj. ∫ γ ω = ∫ ω za svaka dva PDG puta γηi η u Ω koji imaju zajedničke početke i zajedničke krajeve.(ii) ∫ ω = 0 za sve PDG zatvorene puteve γ u Ω.γ(iii) Postoji glatka realna funkcija f : Ω → R takva da je F i = ∂ i f, i = 1, . . . , n.U tom je slučaju ∫ ω = f(γ(b)) − f(γ(a)) za svaki PDG put γ : [a, b] → Ω.γDefinicija 25.2 Za zatvoren po dijelovima gladak put γ u R 2∗ = R 2 \ {(0, 0)},brojν(γ, O) := 1 ∫−y dx + x dy2π γ x 2 + y 2

Korišteni teoremi iz Aanalize u R n 99naziva se indeks, ili namotajni broj, puta γ s obzirom na točku O =−y dx+x dy(0, 0), ishodište. Diferencijalnu 1-formux 2 +ynazivamo kutnom formom2i označavamo ω ϑ .Translacijom ishodišta možemo definirati indeks zatvorenog puta γ s obziromna bilo koju točku P 0 = (x 0 , y 0 ) koja ne leži na slici γ ♣ toga puta, kaoν(γ, P 0 ) := 1 ∫ω ϑ,P0 ,2πgdje je ω ϑ,P0 (x, y) := −(y − y 0) dx + (x − x 0 ) dy(x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 . Kao i kad se radi o ishodištu,indeks je jednak broju obilazaka, u pozitivnom smjeru, zatvorenog puta γ okotočke P 0 .Teorem 26.3 (o integralu zatvorene forme po homotopnim putevima)Neka je Ω ⊆ R n otvoren skup, ω zatvorena diferencijalna 1-forma na Ω a γ i ηu Ω glatko homotopni putevi od točke P do točke Q. Tada ∫ γ ω = ∫ η ω.Teorem 26.4 Neka su γ i η zatvoreni putevi u otvorenom skupu Ω ⊆ R n , aω zatvorena diferencijalna 1-forma na Ω. Ako su γ i η glatko homotopni kaozatvoreni putevi u Ω, onda je ∫ γ ω = ∫ η ω.Korolar 26.5 Neka je ω zatvorena diferencijalna 1-forma na otvorenom skupuΩ ⊆ R n . Tada je ∫ ω = 0 za svaki po dijelovima gladak zatvoren put γ koji jeγnulhomotopan u Ω.Teorem 27.1 (Greenov teorem za pravokutnik — sirova verzija) Neka jeI := [a, b] × [c, d] ⊆ R 2 pravokutnik, a F, G: I → R neka su diferencijabilnefunkcije klase C 1 (dakle, definirane su i neprekidno diferencijabilne na nekojokolini pravokutnika I). Tada je∫∫ b∫ d∫ b∫ d∂ x G − ∂ y F = F (x, c) dx + G(b, y) dy − F (x, d) dx − G(a, y) dy .IacTeorem 27.5 (Greenov teorem) Neka je Ω⊆R 2 otvoren skup, F, G: Ω→Rdiferencijabilne funkcije klase C 1 , i neka je γ : [a, b] → Ω pozitivno orijentiranjednostavno zatvoren po dijelovima gladak put u Ω, takav da je i unutrašnjepodručje B određeno konturom γ ♣ = γ([a, b]) sadržano u Ω. Tada je∫∫∂ x G − ∂ y F = F dx + G dy .Bγγac

100 Korišteni teoremi iz analize u R nTeorem 30.1 Neka je (Γ, G) po dijelovima glatka krivulja u R n , a γ : [a, b] → Γi η : [c, d] → Γ dvije njezine po dijelovima glatke parametrizacije, i neka je parametrizacijaη regularna, tj. η ′ (u) ≠ 0 za sve u ∈ [c, d]. Tada je i monotonabijekcija ϕ: [a, b] → [c, d] za koju je γ = η ◦ ϕ, po dijelovima glatka funkcija.Pritom, ako γ i η određuju istu orijentaciju na Γ, onda je ϕ strogo rastućafunkcija i ϕ ′ (t) ≥ 0 za sve t ∈ [a, b], a ako γ i η određuju suprotne orijentacije,onda je ϕ strogo padajuća funkcija i ϕ ′ (t) ≤ 0 za sve t ∈ [a, b].

Literatura[1] L. V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill Book Company, Aucland,1979.[2] J. C. Burkill, H. Burkill. A Second Course in Mathematical Analysis, CambridgeUniversity Press, Cambridge, 1970.[3] S. Kurepa, H. Kraljević. Matematička analiza 4. Kompleksne funkcije, Tehničkaknjiga, Zagreb, 1979.[4] S. Mardešić. Matematička analiza, 1. dio, Školska knjiga, Zagreb, 1974.[5] M. Rao, H. Stetkær. Complex Analysis: An Invitation, World Scientific,1991.[6] Š. Ungar. Matematička analiza u R n , Golden Marketing - Tehnička knjiga,Zagreb, 2005.101

IndeksAbelova lema, 49analitička funkcija, 55analitički izomorfizam, 91apsolutna konvergencija, 45argument kompleksnog broja, 2bitan singularitet, 75Cantorovteorem o presjeku, 95trijadski skup, 96Casorati-Weierstrass-Sohockijev teorem,75Cauchy-Hadamardov teorem, 50Cauchy-Riemannovi uvjeti, 4Cauchyjev teoremopći, 21za derivaciju, 13za funkciju s uklonjivim singularitetima,72za jednostavno povezano područje,21za krug, 20za pravokutnik, 19Cauchyjeva integralna formula, 28Cauchyjeve ocjene koeficijenataLaurentova reda, 69Taylorova reda, 58cijela funkcija, 60drugi osnovni teorem algebre, 86dvostrani red, 61eksponencijalna funkcija, 6Fubinijev teorem, 97funkcijaanalitička, 55cijela, 60definirana integralom, 30eksponencijalna, 6hiperbolna, 10holomorfna, 31u točki, 31logaritamska, 7lokalno primitivna, 14meromorfna, 75primitivna, 14trigonometrijska, 10glavni dio funkcije, 64Goursat-Pringsheimov teorem, 17harmonička funkcija, 5hiperbolna funkcija, 10holomorfna funkcija, 31u točki, 31holomorfni izomorfizam, 91holomorfnost sume reda potencija, 51derivacija kompleksne funkcije, 3identiteta, 6103

104 INDEKSimaginarna jedinica, i , 2indeks puta, 25, 99osnovna svojstva, 26integral kompleksne funkcije, 10, 11izoliran singularitet, 70izoliranost nultočaka holomorfne funkcije,56izomorfizamanalitički, 91holomorfni, 91jedinstvenostholomorfne funkcije , 58Laurentova reda, 64reda potencija, 59karakterizacijabitnog singulariteta, 75pola, 73uklonjivog singulariteta, 71konjugiranje kompleksnih brojeva, 2konvergencijalokalno uniformna, 40niza funkcijaobična, 37po točkama, 37reda, 42uniformna, 38krugkonvergencije, 50probušen, 64kutna forma, 99Laplaceova diferencijalna jednadžba, 5Laurentovred, 62jedinstvenost, 64ocjene koeficijenata, 69teorem, 62lemaAbelova, 49o ocjeni integrala, 12o uniji preslikavanja, 95Szhwarzova, 92, 93lim sup, limes superior, 49Liouvilleov teorem, 60logaritamska funkcija, 7lokalnoprimitivna funkcija, 14uniformna konvergencija, 40meromorfna funkcija, 75množenje kompleksnih brojeva, 1modul kompleksnog broja, 1Morerin teorem, 34namotajni broj, 99nultočka, 56izoliranost, 56ocjene koeficijenataLaurentova reda, 69Taylorova reda, 58opći Cauchyjev teorem, 21osnovni teorem algebre, 61drugi, 86otvoreno preslikavanje, 89, 97parcijalna suma, 42pol, 73polinom, 6pravokutnik, 15preslikavanjeotvoreno, 89, 97primitivna funkcija, 14principargumenta, 82maksimuma modula, 92

INDEKS 105probušen krug, 64racionalna funkcija, 6radijus konvergencije, 50red, 42dvostrani, 61konvergentan, 42Laurentov, 62nultočke, 56pola, 73potencija, 49Taylorov, 53, 54regularni dio funkcije, 64reziduum, 77Rouchéov teorem, 85Schwarzov teorem, 96Schwarzova lema, 92, 93singularitet, 69bitan, 75izoliran, 70pol, 73uklonjiv, 70singularni dio funkcije, 64suma reda, 42Taylorovred, 54ocjene koeficijenata, 58teorem, 53teorem srednje vrijednosti, 97teoremCantorov o presjeku, 95Casorati-Weierstrass-Sohockij, 75Cauchy-Hadamardov, 50Cauchyjevopći, 21za derivaciju, 13za funkciju s uklonjivim singularitetima,72za jednostavno povezano područje,21za krug, 20za pravokutnik, 19Fubinijev, 97Goursat-Pringsheimov, 17jedinstvenosti za redove potencija,59karakterizacijabitnog singulariteta, 75pola, 73uklonjivog singulariteta, 71Laurentov, 62Liouvilleov, 60Morerin, 34o derivabilnosti funkcije definiraneintegralom, 30o holomorfnom izomorfizmu, 91o holomorfnostiderivabilne funkcije, 32sume reda potencija, 51o inverznom preslikavanju, 97o izoliranosti nultočaka holomorfnefunkcije, 56o jedinstvenostiholomorfne funkcije, 58Laurentova reda, 64o lokalnoj invertibilnosti holomorfnefunkcije, 90o maksimumu modula, 92o osnovnim svojstvima indeksa, 26o otvorenom preslikavanju, 89, 97o postojanju primitivne funkcije nakrugu, 15o reziduumima, 77, 78o srednjoj vrijednostiTaylorov, 97o višim derivacijama derivabine funkcije,32

106 INDEKSo zamjeni varijabli u dvostrukomintegralu, 98osnovni algebre, 61drugi, 86Rouchéov, 85Schwarzov, 96Taylorov srednje vrijednosti, 97Weierstrassov pripremni, 88trigonometrijska funkcija, 10trijadski skup, 96uklonjiv singularitet, 70uniformna konvergencija, 38Weierstrassov pripremni teorem, 88