Katedra matematiky - Katolícka univerzita v Ružomberku
Katedra matematiky - Katolícka univerzita v Ružomberku Katedra matematiky - Katolícka univerzita v Ružomberku
54 Mária Kolková3. Vzťah medzi schopnosťou konštruovať pravdepodobnostnýpriestor a porozumením pravdepodobnostiPýtali sme sa, či riešenie označované ako Skratka nie je šikovnejšie akoriešenie z kategórie Cez konštrukciu pravdepodobnostného priestoru.Osožné v súvislosti s položenou otázkou je všimnúť si klasifikácie odpovedívo výskume Watson & Kelly [2]. Odpovede žiakov viacerých ročníkov (3.- 13.) zaradili do jednej zo šiestich kategórií podľa stupňa porozumeniapravdepodobnostnému priestoru založeného na troch hodoch kockou.Watson & Kelly použili vo svojom výskume nasledujúcu úlohu. Prostredníctvomnej ukážeme, aké odpovede zodpovedali jednotlivým kategóriam.Úloha 2Predstav si pravidelnú kocku, ktorá má štyri steny čierne a dve biele.Touto kockou sa hodí trikrát. Čo je viac pravdepodobné:a) V dvoch hodoch padne čierna stena, v jednom hode padne biela stena.b) Vo všetkých troch hodoch padne čierna stena.c) Obe možnosti (a) a (b) sú rovnako pravdepodobné?Ďalej uvádzame názvy kategórii s charakteristickou odpoveďou.• Nezapadajúce: Nedá sa povedať... neviem.• Zohľadňujúce neurčitosť: Obe (a) aj (b) sú rovnako pravdepodobné,pretože nevieme, čo sa môže stať.• Založené na pozorovaní jedného hodu kockou: Viac pravdepodobné je(a), pretože čiernych stien je viac. Ale môže padnúť aj biela.• Založené na intuitívnych pomeroch: Pomer čiernych stien ku bielymje 4:2. To je to isté ako 2:1. V troch hodoch by mali padnúť dve čiernesteny a jedna biela. Viac pravdepodobné je (a).• Čiastočne systematické: Viac pravdepodobné je (b). Je šanca 2:3, žepadne čierna stena. To je viac ako 1:3, že padne biela. Šanca, že vtroch hodoch padne čierna stena je 8:27. To je viac ako 4:27.• Úplne systematické: Viac pravdepodobné je (a), pretože môže padnúťbiela, čierna, čierna alebo čierna, biela, čierna alebo čierna,čierna,biela. Teda šanca pre (a) je 3 · 23 · 23 · 13 = 1227. V prípade (b) je lenjedna možnosť: čierna, čierna, čierna, teda šanca 2 3 · 23 · 23 = 827 .Porovnali sme kategórie odpovedí zo štúdie Watson & Kelly s riešeniaminašej úlohy. Sprehľadňuje to Tabuľka 2.
Objavovanie štruktúry pravdepodobnostných úloh u žiakov 55Len jednoduchý pokusIntuitívneSkratkaPostupné losovanieCez konštrukciu chybnéhopravdepodobnostného priestoruCez konštrukciupravdepodobnostného priestoruInéZohľadňujúce neurčitosťZaložené na pozorovanízákladnej kockyZaložené na intuitívnych pomerochČiastočne systematickéa Úplne systematickéNezapadajúceTabuľka 2 – Porovnanie dvoch klasifikáciíZhoda medzi dvomi klasifikáciami je zaujímavá. Riešenia z kategórieSkratka sme prirovnali k riešeniam založeným na intuitívnych pomeroch.Myslíme si, že prirovnanie je primerané, pretože zdôvodnenie v týchto úloháchnaozaj chýbalo. Klasifikácia Watson & Kelly posudzuje odpovede žiakovz pohľadu ich porozumenia pravdepodobnostnému priestoru. Z tohtopohľadu sú riešenia Cez pravdepodobnostný priestor prirodzene na vyššejúrovni ako riešenia Skratka. Rozdiel medzi týmito dvomi typmi riešení jevšak aj v miere podloženia svojej odpovede matematickým zdôvodnením.Hoci riešitelia z kategórie Skratka mali správnu intuíciu, myslíme si, žeby svoju odpoveď mali problém matematicky obhájiť. Toto stavia riešenieCez pravdepodobnostný priestor pred riešenie Skratka.V súvislosti s hľadaním odpovede na položenú otázku prináša náš malývýskum jedno zaujímavé zistenie. Trinásti žiaci mali v zadaní úlohy ajpomocné otázky (v písomnej forme):1. Aké sú možné prípady otočenia jednej karty na stole A? Aké sú pravdepodobnostitýchto prípadov?2. Aké sú možné prípady otočenia dvoch kariet na stole B? Aké súpravdepodobnosti týchto prípadov?Zaujímavé sú riešenia troch žiakov, ktorí vďaka pomocným otázkamskutočne prvky pravdepodobnostného priestoru vypísali, ale tento výpis pririešení ďalej nepoužili. Na Obrázku 5 je znázornené jedno z nich.Riešenia mali pripravenú pôdu pre riešenie Cez pravdepodobnostný priestor,ale nakoniec využili riešenie Skratka alebo Len jednoduchý pokus. Tietoriešenia ukazujú, že ak žiak nepoužije pravdepodobnostný priestor, nemusíto byť v dôsledku toho, že by ho nevedel skonštruovať. Pravdepodobnezatiaľ ešte nerozumie jeho významu. Môže to svedčiť v prospech toho,
- Page 5 and 6: Scientific IssuesCatholic Universit
- Page 7 and 8: CONTENTSBillich Martin. Zobrazenia
- Page 9: PREFACEThe greatest challenge in wr
- Page 12 and 13: 10 Martin BillichV práci [3] Jung
- Page 14 and 15: 12 Martin Billich(a) Int S i ∩Int
- Page 16 and 17: 14 Jaroslava BrinckováKombinatoric
- Page 18 and 19: 16 Jaroslava Brincková4. Pre žiak
- Page 20 and 21: 18 Jaroslava Brinckovájúceho št
- Page 22 and 23: 20 Ján Gunčaga- vyučovanie matem
- Page 24 and 25: 22 Ján Gunčaga3. Teória Zoltána
- Page 26 and 27: 24 Ján Gunčaga5. SymbolizovanieV
- Page 28 and 29: 26 Ján GunčagaZ hľadiska vzťahu
- Page 30 and 31: 28 Ján Gunčaga7. učiť žiakov d
- Page 33 and 34: Catholic University in RužomberokS
- Page 35 and 36: Popis výskumu zameraného na vyuč
- Page 37 and 38: Popis výskumu zameraného na vyuč
- Page 39 and 40: Popis výskumu zameraného na vyuč
- Page 41 and 42: Popis výskumu zameraného na vyuč
- Page 43: Popis výskumu zameraného na vyuč
- Page 46 and 47: 44 Marika Kafkovábyly, jsou a ješ
- Page 48 and 49: 46 Marika Kafkovánikdy nedostane z
- Page 50 and 51: 48 Marika Kafkovánedala řešit ji
- Page 52 and 53: 50 Mária Kolkovápokusu. Veľa ča
- Page 54 and 55: 52 Mária KolkováObrázok 1 - Rie
- Page 58 and 59: 56 Mária Kolkováže riešenie Cez
- Page 61: Catholic University in RužomberokS
- Page 64 and 65: 62 Jan Kopka, Leonard Frobisher, Ge
- Page 66 and 67: 64 Jan Kopka, Leonard Frobisher, Ge
- Page 68 and 69: 66 Jan Kopka, Leonard Frobisher, Ge
- Page 70 and 71: 68 Jan Kopka, Leonard Frobisher, Ge
- Page 72 and 73: 70 Lilla Koreňováštyroch triedac
- Page 74 and 75: 72 Lilla KoreňováOdborníci odhad
- Page 76 and 77: 74 Lilla KoreňováÚloha 5. Aké r
- Page 78 and 79: 76 Lilla Koreňová1. Určite áno2
- Page 80 and 81: 78 Lilla Koreňová1. Určite áno2
- Page 83 and 84: Catholic University in RužomberokS
- Page 85 and 86: CommentsOn J-conic sections 83We to
- Page 87 and 88: On J-conic sections 85Figure 2. The
- Page 89 and 90: On J-conic sections 87Preparing a c
- Page 91 and 92: Catholic University in RužomberokS
- Page 93 and 94: Refleksje nad wykorzystywaniem wied
- Page 95 and 96: Refleksje nad wykorzystywaniem wied
- Page 97 and 98: Refleksje nad wykorzystywaniem wied
- Page 99 and 100: Refleksje nad wykorzystywaniem wied
- Page 101 and 102: Refleksje nad wykorzystywaniem wied
- Page 103 and 104: Catholic University in RužomberokS
- Page 105 and 106: Losowe gry hazardowe a proces decyz
Objavovanie štruktúry pravdepodobnostných úloh u žiakov 55Len jednoduchý pokusIntuitívneSkratkaPostupné losovanieCez konštrukciu chybnéhopravdepodobnostného priestoruCez konštrukciupravdepodobnostného priestoruInéZohľadňujúce neurčitosťZaložené na pozorovanízákladnej kockyZaložené na intuitívnych pomerochČiastočne systematickéa Úplne systematickéNezapadajúceTabuľka 2 – Porovnanie dvoch klasifikáciíZhoda medzi dvomi klasifikáciami je zaujímavá. Riešenia z kategórieSkratka sme prirovnali k riešeniam založeným na intuitívnych pomeroch.Myslíme si, že prirovnanie je primerané, pretože zdôvodnenie v týchto úloháchnaozaj chýbalo. Klasifikácia Watson & Kelly posudzuje odpovede žiakovz pohľadu ich porozumenia pravdepodobnostnému priestoru. Z tohtopohľadu sú riešenia Cez pravdepodobnostný priestor prirodzene na vyššejúrovni ako riešenia Skratka. Rozdiel medzi týmito dvomi typmi riešení jevšak aj v miere podloženia svojej odpovede matematickým zdôvodnením.Hoci riešitelia z kategórie Skratka mali správnu intuíciu, myslíme si, žeby svoju odpoveď mali problém matematicky obhájiť. Toto stavia riešenieCez pravdepodobnostný priestor pred riešenie Skratka.V súvislosti s hľadaním odpovede na položenú otázku prináša náš malývýskum jedno zaujímavé zistenie. Trinásti žiaci mali v zadaní úlohy ajpomocné otázky (v písomnej forme):1. Aké sú možné prípady otočenia jednej karty na stole A? Aké sú pravdepodobnostitýchto prípadov?2. Aké sú možné prípady otočenia dvoch kariet na stole B? Aké súpravdepodobnosti týchto prípadov?Zaujímavé sú riešenia troch žiakov, ktorí vďaka pomocným otázkamskutočne prvky pravdepodobnostného priestoru vypísali, ale tento výpis pririešení ďalej nepoužili. Na Obrázku 5 je znázornené jedno z nich.Riešenia mali pripravenú pôdu pre riešenie Cez pravdepodobnostný priestor,ale nakoniec využili riešenie Skratka alebo Len jednoduchý pokus. Tietoriešenia ukazujú, že ak žiak nepoužije pravdepodobnostný priestor, nemusíto byť v dôsledku toho, že by ho nevedel skonštruovať. Pravdepodobnezatiaľ ešte nerozumie jeho významu. Môže to svedčiť v prospech toho,
Change language