Katedra matematiky - Katolícka univerzita v Ružomberku

188 Štefan TkačikDefinícia 1. Funkciu f ≥ 0 definovanú na intervale I budeme nazývaťOresmeho integrovateľnou, ak existujú nezáporné reálne čísla c i a intervalyI i ⊆ I,i = 1,2,... také, že platí nasledujúca podmienka:f(x) =∞∑c i χ Ii (x) pre každé x ∈ I. (3)i=1Oresmeho integrál na intervale I je definovaný∫ ∞∑f dλ = c i λ(I i ).Ii=1(O)To však bude platiť len pre nezáporné ohraničené funkcie (obrázok 12).Drobnou úpravou v definícii môžeme zahrnúť niektoré neohraničené funkciea tiež, že interval I, ktorý je neohraničený.Obrázok 12 Obrázok 13A okrem toho nemusí byť ľahké, resp. možné, pokryť „plochu pod grafom“obdĺžnikmi bez toho, aby sme pokryli niekoľko bodov mimo tohto regiónu.Keď pokrývame plochu pod grafom funkcie, nemusíme to striktne len obdĺžnikmiz tohto regiónu. Ak sa tam vyskytne nejaký obdĺžnik, ktorý nepatrído danej rovinnej oblasti (na obrázku 13 sú vyšrafované), tak veľkosťjeho plochy odpočítame. V tomto prípade pre jednoznačnosť súčtu budemevyžadovať absolútnu konvergenciu súčtu obsahov plôch daných obdĺžnikov,teda ∑ ∞∑ i=1 |c i|λ(I i ) < ∞, ale tiež jednoznačnosť definovania funkcie f, teda∞i=1 |c i|χ Ii (x) < ∞. Takto dostaneme definíciu integrálu všeobecnejšiua absolútna konvergencia nám dovoľuje rozšíriť definíciu aj na zápornéfunkcie.Definícia 2. Funkciu f definovanú na intervale I budeme nazývať Kluvánkovskyintegrovateľnou, ak existujú reálne čísla c i a také intervaly I i ⊆I,i = 1,2,... , že platia nasledujúce podmienky:1* f(x) = ∑ ∞i=1 c iχ Ii (x) pre každé x ∈ I,