Katedra matematiky - Katolícka univerzita v Ružomberku

Historické poznámky o metódach integrovania 187Každý obdĺžnik na obrázku 11 vľavo mázákladňu dĺžky 12a výšku n, preto plochankaždého z obdĺžnikov, označme ako A n aobsah µ(A n ) = n 2. Každý obdĺžnik, označmeho B n (obrázok 11 vpravo), má zák-nladňu dĺžky12 n+1 + 12 n+2 + 1 1+··· =2n+3 2 n.Z tohto vyplýva12 + 2 2 2 + 3 2 3 +··· =1+ 1 2 + 2 2 2 + 3 2 3 +··· = 2Obrázok 11Archimedova metóda aj metóda Oresmeho je založená na vlastnostiplochy, ktorá sa nazýva σ-aditívnosť, t.j. ak rovinná oblasť S sa rovná zjednoteniurovinných oblastí A 1 ,A 2 ,A 3 ,... , pričom spoločná časť ľubovoľnýchdvoch z nich má plochu o veľkosti 0, tak veľkosť plochy S sa rovná súčtuveľkosti plôch A 1 ,A 2 ,A 3 ,... . Archimedove a Oresmeho výpočty ukazujú,že tieto vlastnosti môžeme využiť na určenie plôch rovinných oblastí a tiežna výpočet súčtu členov postupnosti. Ak interpretujeme integrál nezápornejfunkcie ako plochu pod týmto grafom, tak môžeme túto vlastnosť využiťna konštrukciu integrálov. Archimedov trik s trojuholníkmi nahradíme obdĺžnikmia preložíme tieto geometrické idey do jazyka matematickej analýzy.Nech dĺžka ohraničeného intervalu I je daná absolútnou hodnotou rozdielusúradníc jeho koncových bodov, označme ju λ(I). Charakteristickúfunkciu intervalu I, označme χ I , teda⎧⎨1 x ∈ Iχ I (x) =⎩0 x /∈ INech c je nezáporné číslo a I je ohraničený interval, potom „plocha podgrafom“ funkcie cχ I je obdĺžnik, ktorého základňou je strana dĺžky λ(I)a výška je strana dĺžky c. Veľkosť plochy tohto obdĺžnika je cλ(I). Nazáklade tohto môžeme definovať integrál.