Katedra matematiky - Katolícka univerzita v Ružomberku

186 Štefan TkačikPre každé číslo ε > 0 a každé K existuje prirodzené číslo n také, že 1 n K < ε.Tvrdenie: 4 3 A = sup{A+ 1 4 A+ 1 4 2 A+ 14 3 A+···+ 14 n A,n = 0,1,2,...}.Dôkaz. Archimedes dôkaz tohto tvrdenia urobil sporom (viď [5]). Akby číslo B (A+ 1 4 A+ 1 A+ 1 A+··· + 14 2 4 3 4A < B) bolo menšie ako 4 n 3 A apodmienka (2) by platila pre každé n = 0,1,2,... , tak vezmeme ε = 4 3 A−Ba K = 1 3A. Ak ε > 0, tak podľa Archimedovej vlastnosti musí existovaťprirodzené číslo n, pre ktoré platí 1 n K < ε. Pretože platí n < 4n , tak1 134 nA = 14 nK < 1 n K < ε = 4 3 A−B.Archimedes na základe konštrukcie štvorca (obrázok 10) tvrdilA+ 1 4 A+ 1 4 2A+···+ 1 1 14 nA+ 34 nA = 4 A,n = 1,2,3,...3Z toho však dostane spor43 A = A+ 1 4 A+ 1 4 2A+···+ 1 1 4 nA+ 314 nA < B + 1 134 nA < 4 3 A. ✷Týmto Archimedova metóda položila základ pre definovanie súčtu postupnostičísel bez použitia limít. Túto vlastnosť môžeme použiť pri definíciíintegrálu. Táto definícia oproti „štandardnej“ má výhodu, že nepoužívalimity, je jednoduchšia a všeobecnejšia.4. Spôsob zavedenia Lebegueovho integráluMetódy výpočtov plôch a objemom, ktoré zaviedol Archimedes sú oprávnenepovažované za východiskový bod vzniku a rozvoja integrálneho počtu. Tátodruhá Archimedova metóda ostala nevyužitá a nerozvinutá a len sporadickynašla občas využitie. Jedným z mála, ktorý túto metódu využil bol Nicoled’Oresme, ktorý podobnou metódou ukázal, že12 + 2 2 2 + 3 +··· = 2.23 Tento súčet bol v časoch Oresmeho známy, ale on využil geometrickú metódu,ktorá môže byť základom pre definíciu integrálu. Postup vychádzal z toho,že rozdelil tú istú rovinnú oblasť do obdĺžnikov dvoma spôsobmi (obrázok11).