Katedra matematiky - Katolícka univerzita v Ružomberku

184 Štefan Tkačikhranoly. Ostanú štyri malé ihlany podobné pôvodným, a z každého z nichodoberieme podobne hranoly ako v predchádzajúcom kroku. To isté zopakujemes ihlanmi, ktoré ostanú, atď. To robíme tak dlho pokiaľ neostanúihlany, ktorých objem je dohromady menší ako objem u. V tomto okamihusme z ihlanu ABCV odobrali hranoly, ktorých objem je dokopy väčší akoobjem ihlanu A ′ B ′ C ′ V ′ . Koľkokrát sme odoberali hranoly z ihlanu ABCV ,toľkokrát ich teraz odoberieme aj z ihlanu A ′ B ′ C ′ V ′ , v každom kroku smeodobrali hranoly s rovnakým objemom. To ale znamená, že v každom krokuodoberáme z ihlanu A ′ B ′ C ′ V ′ rovnaký objem, ako sme odobrali z ihlanuABCV . Nakoniec odoberieme z ihlanu A ′ B ′ C ′ V ′ hranoly, ktorých objem jespolu rovnaký ako objem všetkých hranolov odobraných z ihlanu ABCV ,teda väčší ako objem ihlanu A ′ B ′ C ′ V ′ . To však je spor, lebo z ihlanuA ′ B ′ C ′ V ′ nemôžu byť odobrané telesa s väčším objemom, ako je objemtohto ihlanu.✷Tento postup bol predchodcom metódy, ktorú môžeme označiť ako počiatokintegrálneho počtu, a to je Archimedova kvadratúra paraboly. Archimedespočítal veľkosť plochy pod parabolou dvoma metódami. Po viacerýchstoročiach ich zanedbávania sa matematici vrátili hlavne k tej prvej.Postupný rozvoj myšlienok obsiahnutých v tejto metóde viedol napokonk pojmu Riemannovho integrálu a prostredníctvom neho neskôr k modernémupojmu Lebesgueovho integrálu. Ale práve pri druhej využil exhaustačnúmetódu a práve táto metóda môže sprehľadniť výstavbu a výučbuLebesgueovho integrálu až natoľko, aby pri porovnaní s ním sa Riemannovintegrál javil ako ťažkopádny muzeálny exponát [3].3. Počiatky integrálneho počtu u ArchimedaArchimedes použitím exhaustačnej metódy vypočítal veľkosť plochy ohraničenejparabolou y = x 2 a x-ovou osou od 0 po 1 (vyšrafovaná plocha naobrázku 7).Obrázok 7 Obrázok 8 Obrázok 9