Katedra matematiky - Katolícka univerzita v Ružomberku

182 Štefan Tkačik2. Eudoxova exhaustačná metódaPoznatok o nesúmerateľnosti strany a uhlopriečky štvorca odsunul s konečnouplatnosťou veľkosť, ktorá zodpovedala chápaniu pythagorejcov. Bolo topreto, lebo tento poznatok znamenal, že mohutnosti (prirodzené čísla) niesú dostatočne bohaté na to, aby sa pomocou nich dali vyjadriť najrôznejšiepodoby javu veľkosti. V dôsledku toho sa museli matematici poobzeraťpo inej podobe javu veľkosti. Tomu, ktorému sa podarilo stanoviťhlavnú zásadu pre ďalší rozvoj výkladu javu veľkosti bol Eudoxos. Ako simáme počínať, predviedol Eudoxos v dvanástej knihe [2] na príklade obsahovrovinných plôch útvarov a objemov telies. To čo si začal uvedomovaťbolo vypracovanie vhodného modelu pre výklad plôch a telies. Uvedomilsi, že veľkosti úsečiek nebudeme hľadať medzi plošnými obsahmi, ani objemamipriamo, ale prostredníctvom obsahov štvorcov (plocha štvorca je jednoznačneurčená dĺžkou strany a naopak), poprípade objemov kociek. Dalisa použiť aj iné výklady napríklad miesto štvorcov vezmeme iný plošný útvar(trojuholník, kruh,...), podobne miesto kociek (guľa, ihlan,...). Na nasledujúcompríklade ilustrujeme ako Eudoxos rozšíril vzájomnú dosažiteľnosťplošných obsahov.Tvrdenie: Nech u,v sú plošné obsahy ľubovoľných rovinných plôch, resp.objemy ľubovoľných telies, pričom veličina v je menšia ako veličina u. Akbudeme veličinu v opakovane zväčšovať o v, tak po konečnom počte krokovbude veľkosť tejto veličiny väčšia ako u.Dôkaz. Nech A,B sú rovinné plochy také, že plošný obsah plochy A je u aplošný obsah plochy B je v. Nech C je štvorec, vnútri ktorého leží plochaA a D je štvorec, ktorý leží vnútri plochy B. Plošný obsah štvorca C jeteda väčší ako u a plošný obsah štvorca D je menší ako v. Nech k je čísloudávajúce počet predlžovania strany štvorca D stále o jeho dĺžku, ktorýje potrebný k prekročeniu dĺžky strany štvorca C. Po k 2 -krát zväčšeniuplošného obsahu štvorca D, obdržíme veličinu väčšiu, ako je plošný obsahštvorcaC, lebok 2 štvorcov zhodných so štvorcomD je možné pokryť štvorecC. Avšak k 2 -krát veličina v je väčšia ako k 2 -krát plošný obsah štvorca D,čo je väčšie ako plošný obsah štvorca C, a ten je opäť väčší ako veličina u.✷Práve tento postup položil základy exhaustačnej metódy, pomocou ktorejako nepriamo naznačujú zachované pramene, bola dokázaná prvá Demokritovahypotéza. Tento postup sa dá preformulovať na dnes známu Archimedovuvlastnosť reálnych čísel alebo Archimedov princíp:Ku každému kladnému reálnemu číslu u a každému číslu v existujetaké prirodzené číslo n, že v > nu. (1)