Katedra matematiky - Katolícka univerzita v Ružomberku

Historické poznámky o metódach integrovania 181veľkosť a sú v týchto ihlanoch rovnako husto rozložené. Postavme tietoihlany tak, aby ich podstavy ABC a A ′ B ′ C ′ ležali v tej istej rovine. Ak ichpretneme rovinou rovnobežnou s rovinou ich podstáv (obrázok 2), tak trojuholníky△EFG a △E ′ F ′ G ′ , v ktorých táto rovina pretína tieto ihlany, súzhodné, čo nie je ťažké dokázať (pozri [1]). To znamená, že aj vrstvy atómovprisluchajúce týmto rezom majú rovnaký počet atómov, a keďže tieto ihlanymajú rovnakú výšku, majú rovnaký počet vrstiev. V dôsledku toho sa obatieto ihlany skladajú z rovnakého počtu atómov, a pretože v oboch ihlanochsú atómy rozložené rovnako husto, majú tieto ihlany rovnaký objem.Tvrdenie: Objem trojbokého ihlanu je rovnaký ako objem trojbokého hranoluo tej istej podstave a tretinovej výške.Dôkaz. Ak príjmeme prvú Demokritovu hypotézu i pre ideálne geometrickéihlany, môžeme to ľahko dokázať. Majme daný trojboký ihlan ABCV avytvoríme trojboky hranol ABCVWZ taký, že úsečky AV , BW, CZ súrovnobežné a rovnako dlhé (obrázok 3). Tento hranol rozložíme na tri trojbokéihlany, a to ABCV , VWZB, VCBZ. Na základe prvej Demokritovejhypotézy dokážeme, že všetky tieto 3 ihlany majú rovnaký objem. IhlanyABCV a VWZB majú rovnaké objemy, lebo majú rovnako veľké podstavyABC a VWZ a rovnako veľké výšky nad týmito podstavami.Obrázok 3Teraz dokážeme, že ihlany VWZB a VCBZ majú rovnaký objem. PodstavyWZB a CBZ týchto ihlanov sú zhodné a aj výšky týchto ihlanov súrovnako veľké. Pretože tieto tri ihlany majú rovnaký objem a spolu ich objemsa rovná objemu hranolu ABCVWZ, je objem každého z nich, a tedaaj ihlanu ABCV , rovný jednej tretine objemu tohto hranola, teda objemuhranola o podstave ABC a tretinovej výške.✷