Katedra matematiky - Katolícka univerzita v Ružomberku

Zobrazenia zachovávajúce geometrické útvary 11Ďalej, nech Int f(S 1 )∩Int f(S 2 ) ≠ ∅. Potom Int f(S 1 )∩f(S 2 ) ≠ ∅, čoznamená, že existuje b ∈ S 2 , pre ktorý f(b) ∈ Int f(S 1 ). Preto b ∈ Int S 1a zároveň Int S 1 ∩S 2 ≠ ∅, z čoho vyplýva, že Int S 1 ∩Int S 2 ≠ ∅✷Teraz už môžeme dokázať, že ak injektívne zobrazenie zachováva štvorce,tak je izometriou. Presnejšie, dostávame nasledujúcu vetu.Veta 1. Ak injektívne zobrazenie f : R 2 → R 2 zobrazuje každý štvorec sjednotkovou dĺžkou strany na štvorec s dĺžkou strany 1, tak f je izometria.Dôkaz. Ukážeme, že zobrazenia f zachováva vzdialenosť √ 2. Nech boda je vrchol štvorca S = S 1 . Potom môžeme zostrojiť ďalšie tri štvorce S i(i = 2,3,4) komplanárne so štvorcom S 1 tak, že a je spoločným vrcholomštvorcov S i (i = 1,2,3,4), pričom Int S i ∩Int S j = ∅ pre i ≠ j (obr. 1).Obr. 1Potom f(a) je bodom štvorca f(S i ) pre (i = 1,2,3,4) a podľa predchádzajúcejlemy jeIntf(S i )∩Intf(S j ) = ∅ pre i ≠ j. Je zrejmé, že veľkosť uhla svrcholom v bode f(a) vzhľadom na štvorec f(S i ) sa pre každé i ∈ {1,...,4}rovná aspoň 1 2 π, t. j. ϕ(f(a),f(S i)) ≥ 1 2π. Pretože najväčší rovinný uhol svrcholom v bode f(a) má veľkosť 2π (plný uhol), platí ϕ(f(a),f(S i )) = 1 2 π,a teda f(a) je vrcholom štvorca f(S i ) pre každé i ∈ {1,...,4}. Týmto smedokázali, že ľubovoľný vrchol štvorca S sa v zobrazení f zobrazí na vrcholštvorca f(S).Uvažujme nesusedné vrcholy a,c štvorca S 1 , ktorých vzájomná vzdialenosťsa rovná √ 2. Pomocou vyššie opísanej konštrukcie zostrojíme štvorceS 2 , S 3 , S 4 , ktoré spĺňajú nasledujúce podmienky (obr. 2).Obr. 2