Katedra matematiky - Katolícka univerzita v Ružomberku

10 Martin BillichV práci [3] Jung dokázal, že ak injektívne zobrazenie f : R n → R n (n ≥ 2)zobrazuje rovnostranný trojuholník so stranou dĺžky a na rovnostranný trojuholníkso stranou dĺžky b, existuje lineárna izometria I : R n → R n (odhliadnucod posúvania), pre ktorú platí: f(x) = (b/a)I(x). Okrem tohotento autor dokázal, že rovnostranné trojuholníky možno v predchádzajúcomtvrdení nahradiť štvorcami alebo pravidelnými 5-, resp. 6-uholníkmi(pozri tiež [3], [4]).O niečo neskôr Jung a Kim [5] dokázali, že ak injektívne zobrazenief : R n → R n (n ≥ 2) zachováva jednotkové kružnice (t.j. kružnicu sjednotkovým polomerom zobrazuje na kružnicu s jednotkovým polomerom),tak f je izometria.V súlade z uvedeným tvrdením Junga sa budeme ďalej zaoberať zobrazením,ktoré zachováva štvorce v rovine R 2 .Pod štvorcom S budeme rozumieť uzavretú lomenú čiaru so štyrmistranami (v rovine), ktorej každá strana má dĺžku 1. Časť roviny, ktorúohraničuje táto lomená čiara (štyri strany štvorca), je dvojrozmerná otvorenámnožina, ktorú nazývame vnútro daného štvorca, a označíme Int S.Uvažujme ľubovoľný bod a, ktorý leží na jednej zo strán daného štvorcaS. Nech tento bod je vrcholom uhla, ktorý obsahuje všetky body štvorcaS. Ak bod a je súčasne aj vrcholom daného štvorca, veľkosť tohto uhla sarovná 1 2π. Ak a nie je jeho vrchol, ale leží na jednej z jeho strán, veľkosťuhla s vrcholom v bode a sa rovná π. Nech teraz a ∈ Int S. Potom veľkosťuhla s vrcholom v bode a, v ktorom ležia všetky body štvorca S, sa rovná2π. Označme veľkosť tohto uhla ϕ(a,S). Potom pre každé a ∈ S platí:(1) ϕ(a,S) = 1 π ⇒ a je vrchol štvorca S;2(2) ϕ(a,S) = π ⇒ a je bodom strany štvorca S, rôzny od vrcholu;(3) ϕ(a,S) = 2π ⇒ a /∈ S ∧ a /∈ Int S je vrchol štvorca S.Teraz dokážeme nasledujúcu lemu.Lema 1. Nech injektívne zobrazenie f : R 2 → R 2 zobrazuje každý štvorecna štvorec. Potom pre ľubovoľné dva štvorce S 1 , S 2 roviny R 2 platíInt S 1 ∩Int S 2 = ∅ ⇒ Int f(S 1 )∩Int f(S 2 ) = ∅Dôkaz. Najskôr dokážeme, že ak a /∈ Int S 1 , tak f(a) /∈ Int f(S 1 ). Inýmislovami ukážeme, že z f(a) ∈ Int f(S 1 ) vyplýva a ∈ Int S 1 . Predpokladajme,že a ∈ S 1 . Potom f(a) ∈ f(S 1 ), a teda f(a) /∈ Int f(S 1 ). Nech teraza /∈ Int S 1 a zároveň a /∈ S 1 . Potom si zvoľme taký štvorec S 2 , že a ∈ S 2 aS 1 ∩S 2 = ∅. Teda f(S 1 )∩f(S 2 ) = ∅, a preto f(a) /∈ Int f(S 1 ).