Katedra matematiky - Katolícka univerzita v Ružomberku

Losowe gry hazardowe a proces decyzyjny 109Zauważmy, że E(W 3 ) = E(W 4 ) oraz D 2 (W 3 ) = D 2 (W 4 ) (ostatniarówność jest prawdziwa, ponieważ W 4 = −W 3 +8.08). Nasuwa się tu pytanie:Czy gry gh 3 i g4 hsą jednakowo dobre dla gracza stosującego strategię„maksimum zysku przy minimum ryzyka”?W celu odpowiedzi na postawione pytanie przeanalizujmy wykresy z rysunku2. Dla rozkładu zmiennej losowejW 3 „większość” prawdopodobieństwa(przeszło 70%) skupiona jest „poniżej” wartości oczekiwanej. Dla rozkładuzmiennej losowej W 4 jest na odwrót. Obserwacja ta skłania do uznania grygh 4 lepszą od g3 h .Możemy taki wybór uzasadnić następująco. Określmy tak zwaną semiwariancjęzmiennej losowej X modyfikując definicję wariancji zmiennej losowejX następującoSV 2 (X) = ∑p X (x j )d 2 j ,x j ∈Ω Xgdzie d j ={ 0 dla xj ≥ E(X),x j −E(X) dla x j < E(X)Zdefiniujmy jeszcze semiodchylenie standardowe następującoSV(X) := √ SV 2 (X).Jeśli założymy, że ryzyko gracza powinno być określane na podstawieniepożądanych, tj. ujemnych odchyleń od oczekiwanej wygranej, to za miaręryzyka można przyjąć semiwariancję lub też semiodchylenie standardowe.Powróćmy do problemu wyboru lepszej z gier gh 3 i g4 hw sytuacji, gdygracz stosuje zasadę „maksimum zysku przy minimum ryzyka” i obliczmysemiwariancję oraz semiodchylenie standardowe zmiennych losowych W 1oraz W 2 .MamySV 2 (W 3 ) = 1.47, SV 2 (W 4 ) ≈ 0.32, SV(W 3 ) ≈ 1.21, SV(W 4 ) ≈ 0.56.Jest SV 2 (W 4 ) < SV 2 (W 3 ), a więc grą o mniejszym ryzyku jest gra g 4 h .Rozważmy teraz sytuację, w której bankier oferuje dwie gry g 5 h i g6 h ,takie że średnie zyski gracza (netto) w tych grach są dodatnie oraz różnetj. E(Z 5 g) > 0, E(Z 6 g) > 0 oraz E(Z 5 g) ≠ E(Z 6 g). Tego typu gry niemogą być samofinansujące, gdyż w krótkim czasie doprowadzą bankiera dobankructwa, niemniej jeśli bankier posiadałby sponsora 14 , to taka gra możefunkcjonować. Tego typu gry nazwijmy sponsorowanymi hazardowymi gramilosowymi.14 Możliwość udziału w takiej grze może być np. premią za częstą grę w inne gryhazardowe.