Katedra matematiky - Katolícka univerzita v Ružomberku

Losowe gry hazardowe a proces decyzyjny 105a więc, gdyz = 1·25+2·15+3·8+4·4+5·8+6·15+7·25100= 1·25100 +2· 15100 +3· 8100 +4· 4100 +5· 8100 +6· 15100 +7· 25100= 1p W1 (1)+2p W1 (2)+3p W1 (3)+4p W1 (4)+5p W1 (5)+6p W1 (6)+7p W1 (7)= E(W 1 ).Na podstawie przeprowadzonego rozumowania można przyjąć następująceokreślenie hazardowej gry losowej sprawiedliwej (por. [2], s. 231).Hazardową grę losową, w której wygrana jest zmienną losową Wo skończonym zbiorze wartości i za udział w której należy wnieśćopłatęz nazywamy sprawiedliwą jeśli ta opłata jest równa wartościoczekiwanej wygranej, tzn. jeśli z = E(W).2.3. Wariancja zmiennej losowej jako narzędzie wyłanianiaoptymalnej decyzjiOkreślmy teraz dwie zmienne losowe Z g := W − z oraz Z b := z − W.Zmienna Z g jest zyskiem (netto) gracza, zaś zmienna Z b jest zyskiem (netto)bankiera. Hazardowa gra losowa będzie zatem sprawiedliwa, gdy E(Z g ) =E(Z b ) = 0. W przypadku hazardowej gry losowej na ogół jest E(Z g ) < 0,a więc E(Z b ) > 0 – salony gier muszą przecież prosperować.Jest oczywistym, że jeśli gracz ma do wyboru jedną z dwu (lub więcej)gier to dla niego grą lepszą (najlepszą) jest ta, dla której jest większawartość oczekiwana zysku (netto) gracza. W przypadku bankiera sytuacjajest dokładnie odwrotna.Załóżmy teraz, że za udział w grze gh 1 należy zapłacić 5 zł. Wyznaczymywartości oczekiwane zmiennych losowych Zg 1 := W 1 − 5 (będącej zyskiemgracza) oraz Zb 1 := 5−W 1 (będącej zyskiem bankiera).MamyE(Z 1 g) = E(W 1 −5) = E(W 1 )−E(5) = 4−5 = −1.Ponieważ Z 1 b = −Z1 g, więc E(Z 1 b ) = 1.Rozważmy teraz kolejną grę hazardową g 2 h, w której rekwizytem jesturna U 2 , również o 100 kulach oznaczonych cyframi od 1 do 7, ale o innymskładzie niż urna U 1 . Skład urny U 2 określa poniższa tabela.