Katedra matematiky - Katolícka univerzita v Ružomberku

104 Maciej MajorPrzykładami hazardowych gier losowych są gry oferowane przez TotalizatorSportowy (Lotto, Multi Multi, Mini Lotto). W wielu sytuacjach(np. w Multi Multi) wejście do gry jest związane z pewnym procesem decyzyjnym.Zauważmy, że w hazardowych grach losowych może uczestniczyćdowolna liczba osób.2.2. Sprawiedliwa hazardowa gra losowaRozważmy następującą grę hazardową gh 1 , w której rekwizytem jest urnaU 1 o 100 kulach. Na każdej kuli znajduje się liczba naturalna z przedziału[1,7]. Skład urny U 1 określa tabela.numer na kuli 1 2 3 4 5 6 7liczba kul 25 15 8 4 8 15 25Po wpłaceniu kwoty z złotych za udział w grze, gracz uzyskuje prawo dowylosowania kuli z urny U 1 a jego wygraną (w złotówkach) określa liczbana wylosowanej przez niego kuli.Rodzą się tu pytania: Przy jakiej opłacie z taką grę uznamy za gręsprawiedliwą? Jak rozumieć należy tę sprawiedliwość?W celu odpowiedzi na postawione pytania zaprezentujemy pewne rozumowanie(por. [2], s. 228-231).Po uiszczeniu przez gracza opłaty ale przed losowaniem kuli, wygranagracza jest zmienną losową W 1 , której rozkład p W1 określa poniższa tabela.p W (j):j ∈ Ω W1 1 2 3 4 5 6 725 15 8 4 8 15p W1 (j)100 100 100 100 100 10025100Załóżmy, że gracz zamierza zagrać w grę gh 1 bardzo wiele razy; przyjmijmy,że będzie to 100 powtórzeń gry i przeanalizujmy spodziewane zyski istraty gracza w tych stu grach.Za udział w 100 grach gracz musi zapłacić 100 · z zł. – to jego strata.Spodziewane zyski gracza prezentuje poniższa tabela.j (wygrana gracza [zł]) 1 2 3 4 5 6 7l j (oczekiwana liczba gier z wygraną j) 25 15 8 4 8 15 25j ·l j 25 30 24 16 40 90 175Uzyskana kwota 1 · 25 + 2 · 15 + 3 · 8 + 4 · 4 + 5 · 8+6·15 + 7 · 25 =25+30+24+16+40+90+175 = 400 zł jest oczekiwaną wygraną graczaa zarazem oczekiwaną stratą bankiera. Grę gh 1 nazwiemy sprawiedliwą, gdy100·z = 1·25+2·15+3·8+4·4+5·8+6·15+7·25,