Katedra matematiky - Katolícka univerzita v Ružomberku

Losowe gry hazardowe a proces decyzyjny 103Twierdzenie 1. Jeżeli zmienna losowa X posiada wartość oczekiwaną,a i b zaś są ustalonymi liczbami rzeczywistymi (a ≠ 0), to E(aX + b) =aE(X)+b.Twierdzenie 2. Jeżeli zmienne losowe X i Y określone są w tej samejprzestrzeni probabilistycznej i każda posiada wartość oczekiwaną, to posiadają również ich suma i E(X +Y) = E(X)+E(Y).Definicja 7. Jeżeli zmienna losowa X w przestrzeni probabilistycznej (Ω,p)posiada wartość oczekiwaną E(X), to wariancją zmiennej losowej X nazywamyliczbęD 2 (X) = E[X −E(X)] 2 .Twierdzenie 3. Jeżeli X jest zmienną losową ziarnistą posiadającą wariancję,to wariancja tej zmiennej wyraża się wzoremD 2 (X) = ∑x j ∈Ω X[x j −E(X)] 2 p X (x j ).Definicja 8. Pierwiastek kwadratowy z wariancji D 2 (X) nazywamy odchyleniemstandardowym zmiennej losowej X i oznaczamy σ X .Twierdzenie 3. Jeżeli zmienna losowa X posiada wartość oczekiwaną iwariancję, toD 2 (X) = E(X 2 )−[E(X)] 2 .2. Hazardowa gra losowa jako problem decyzyjny2.1. Pojęcie hazardowej gry losowejWiele zagadnień probabilistycznych związanych jest z analizą gier losowych,w których wygrywa się pieniądze, a za udział w których należy zapłacić.W takiej sytuacji zarówno wygrana gracza jak i zysk bankiera są zmiennymilosowymi określonymi na zbiorze możliwych wyników doświadczenialosowego przeprowadzanego w grze. Tego typu gry będziemy nazywać hazardowymigrami losowymi. Uścilijmy to pojęcie.Niech δ będzie doświadczeniem losowym o dającym się określića priori modelu probabilistycznym. Załóżmy, że jest nim przestrzeńprobabilistyczna (Ω δ ,p δ ). W tej przestrzeni określona jest zmiennalosowaW o wartościach nieujemnych i wymiernych (złotówek, dolarówitp.) (...) Za udział w grze gracz wpłaca kwotę z złotych. Następnieprzeprowadza się doświadczenie losowe δ i jeśli zakończy się onowynikiem ω, gdzie ω ∈ Ω δ to graczowi wypłaca się kwotę W(ω) zł.Opisaną grę nazywamy hazardową grą losową. Zmienną losową W,tj. kwotę uzyskaną za wynik doświadczenia δ (które dopiero nastąpi),nazywamy wygraną gracza.zob. [2], s. 228.