Katedra matematiky - Katolícka univerzita v Ružomberku

102 Maciej MajorDefinicja 1. Niech Ω będzie dowolnym zbiorem co najmniej dwuelementowymi co najwyżej przeliczalnym. Każdą funkcję p ze zbioru Ω w zbiórR, nieujemną i taką, że ∑p(ω) = 1ω∈Ωnazywamy rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze Ω. Parę (Ω,p) nazywamyziarnistą albo dyskretną przestrzenią probabilistyczną.Definicja 2. Przestrzeń probabilistyczną (Ω,p) nazywamy modelem probabilistycznymdoświadczenia losowego δ, jeśli Ω jest zbiorem wszystkichmożliwych wyników doświadczenia δ, a funkcja p przypisuje każdemu wynikowiprawdopodobieństwo z jakim doświadczenie δ może się tym wynikiemzakończyć.Definicja 3. Niech (Ω,p) będzie ziarnistą przestrzenią probabilistyczną, Zzaś rodziną wszystkich zdarzeń w tej przestrzeni. Prawdopodobieństwemnazywamy funkcję P : Z → R, gdzie⎧0, gdy A = ∅,⎪⎨p(ω), gdy A = {ω},P(A) = ∑⎪⎩ p(ω), gdy A ≥ 2.ω∈ALiczbę P(A) nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A.Definicja 4. Niech (Ω,p) będzie ziarnistą przestrzenią probabilistyczną.Każdą funkcję X Ω → R nazywamy zmienną losową w tej przestrzeni.Definicja 5. Jeżeli X jest zmienną losową w przestrzeni probabilistycznej(Ω,p), Ω X jest zbiorem jej wartości, a p X jest funkcją określoną wzoremp X (x j ) = P(X = x j ) dla x j ∈ Ω X ,to parę (Ω X ,p X ) nazywamy przestrzenią probabilistyczną generowaną naprostej przez zmienną losową X, a funkcję p X – rozkładem zmiennej losowejX.Definicja 6. Niech X będzie zmienną losową w przestrzeni probabilistycznej(Ω,p), Ω X – zbiorem jej wartości, p X zaś jej rozkładem. Wartościąoczekiwaną zmiennej losowej X nazywamy liczbę E(X), gdzie1 ◦ E(X) = c, gdy Ω X = c,2 ◦ E(X) = x 1·p X (x 1 )+x 2·p X (x 2 )+···+x t·p X (x t ), gdyΩ X = {x 1 ,x 2 ,...,x t },∞∑3 ◦ E(X) = x j·p X (x j ), gdy Ω X = {x 1 ,x 2 ,x 3 ...}, pod warunkiem, że tenj=1szereg jest zbieżny i to bezwzględnie.