Kvantna mehanika II - drugi parcijalni ispit - PMF

Sadrºaj1 Formalni okvir kvantne mehanike 11.1 Matemati£ke osnove kvantne mehanike Hilbertov prostor . . 11.2 Operatori u Hilbertovom prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Vlastite vrijednosti i vlastiti vektori . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Operatori sa kontinuiranim i sa diskretno-kontinuiranim (mije²anim)spektrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Operatorske funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6 Unitarne transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7 Direktni proizvod prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.8 Aksiomi kvantne mehanike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.9 Slobodne £estice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.10 Saºetak teorije perturbacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Teorija atoma i molekula 232.1 Metodi prora£una atomskih sistema . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Atom helijuma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3 Varijacioni metod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4 Metod samosaglasnog polja (Hartree-Fockov metod) . . . . . . 232.5 Thomas-Fermijev metod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6 Zeemanov efekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.7 Teorija molekula u adijabatskoj aproksimaciji . . . . . . . . . 232.8 Molekula vodonika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Teorija rasijanja 253.1 Presjek rasijanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Amplituda rasijanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3 Bornova aproksimacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4 Metod parcijalnih talasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.5 Neelasti£no rasijanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.6 Zadaci sa pismenih ispita iz kvantne mehanike . . . . . . . . . 25

4 Konceptualni i lozofski problemi kvantne mehanike 274.1 Determinizam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.2 Lokalnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3 Teorija skrivenih varijabli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.4 Bellov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.5 Teorija mjerenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.6 Schrödingerova ma£ka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.7 Subjektivne teorije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.8 Klasi£na mjerenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.9 Copenhagenska interpretacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.10 Ireverzibilni zapis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.11 Podijeljeni univerzum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.12 Problem realnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

viSADRšAJ

Poglavlje 1Formalni okvir kvantne mehanikeU ovom poglavlju ¢emo rezimirati matemati£ke principe kvantne mehanike,koriste¢i apstraktniju matemati£ku formulaciju. Mnoge od relacija koje ¢emosada razmotriti ve¢ smo ranije spominjali i prili£no detaljno analizirali, ali unekom vi²e zikalnom smislu. Neke od zakona i obja²njenja ¢emo dopunitii jo² jednom dokazati.1.1 Matemati£ke osnove kvantne mehanike Hilbertov prostorPod Hilbertovim prostorom H podrazumijevamo apstraktan skup elemenata,vektora |a〉, |b〉, |c〉 itd., koji imaju slijede¢e osobine:1. Prostor H je linearni vektorski prostor nad tijelom kompleksnih brojevaµ i ν. Ima £etiri karakteristike:a) sa svakim parom vektora |a〉 i |b〉 povezan je novi vektor |c〉 koji senaziva suma vektora. Pri tome je:|a〉 + |b〉 = |b〉 + |a〉 (zakon komutacije),(|a〉 + |b〉) + |c〉 = |a〉 + (|b〉 + |c〉) (zakon asocijacije); (1.1)b) postoji nul(ti) vektor |0〉, sa osobinom:|a〉 + |0〉 = |a〉; (1.2)c) za svaki vektor |a〉 prostora H postoji antivektor |-a〉 koji zadovoljavarelaciju:|a〉 + |-a〉 = |0〉; (1.3)

1.1 Matemati£ke osnove kvantne mehanike Hilbertov prostor 3Niz sa ovom osobinom se naziva kompaktnim, a za vektor |a n 〉 iz prostora Hmoºemo re¢i da je separabilan [moºe se separirati (rastaviti, razdvojiti)].4. Hilbertov prostor je kompletan. Ovo zna£i da svaki vektor |a〉 iz H moºebiti sa proizvoljnom ta£no²¢u aproksimiran sa nizom |a n 〉:lim ‖|a〉 − |a n〉‖ = 0. (1.10)n→∞Tada niz |a n 〉 ima jedinstvenu grani£nu vrijednost |a〉.Za Hilbertove prostore s kona£no mnogo dimenzija, aksiomi 3 i 4 slijede izaksioma 1 i 2; tada su 3 i 4 suvi²ni. Mežutim, oni su neophodni za prostore sbeskona£no mnogo dimenzija koji se pojavljuju u ve¢ini slu£ajeva u kvantnojmehanici.U narednim redovima jo² jednom ¢emo diskutovati neke denicije kojese £esto koriste.1. Ortogonalnost vektora:Dva vektora |f〉 i |g〉 su ortogonalni ako je〈f |g〉 = 0. (1.11)2. Ortonormirani sistem:Skup vektora {|f n 〉} je ortonormiran sistem ako je〈f n |f m 〉 = δ nm . (1.12)3. Kompletan ortonormiran sistem:Ortonormiran sistem {|f n 〉} je kompletan u H ako se proizvoljni vektor |f〉iz H moºe izraziti saα n |f n 〉 . (1.13)|f〉 = ∑ nOp¢enito, α n su kompleksni brojevi i vrijedi:〈f m |f〉 =〈pa moºemo pisati∣ 〉 ∣∣∣∣ ∑f m α n f n = ∑ nn|f〉 = ∑ nα n 〈f m |f n 〉 = ∑ nα n δ mn = α m , (1.14)|f n 〉 〈f n |f〉. (1.15)Kompleksni brojevi α n se zovu f n − reprezentacija od |f〉. Ti brojevi predstavljajuvektor |f〉. Oni su komponente od |f〉 u odnosu na bazu {|f n 〉}.Ako suma u posljednjoj jedna£ini obuhvata beskona£an broj £lanova, tadagovorimo o Hilbertovom prostoru sa beskona£no mnogo dimenzija. Upravoovo je i naj£e²¢e slu£aj u kvantnoj mehanici.

4 Formalni okvir kvantne mehanike1.2 Operatori u Hilbertovom prostoruLinearni operator  preslikava prostor H na samog sebe ili na potprostor odH, pri £emu vrijedi:Operator  je ograni£en ako je (α |f〉 + β |g〉) = α |f〉 + β |g〉 . (1.16)∥∥ |f〉 ∥ ∥∥ ≤ C ‖|f〉‖ (1.17)za sve |f〉 iz H, pri £emu je C ista konstanta za sve |f〉. Ograni£eni linearnioperatori su kontinuirani. To zna£i da za|f n 〉 → |f〉 vrijedi |f n 〉 →  |f〉 . (1.18)Operatori  i ˆB su jednaki  = ˆB ako za sve vektore |f〉 iz H vrijedi: |f〉 = ˆB |f〉 . (1.19)ƒe²to se koriste slijede¢e denicije:a) jedini£ni operator ˆ1 : ˆ1 |f〉 = |f〉 ;b) nul(ti) operator ˆ0 : ˆ0 |f〉 = |0〉 ;c) operator zbira  + ˆB :d) operator proizvoda  ˆB :( + ˆB)|f〉 =  |f〉 + ˆB |f〉 ;( ˆB)|f〉 = Â(ˆB |f〉). (1.20)Gore navedene relacije moraju vrijediti za sve |f〉 iz H. Kada je u pitanjuoperator proizvoda, moramo jo² dodati da je, op¢enito, ˆB ≠ ˆBÂ.Komutator  i ˆB se deni²e pomo¢u relacije:[Â, ˆB]−=  ˆB −ˆBÂ. (1.21)Sada ¢emo objasniti veoma vaºan koncept adjungiranog ograni£enog operatora.Ako postoji operator takav da za operator †  i za sve |f〉 i |g〉 iz Hvrijedi:(|g〉 ,  |f〉 )(† )= |g〉 , |f〉 , (1.22)

1.3 Vlastite vrijednosti i vlastiti vektori 5tada se operator naziva adjungiranim operatorom operatora Â. Ova serelacija moºe napisati † i na slijede¢i na£in:〈g|  |f〉 = 〈f| † |g〉 ∗ . (1.23)Lako se moºe pokazati da adjungirani operatori operatora posjeduje slijede¢eosobine:1)( †αÂ)= α ∗  † ;2)3)4)) † ( + ˆB =  † + ˆB † ;) † ( ˆB = ˆB†  † ;) † († = Â. (1.24)Operator  koji zadovoljava relaciju = † (1.25)se naziva hermitskim operatorom. Iz ovoga slijedi da su o£ekivane vrijednostihermitskog operatora realne:〈f|  |f〉 = 〈f| † |f〉 ∗ = 〈f|  |f〉∗ = realno. (1.26)1.3 Vlastite vrijednosti i vlastiti vektoriGovorimo o vlastitom vektoru |a〉 operatora  koji pripada (odgovara) vlastitojvrijednosti a u slu£aju kada vrijedi relacijaÂ|a〉 = a|a〉. (1.27)Vlastita vrijednost a je, op¢enito, kompleksan broj. Specijalno, za hermitskeoperatore  († = Â), vrijedi slijede¢e:a) Vlastite vrijednosti hermitskih operatora su realne.b) Ako su |a ′ 〉 i |a ′′ 〉 dva vlastita vektora hermitskog operatora  sa dvijerazli£ite vlastite vrijednosti a ′ ≠ a ′′ , onda je 〈a ′ |a ′′ 〉 = 0.c) Normirani vlastiti vektori ograni£enog hermitskog operatora  £ine prebrojiv,kompletan ortonormiran sistem. U ovom slu£aju vlastite vrijednostisu diskretne. Tada govorimo o diskretnom spektru.

6 Formalni okvir kvantne mehanikeProizvoljni vektor |ψ〉 se moºe razviti po vlastitim vektorima |a〉 kompletnogortonormiranog sistema koji odgovara hermitskom ograni£enom operatoruÂ:|ψ〉 = ∑ aKao ²to je gore nazna£eno, imamo:|a〉〈a|ψ〉. (1.28)〈a ′ |a ′′ 〉 = δ a ′ a ′′. (1.29)Skalarni proizvod dva vektora |ϕ〉 i |ψ〉 moºe se takožer izraziti u A reprezentaciji:〈ϕ|ψ〉 = ∑ a〈ϕ|a〉〈a|ψ〉. (1.30)Pri tome smo koristili trik da jedini£ni operator ˆ1 izrazimo koriste¢i relacijukompletnosti:ˆ1 = ∑ a|a〉〈a|, (1.31)i dobili|ψ〉 = ˆ1|ψ〉 = ∑ a|a〉〈a|ψ〉, (1.32)i dalje,〈ϕ|ψ〉 = 〈ϕ|ˆ1|ψ〉 = ∑ a〈ϕ|a〉〈a|ψ〉. (1.33)Za |ψ〉 = |ϕ〉 je∑a|〈a|ψ〉| 2 = 1 (1.34)i kaºemo da je 〈a|ψ〉 kvadrati£no-sumabilna. O£igledno je da je apstraktniHilbertov prostor preslikan na prostor kvadrati£no-sumabilnih funkcija(vlastiti funkcija operatora Â). Ovo nazivamo A reprezentacija od ψ i podtim podrazumijevamo beskona£an skup brojeva 〈a|ψ〉 u relaciji (1.32). Primjenjuju¢ioperator ˆB na |ψ〉, dobijamo〈a ′ | ˆB|ψ〉 = ∑ a ′′ 〈a ′ | ˆB|a ′′ 〉〈a ′′ |ψ〉. (1.35)

1.3 Vlastite vrijednosti i vlastiti vektori 7Zbog toga se operator ˆB moºe napisati u A reprezentaciji kao matrica⎛ˆB → 〈a ′ | ˆB|a ′′ 〉 =⎜⎝a vektor |ψ〉 u A reprezentaciji kao〈a 1 | ˆB|a 1 〉 〈a 1 | ˆB|a 2 〉 . . .〈a 2 | ˆB|a 1 〉 〈a 2 | ˆB|a 2 〉 ...⎛|ψ〉 → 〈a ′ |ψ〉 =⎜⎝〈a 1 |ψ〉〈a 2 |ψ〉.〈a n |ψ〉...⎞⎟⎠..⎞⎟⎠ , (1.36). (1.37)Prema tome, operator ˆB u A reprezentaciji je kvadrati£na matrica, a vektor|ψ〉 je matrica kolona (stubac). Sam operator  u svojoj vlastitoj reprezentacijije dat kao〈a ′ |Â|a′′ 〉 = a ′ δ a ′ a ′′, (1.38)tj. predstavljen je dijagonalnom kvadrati£nom matricom. Nekad je pogodnopisati (proizvoljan) operator ˆB u slijede¢oj formi:ˆB = 1 ˆB1 = ∑ a ′ ,a ′′ |a ′ 〉〈a ′ | ˆB|a ′′ 〉〈a ′′ |. (1.39)Analogija reprezentacije vektora u Hilbertovom prostoru sa komponentamavektora u vektorskom prostoru je o£igledna. Izbor reprezentacije odgovaraizboru koordinatnog sistema u Hilbertovom prostoru.Pri transformaciji A reprezentacije u B reprezentaciju tzv. matricatransformacije〈a|b〉 (1.40)igra vaºnu ulogu. Po analogiji sa (1.38) slijedi da jeKoriste¢i slijede¢e izraze za jedini£ni operator〈b ′ | ˆB|b ′′ 〉 = b ′ δ b ′ b ′′. (1.41)ˆ1 = ∑ a ′ |a ′ 〉〈a ′ | = ∑ b ′ |b ′ 〉〈b ′ |, (1.42)

8 Formalni okvir kvantne mehanikedobijamo〈b ′ |ψ〉 = 〈b ′ |ˆ1|ψ〉 = ∑ a ′ 〈b ′ |a ′ 〉〈a ′ |ψ〉,〈a ′ |ψ〉 = 〈a ′ |ˆ1|ψ〉 = ∑ b ′ 〈a ′ |b ′ 〉〈b ′ |ψ〉,〈b ′ |Ĉ|b′′ 〉 = 〈b ′ |ˆ1Ĉˆ1|b ′′ 〉 = ∑ a ′ ,a ′′ 〈b ′ |a ′ 〉〈a ′ |Ĉ|a′′ 〉〈a ′′ |b ′′ 〉,〈a ′ | ˆBĈ|a′′ 〉 = 〈a ′ | ˆBˆ1Ĉ|a′′ 〉 = ∑ a ′′′ 〈a ′ | ˆB|a ′′′ 〉〈a ′′′ |Ĉ|a′′ 〉. (1.43)Zadnja relacija zna£i da za matri£ni element proizvoda dva operatora ˆBĈvrijedi uobi£ajeno pravilo za mnoºenje matrica.1.4 Operatori sa kontinuiranim i sa diskretnokontinuiranim(mije²anim) spektromMnogi operatori koji se pojavljuju u kvantnoj mehanici nemaju diskretan,nego kontinuirani ili mije²ani (diskretno-kontinuirani) spektar. Primjer operatorasa mije²anim spektrom je dobro poznati hamiltonijan atoma vodonika.Zapravo, svi hamiltonijani za atome i jezgra imaju diskretna i kontinuiranapodru£ja spektra, tako da imaju mije²ani spektar. Obi£no se diskretnevlastite vrijednosti pripisuju vezanim stanjima, a kontinuirane vlastite vrijednostise pripisuju slobodnim (nevezanim) stanjima. Za kontinuirani spektarvlastiti vektori se ne mogu normirati na jedinicu (pogledati dio o Weylovimvlastitim diferencijalima u ranijim poglavljima) tako da reprezentacije vezaneza takva stanja uzrokuju neke pote²ko¢e.1. Operatori sa kontinuiranim spektromOperator  ima kontinuiran spektar ako je vlastita vrijednost a uÂ|a〉 = a|a〉 (1.44)kontinuirana. Stanja |a〉 se vi²e ne mogu normirati na jedinicu, ve¢ se morajunormirati na Diracovu delta funkciju:〈a ′ |a ′′ 〉 = δ (a ′ − a ′′ ) . (1.45)Ovdje delta funkcija zamjenjuje Kroneckerov δ simbol koji se javlja za diskretanspektar [pogledati (1.29)]. U razvoju stanja |ψ〉 po £lanovima kompletnog

1.5 Operatorske funkcije 9skupa |a〉, sume [pogledati (1.28)] se zamjenjuju integralima:∫|ψ〉 =|a ′ 〉〈a ′ |ψ〉da ′ . (1.46)Talasnu funkciju u A reprezentaciji predstavlja broj 〈a ′ |ψ〉. Proizvod dvavektora |ϕ〉 i |ψ〉 po analogiji sa (1.30), ima oblik∫〈ϕ|ψ〉 =∫〈ϕ|a ′ 〉〈a ′ |ψ〉da ′ =ϕ ∗ (a ′ ) ψ (a ′ ) da ′ , (1.47)gdje se A reprezentacija od |ψ〉, ψ(a) = 〈a|ψ〉, moºe shvatiti kao valnafunkcija u A prostoru.2. Operatori sa mije²anim spektromAko jedna£ina Â|a〉 = a|a〉 daje i diskretne i kontinuirane vlastite vrijednostia, tada se radi o mije²anom spektru. U ovim slu£ajevima, razvoj |ψ〉po |a〉 ima oblik|ψ〉 = ∑ ∫|a ′ 〉〈a ′ |ψ〉 +a ′|a ′ 〉〈a ′ |ψ〉da ′ , (1.48)gdje se sumiranje vr²i po diskretnim, a integriranje po kontinuiranim vlastitimstanjima |a〉.1.5 Operatorske funkcijeOperatorske funkcije f(Â) mogu se denisati kao stepeni redovi ako se funkcijef(x) mogu razviti na ovaj na£in. Pa tako, ako vrijedionda je operatorska funkcijaf(x) =∞∑c n x n ,n=0f(Â) denisana saf(Â) =∞∑n=0c n  n . (1.49)Npr., funkcije eÂ, cos Â, itd. se mogu denisati na ovaj na£in.Drugi na£in denisanja operatorskih funkcija je pomo¢u njihovih vlastitihvrijednosti. Ako vrijedi Â|a ′ 〉 = a ′ |a ′ 〉, tada imamof(Â)|a′ 〉 = f(a ′ )|a ′ 〉. (1.50)

10 Formalni okvir kvantne mehanikeƒak se i inverzni operator Â−1 moºe denisati metodom vlastitih vrijednosti(i ne samo inverzijom matrice) relacijom: −1 |a ′ 〉 = 1 a ′ |a′ 〉. (1.51)Koriste¢i Â|a ′ 〉 = a ′ |a ′ 〉 dobijamo Â−1  = ÂÂ−1 = 1. Ako jedna od vlastitihvrijednosti od Â, tj. jedna od veli£ina a′ , i²£ezava, tada ne moºemo denisatiinverzni operator. U ovom slu£aju operator Â−1 ne postoji.1.6 Unitarne transformacijeOperator Û je unitaran ako vrijediÛ −1 = Û † . (1.52)Unitarna transformacija je data pomo¢u unitarnog operatora:|a ′ novo〉 = Û|a′ staro〉. (1.53)tako da je〈a ′ novo|Ânovo|a ′′ novo〉 = 〈Ûa′ staro|Ânovo|Ûa′′ staro〉 = 〈a ′ staro|Û †  novo Û|a ′′staro〉def≡ 〈a ′ staro|Âstaro|a ′′ staro = Û †  novo Û,†Â novo =(Ûstaro〉, (1.54)) −1Âstaro Û −1 = ÛÂstaroÛ † , (1.55)gdje smo koristili (1.52). Lako se moºe provjeriti da su skalarni proizvodiinvarijantni u odnosu na unitarne transformacije:〈b ′ novo|a ′ novo〉 = 〈Ûb′ staro|Ûa′ staro〉 = 〈b ′ staro|Û † Û|a ′ staro〉 = 〈b ′ staro|a ′ staro〉. (1.56)Takožer su i vlastite vrijednosti od iste kao one od (invarijantnostvlastitih vrijednosti), tj.Ânovo Âstaro novo |a ′ novo〉 = ÛÂstaro Û }{{}† Û |a ′ staro〉 = ÛÂstaro|a ′ staro〉 = Ûa′ staro|a ′ staro〉1= a ′ staroÛ|a′ staro〉 = a ′ staro|a ′ novo〉. (1.57)Lako se moºe pokazati da ako jeĈ staro = Âstaro ˆB staro , ˆDstaro = Âstaro + ˆB staro ,takožer vrijediĈ novo = Ânovo ˆB novo , ˆDnovo = Ânovo + ˆB novo .Generalizacija ovih relacija je o£igledna: pri unitarnim transformacijama svealgebarske operacije ostaju nepromijenjene.

1.7 Direktni proizvod prostora 111.7 Direktni proizvod prostoraƒesto moramo pro²iriti Hilbertov prostor. To je povezano sa otkri¢em novihstepeni slobode. Jedan takav primjer smo ve¢ sreli kad smo uvodili spinelektrona. Ukupna talasna funkcija je proizvod prostorne talasne funkcijeψ(x, y, z) i spinske talasne funkcije χ(σ): ψ(x, y, z)χ(σ). Kaºemo da jeHilbertov prostor pro²iren uvoženjem direktnog proizvoda. Slijede¢i primjerito podrobnije obja²njavaju.Nukleon moºe biti ili neutron ili proton sa skoro identi£nim masama:m p ≈ m n . Zbog toga ga moºemo razmatrati kao £esticu sa dva stanja,stanjem protona |p〉 i stanjem neutrona |n〉:( ) 1|p〉 =0naboj( ) 0, |n〉 =1naboj. (1.58)Vektori |p〉 i |n〉 razapinju dvodimenzionalni prostor naelektrisanja ili izospinskiprostor (po analogiji sa spinom). Kako nukleon takožer moºe imati dvarazli£ita spinska stanja,( ) 1| ↑〉 =0spin( )i 0| ↓〉 =1spin, (1.59)direktni proizvod prostora proizvod spinskog i izospinskog prostora je datsa £etverodimenzionalnim prostorom sa baznim vektorima:|p ↑〉 =|p ↓〉 =|n ↑〉 =|n ↓〉 =( 10( 10( 01( 01))))nabojnabojnabojnaboj( ) 1×0( ) 0×1( ) 1×0( ) 0×1spinspinspinspin====⎛⎜⎝⎛⎜⎝⎛⎜⎝⎛⎜⎝1000010000100001⎞⎟⎠ ,⎞⎟⎠ ,⎞⎟⎠ ,⎞⎟⎠ . (1.60)

12 Formalni okvir kvantne mehanikeU ovom £etverodimenzionalnom prostoru mogu se opisati i osobine naboja iosobine spina. Ako bi se otkrile nove unutra²nje osobine (tj. vi²e unutra²njihstepeni slobode) nukleona, prostor bi se morao dalje pro²iriti. Sli£nasituacija se pojavljuje pri razmatranju £estica i anti£estica.1.8 Aksiomi kvantne mehanikeNije lako saºeti aksiome ili pravila kvantne mehanike. U razli£itim knjigamai udºbenicima se pominje razli£it broj tih aksioma. Kvantna mehanika sebazira na slijede¢oj korespondenciji izmežu zikalnih i matemati£kih veli£ina:1. Stanje zikalnog sistema je karakterisano vektorom (preciznije: snopomvektora jer vektori |ψ〉 i λ|ψ〉 opisuju isto stanje) u Hilbertovom prostoru.U op²tem slu£aju, vektori stanja su normirani na jedinicu (ovoje potrebno da bi se omogu¢ila interpretacija vjerovatno¢e).2. Dinami£ke zikalne veli£ine (opservable) su opisane operatorima u Hilbertovomprostoru H. Ovi operatori opservabli su hermitski operatori.Njihovi vlastiti vektori tvore bazu u H; bilo koji vektor iz H se moºerazviti po elementima ove baze.Ovi op²ti principi se dopunjavaju slijede¢im fundamentalnim zikalnimaksiomima:Aksiom 1: Kao rezultat mjerenja opservable, moºe se na¢i samo jednaod vlastitih vrijednosti odgovaraju¢eg operatora. Nakon mjerenja, sistemzauzima stanje koje odgovara izmjerenoj vlastitoj vrijednosti.Aksiom 2: Ako je sistem u stanju |a ′ 〉, vjerovatno¢a nalaºenja vrijednostib ′ u mjerenju za B jeW (A ′ , B ′ ) = |〈a ′ |b ′ 〉| 2 . (1.61)Ako B ima kontinuiran spektar, onda jedW (A ′ , B ′ ) = |〈a ′ |b ′ 〉| 2 db ′ (1.62)vjerovatno¢a da B ima vrijednost u intervalu izmežu b ′ i b ′ + db ′ .Aksiom 3: Operatori  i ˆB, koji odgovaraju klasi£nim veli£inama A iB, zadovoljavaju komutacionu relaciju[Â, ˆB]−=  ˆB − ˆB = i {A, B} Pz , (1.63)

1.8 Aksiomi kvantne mehanike 13gdje je {A, B} Pzoperator koji odgovara klasi£nim Poissonovim zagradama,( ∂A ∂B− ∂A )∂B; (1.64)∂q i ∂p i ∂p i ∂q i{A, B} Pz= ∑ iq i i p i su klasi£ne koordinate i impulsi sistema.Slijedi da je[ˆq i , ˆq j ] −= [ˆp i , ˆp j ] −= 0, [ˆq i , ˆp j ] −= iδ ij 1. (1.65)Analogno, za orbitalni ugaoni moment ˆL = r × ˆp = (yˆp z − z ˆp y , z ˆp x − xˆp z ,xˆp y − yˆp x ) vrijedi[ˆLx , ˆL y]−= i ∑ i( ∂Lx∂q i∂L y∂p i− ∂L )x ∂L y∂p i ∂q i= i [(−ˆp y ) (−x) − yˆp x ] = i (xˆp y − yˆp x ) = iˆL z .Za ostale komutacione relacije vezane za ugaoni momenat, dobijamo sli£nerezultate i moºemo pisati: ˆL × ˆL = iˆL.Treba obratiti paºnju na slijede¢e posljedice ovog aksioma. Ako deni²emoo£ekivanu vrijednost opservable A sai neodreženost (srednju varijaciju) saslijedi da je∆A =√〈(Â − 〈Â〉)2 〉 =〈Â〉 = 〈ψ|Â|ψ〉 (1.66)√〈ψ|(Â − 〈ψ|Â|ψ〉)2 |ψ〉, (1.67)(∆A) 2 (∆B) 2 ≥ 1 4 |〈|[Â, ˆB] − |〉| 2 . (1.68)Ovo je op²ta formulacija Heisenbergove relacije neodreženosti. Specijalno, zavarijable p i i q i , koriste¢i (1.65), imamo∆p i ∆q i ≥ 2 δ ij. (1.69)Do sada smo se bavili stanjima (vektorima) i opservablama u jednomtrenutku vremena. Dinamika sistema se moºe opisati na razli£ite, mežusobnoekvivalentne na£ine. Najuobi£ajenija je Schrödingerova slika u kojoj

14 Formalni okvir kvantne mehanikesu vektori stanja vremenski zavisni, a operatori opservabli su vremenski nezavisni.Aksiom 4: Ako je sistem opisan stanjem |ψ t0 〉 u trenutku t 0 i stanjem|ψ t 〉 u trenutku t, ova stanja su povezana unitarnom transformacijomgdje jea|ψ t 〉 = Û (t − t 0) |ψ t0 〉, (1.70)[Û (t − t 0 ) = exp − i ]Ĥ (t − t 0) , (1.71)Ĥ je hamiltonijan sistema.Iz (1.70) i (1.71), slijedi Schrödingerova jedna£ina. Neka jeTada jedt = t − t 0 , d|ψ〉 = |ψ t0 +dt〉 − |ψ t0 〉 i Û (dt) = 1 − i Ĥdt.− i∂|ψ〉 = Ĥ|ψ〉. (1.72)∂tTreba napomenuti da Schrödingerova jedna£ina vrijedi u op²tem slu£aju,tj. vrijedi za vremenski nezavisne, kao i za vremenski zavisne hamiltonijaneĤ. Samo slu£aju kada je Ĥ vremenski nezavisan moºemo iz (1.72) zaklju£itida vrijedi (1.70). U op²tem slu£aju se relacija (1.70) pi²e sa Û (t, t 0). Samoza vremenski nezavisne hamiltonijane je Û (t, t 0) = Û (t − t 0).Heisenbergova slika je jo² jedan na£in opisa dinamike zikalnog sistema.Ona je ekvivalentna Schrödingerovoj slici. Primjenjuju¢i unitarnu transformacijuna vektore stanja, dobijamo|ψ t 〉 H = Û −1 |ψ t 〉 S = Û −1 Û|ψ t0 〉 S = |ψ t0 〉 S , (1.73)dok se operatori transformi²u prema H (t) = Û t−1  S Û t . (1.74)Donji indeksi H i S stoje za oznaku Heisenberg i Schrödinger, respektivno.U Heisenbergovoj reprezentaciji, stanje |ψ t 〉 H = |ψ t0 〉 S je o£ito ksirano vremenskinezavisno stanje. U poreženju sa ovim, operatori H (t) = exp[+ i Ĥ (t − t 0)] S exp[− i Ĥ (t − t 0)](1.75)

1.9 Slobodne £estice 15su vremenski zavisni zbog (1.74) i (1.71). Diferenciranjem (1.75) nalazimoda ÂH(t) zadovoljava jedna£inu− ∂=i ÂHĤ − ĤÂH = [ÂH, Ĥ] −, (1.76)∂tÂHkoja se naziva Heisenbergovom jedna£inom kretanja za operator ÂH u Heisenbergovojslici. Ona se mora razmatrati po analogiji sa klasi£nom jedna£inomkretanja dinami£ke varijable A u formi Poissonovih zagrada,dAdt = {A, H} Pz. (1.77)Heisenbergova jedna£ina odmah vodi na vaºan rezultat da je operator kojikomutira sa hamiltonijanom konstanta kretanja.1.9 Slobodne £esticeKorisno je malo paºljivije prou£iti kretanje slobodne £estice i jo² jednomsistematski sumirati razli£ite matemati£ke operacije i trikove. Najprije ¢emorazmotriti slobodno kretanje £estice u jednoj dimenziji, a kasnije ¢emo seposvetiti trodimenzionalnom problemu. Dinami£ke varijable su koordinata xi impuls p, a hamiltonijan je Ĥ = ˆp2 /(2m). Jedna£ine vlastitih vrijednostiza x i p glaseˆx|x ′ 〉 = x ′ |x ′ 〉, (1.78)ˆp|p ′ 〉 = p ′ |p ′ 〉. (1.79)Po deniciji, istinski slobodna £estica moºe zauzimati bilo koju poziciju x ′ itakožer imati bilo koji impuls p ′ . Zato se u (1.78) i (1.79) radi o kontinuiranimspektrima i vlastita stanja |x ′ 〉 i |p ′ 〉 se normiraju na delta funkcije〈x ′ |x ′′ 〉 = δ (x ′ − x ′′ ) , (1.80)〈p ′ |p ′′ 〉 = δ (p ′ − p ′′ ) . (1.81)Koriste¢i komutacionu relaciju[ˆx, ˆp] − = ˆxˆp − ˆpˆx = i1, (1.82)moºemo izra£unati matri£ne elemente od ˆp u x reprezentaciji:〈x ′ |ˆxˆp − ˆpˆx|x ′′ 〉 = 〈x ′ |ˆx1ˆp − ˆp1ˆx|x ′′ 〉∫= dx ′′′ [〈x ′ |ˆx|x ′′′ 〉〈x ′′′ |ˆp|x ′′ 〉 − 〈x ′ |ˆp|x ′′′ 〉〈x ′′′ |ˆx|x ′′ 〉]=∫dx ′′′ [x ′′′ δ (x ′ − x ′′′ ) 〈x ′′′ |ˆp|x ′′ 〉 − 〈x ′ |ˆp|x ′′′ 〉x ′′ δ (x ′′ − x ′′′ )]= x ′ 〈x ′ |ˆp|x ′′ 〉 − x ′′ 〈x ′ |ˆp|x ′′ 〉 = (x ′ − x ′′ ) 〈x ′ |ˆp|x ′′ 〉. (1.83)

16 Formalni okvir kvantne mehanikeS druge strane, zbog (1.82) je〈x ′ |ˆxˆp − ˆpˆx|x ′′ 〉 = iδ(x ′ − x ′′ ), (1.84)tako da je(x ′ − x ′′ )〈x ′ |ˆp|x ′′ 〉 = iδ(x ′ − x ′′ ). (1.85)Uz pomo¢ identitetadobijamox d δ(x) = −δ(x), (1.86)dxiδ(x ′ − x ′′ ) = −i(x ′ − x ′′ ∂)∂(x ′ − x ′′ ) δ(x′ − x ′′ )= −i(x ′ − x ′′ ) ∂δ(x′ − x ′′ )∂x ′ . (1.87)Kona£no, koriste¢i (1.85), nalazimo da je〈x ′ |ˆp|x ′′ 〉 = −i ∂∂x ′ δ(x′ − x ′′ ). (1.88)Zbog antisimetri£ne pozicije ˆx i ˆp u (1.83) moºe se izvesti i analognarelacija〈p ′ |ˆx|p ′′ 〉 = i ∂∂p ′ δ(p′ − p ′′ ). (1.89)Matri£ni element 〈x ′ |ˆp 2 |x ′′ 〉 takožer se moºe izra£unati direktno i to ra£unaju¢imatri£ni proizvod. Ukratko:∫〈x ′ |ˆp 2 |x ′′ 〉 = 〈x ′ |ˆp 1ˆp|x ′′ 〉 = dx ′′′ 〈x ′ |ˆp|x ′′′ 〉〈x ′′′ |ˆp|x ′′ 〉∫ [= dx ′′′ −i ∂(∂x ′ δ(x′ − x ′′′ ) −i ∂)]∂x ′′′ δ(x′′′ − x ′′ )= −i ∂ ∫[dx ′′′ δ(x ′ − x ′′′ ) −i ∂]∂x ′ ∂x ′′′ δ(x′′′ − x ′′ )=(−i ∂∂x ′ ) 2δ(x ′ − x ′′ ). (1.90)

1.9 Slobodne £estice 17Sli£no, dobijamo op²tije relacije:〈x ′ |ˆp n |x ′′ 〉 =〈p ′ |ˆx n |p ′′ 〉 =(−i ∂) nδ(x ′ − x ′′ ) i (1.91)∂x(′ i ∂ ) nδ(p ′ − p ′′ ). (1.92)∂p ′Razmotrimo sada problem vlastitih vrijednosti impulsa u koordinatnojreprezentaciji:Imamo〈x ′ |ˆp|p ′ 〉 =∫ˆp|p ′ 〉 = p ′ |p ′ 〉. (1.93)∫dx ′′ 〈x ′ |ˆp|x ′′ 〉〈x ′′ |p ′ 〉 == −i ∂∂x ′ ∫[dx ′′ −i ∂ ]∂x δ ′ (x′ − x ′′ ) 〈x ′′ |p ′ 〉dx ′′ δ (x ′ − x ′′ ) 〈x ′′ |p ′ 〉 = −i ∂∂x ′ 〈x′ |p ′ 〉. (1.94)S druge strane, iz (1.93) slijedi da je 〈x ′ |ˆp|p ′ 〉 = p ′ 〈x ′ |p ′ 〉, tako da dobijamodiferencijalnu jedna£inu za 〈x ′ |p ′ 〉:Njeno rje²enje je−i ∂∂x ′ 〈x′ |p ′ 〉 = p ′ 〈x ′ |p ′ 〉. (1.95)〈x ′ |p ′ 〉 ≡ ψ p ′(x ′ ) = 1 √2πexpOvdje smo izabrali normiranje na slijede¢i na£in:∫〈p ′′ |p ′ 〉 =∫dx ′ 〈p ′′ |x ′ 〉〈x ′ |p ′ 〉 =( i p′ x ′ ). (1.96)dx ′ ψ ∗ p ′′ (x′ ) ψ p ′(x ′ ) = δ(p ′′ − p ′ ).Sada ¢emo poop²titi gornje rezultate na slu£aj tri dimenzije. Prema(1.96), tri prostorne koordinate mežusobno komutiraju, tako da se mogukombinovati u stanjePo deniciji, |x〉 je vlastito stanje operatora ˆx, ŷ i ẑ:|x〉 = |x, y, z〉. (1.97)ˆx|x ′ 〉 = x ′ |x ′ 〉, ŷ|x ′ 〉 = y ′ |x ′ 〉, ẑ|x ′ 〉 = z ′ |x ′ 〉,

18 Formalni okvir kvantne mehanikeili kra¢e:ˆx|x ′ 〉 = x ′ |x ′ 〉. (1.98)Kako se radi o kontinuiranom spektru normiranje je na delta funkcije:〈x ′′ | x ′ 〉 = δ(x ′ − x ′′ ) = δ(x ′ − x ′′ ) δ(y ′ − y ′′ ) δ(z ′ − z ′′ ). (1.99)I operatori ˆp x , ˆp y i ˆp z takožer komutiraju mežusobno, tako da moºemo formiratizajedni£ki vlastiti vektor |p〉 na slijede¢i na£in:ˆp|p ′ 〉 = p ′ |p ′ 〉. (1.100)Ponovo imamo normiranje na δ funkcije:〈p ′′ | p ′ 〉 = δ(p ′ − p ′′ ) = δ(p ′ x − p ′′ x) δ(p ′ y − p ′′y) δ(p ′ z − p ′′z). (1.101)Vratimo se sada na relaciju (1.88). Svaki pojedina£ni korak koji je vodiodo ovog rje²enja se moºe ponoviti za svaku komponentu ˆp x , ˆp y , ˆp z sa vektoromstanja |x〉 tako da dobijamo〈x ′ |ˆp x |x ′′ 〉 = −i ∂∂x ′ δ(x′ − x ′′ ). itd. (1.102)Ovo moºemo kombinovati u slijede¢em obliku〈x ′ |ˆp|x ′′ 〉 = −i ∂∂x ′ δ(x′ − x ′′ )( ∂≡ −i∂x ′ δ(x′ − x ′′ ),Sli£no, odmah zaklju£ujemo da je〈p ′ |ˆx|p ′′ 〉 = i ∂∂p ′ δ(p′ − p ′′ )( ∂≡ i δ(p ′ − p ′′ ),∂p ′ x∂∂y ′ δ(x′ − x ′′ ),∂∂p ′ xδ(p ′ − p ′′ ),)∂∂z ′ δ(x′ − x ′′ ) .(1.103)∂∂p ′ x)δ(p ′ − p ′′ ) ,(1.104)²to je analogno sa (1.89). Diferencijalna jedna£ina (1.95) se takožer, bezikakvih pote²ko¢a, moºe poop²titi na tri dimenzije:−i ∂∂x ′ 〈x′ |p ′ 〉 = p ′ 〈x ′ |p ′ 〉, (1.105)

1.9 Slobodne £estice 19sa rje²enjem( )〈x ′ |p ′ 〉 ≡ ψ p ′(x ′ 1 i) =(2π) exp 3/2 p′ · x ′ , (1.106)normiranim na δ funkcije. Koriste¢i rezultate (1.90) i (1.91), za hamiltonijanslobodne £estice Ĥ = ˆp2 /(2m) u x reprezentaciji dobijamo:〈x ′ |Ĥ|x′′ 〉 = 〈x ′ | ˆp22m |x′′ 〉 = − 22m ∇2 δ (x ′ − x ′′ ) . (1.107)U p reprezentaciji, ovo glasi〈p ′ |Ĥ|p′′ 〉 = 〈p ′ | ˆp22m |p′′ 〉 = p′ 22m δ (p′ − p ′′ ) . (1.108)Sada se vra¢amo vremenski-zavisnom opisu. Specijalno, zanima naspropagacija (²irenje) talasa koji opisuje slobodnu £esticu; ovo nazivamo slobodnompropagacijom. Za ovo, koristimo jedna£ine (1.70) i (1.71), i izraºavamoψ (x ′ , t) = 〈x ′ |ψ t 〉 pomo¢u ψ (x ′ , t 0 ) = 〈x ′ |ψ t0 〉 na slijede¢i na£inOvdje se[]|ψ t 〉 = exp 0)/ |ψ t0 〉,[]ψ (x ′ , t) ≡ 〈x ′ |ψ t 〉 = 〈x ′ | exp 0)/∫ []|ψ t0 〉= 〈x ′ | d 3 x ′′ exp −iĤ(t − t 0)/ |x ′′ 〉〈x ′′ |ψ t0 〉∫=d 3 x ′′ G(x ′ , t|x ′′ , t 0 )ψ(x ′′ , t 0 ). (1.109)G (x ′ , t|x ′′ , t 0 ) = 〈x ′ | exp[−iĤ(t − t 0)/]|x ′′ 〉 (1.110)naziva Greenovom funkcijom ili propagatorom koji opisuje vremenski razvojtalasa ψ (x ′ , t), polaze¢i od po£etnih talasa ψ (x ′′ , t 0 ). Za slobodne £estice sahamiltonijanom Ĥ = ˆp2 /(2m) vrijedi:G(x ′ , t|x ′′ , t 0 ) ====∫ ∫[d 3 p ′ d 3 p ′′ 〈x ′ |p ′ 〉〈p ′ | exp − i ]ˆp 2 2m (t − t 0) |p ′′ 〉〈p ′′ |x ′′ 〉∫ ∫[d 3 p ′ d 3 p ′′ 〈x ′ |p ′ 〉 exp − i p ′′ 2 ] 2m (t − t 0) δ (p ′ − p ′′ ) 〈p ′′ |x ′′ 〉∫[d 3 p ′ 〈x ′ |p ′ 〉〈p ′ |x ′′ 〉 exp − i p ′ 2 ] 2m (t − t 0)∫{d 3 p ′ i[p(2π) 3 exp ′ · (x ′′ − x ′ ) − p′ 2 ]}2m (t − t 0) . (1.111)

20 Formalni okvir kvantne mehanikeOvaj integral se moºe analiti£ki izra£unati (vidjeti vjeºbe). Rezultat je[] [3/2G (x ′ , t|x ′′ m, t 0 ) =exp2πi (t − t 0 )im2](x ′′ − x ′ ) 2. (1.112)t − t 0Kona£no, ºelimo komentarisati opis slobodnih £estica sa spinom. Ovoje jednostavno ako konstrui²emo direktni proizvod vektora |x ′ 〉, |p〉 ili |ψ〉 ispinskog vektora |σ〉. Za £estice sa spinom 1/2, vektor |σ〉 je, npr., dat sa:( 1|z, ↑〉 =0), |z, ↓〉 =( 01). (1.113)Argument z ovih spinskih vektora pokazuje) nam da smo izabrali reprezentacijusa dijagonalnom matricom σ z = . Prema tome, imamo:( 1 00 −1|ψ, σ〉 = |ψ〉|σ〉, (1.114)〈x|ψ, σ〉 = ψ (x) |σ〉 =(ψ1 (x)ψ 2 (x)). (1.115)Zato je £estica spina 1/2 predstavljena talasnom funkcijom od dvije komponente(spinorom).1.10 Saºetak teorije perturbacijeObi£no nije mogu¢e dati ta£no rje²enje nekog problema kvantne mehanike,tako da se moramo ograni£iti na aproksimativna rje²enja Schrödingerove jedna£inei ∂ ∂t |ψ〉 = (Ĥ0 + Ĥ′ )|ψ〉. (1.116)Razdvajanje Ĥ = Ĥ0 + je izvr²eno na takav na£in da su rje²enja svojstvenogproblema hamiltonijana Ĥ′ poznata:Ĥ0Ĥ 0 |ϕ n 〉 = E n |ϕ n 〉, (1.117)a doprinos je dovoljno mali u poreženju sa Ĥ0, tako da njegov uticajmoºemo posmatrati Ĥ′ kao perturbaciju (u prethodnim poglavljima, perturbacijaje ozna£avana sa εŴ). Razvijamo Ĥ′ |ψ〉 po |ϕ n〉:|ψ〉 = ∑ nC n (t) exp(− i E nt)|ϕ n 〉, (1.118)

1.10 Saºetak teorije perturbacije 21i uvr²tavamo ga u (1.116). Uzimaju¢i u obzir (1.117), dobijamo slijede¢isistem vezanih (spregnutih) diferencijalnih jedna£ina za koecijente razvojaC n (t):ddt C m(t) = − i ∑n〈ϕ m |Ĥ′ |ϕ n 〉e i(Em−En)t/ C n (t), m = 0, 1, 2, . . . . (1.119)Ove se jedna£ine integriranjem mogu lako transformisati u sistem spregnutihintegralnih jedna£ina:C m (t) = C m (0) − i ∑n∫ t0dt ′ 〈ϕ m |Ĥ′ |ϕ n 〉e i(Em−En)t′ / C n (t ′ ). (1.120)Do ove ta£ke izvedeni rezultat je egzaktan. Sada ¢emo primijeniti aproksimacije.Ako pretpostavimo da je u trenutku t = 0 sistem u stanju |ϕ i 〉, imamoda jeC m (0) = δ mi . (1.121)Kako smo pretpostavili da je perturbacija mala i ima mali uticaj na neperturbovanastanja Ĥ′ |ϕ n 〉, moºemo pretpostaviti da se nijedan od koecijenataC n (t) ne razlikuje zna£ajno od po£etne vrijednosti. Dalje, pretpostavljaju¢ida je nezavisno od vremena, slijedi da je za Ĥ′ f ≠ i (f nal, i initial)C f (t) = − i ∫ t[ ]i 〈ϕf|Ĥ′ |ϕ i 〉 dt ′ exp0 (E f − E i ) t ′= − i [ exp [i 〈ϕ (Ef − E i ) t/] − 1f|Ĥ′ |ϕ i 〉i (E f − E i ) /]. (1.122)Nakon vremena t, vjerovatno¢a nalaºenja sistema u stanju |ϕ f 〉 je data sa|C f (t)| 2 = 4 ∣ ∣∣〈ϕf 2 |Ĥ′ |ϕ i 〉 ∣ 2 sin 2 (ω fi t/2)ω 2 fi, (1.123)gdje je ω fi = (E f − E i )/. Funkcija sin 2 (ωt/2)/ω 2 , kao funkcija od ω, imao²tar maksimum (²iljak, peak) za ω = 0, koji postaje o²triji kada t raste.’tavi²e, vrijedijer je ∫ ∞−∞∫ ∞−∞dω sin2 (ωt/2)ω 2sin 2 xdx = π. Dakle, imamo da jex 2= πt2 , (1.124)sin 2 (ωt/2)lim= π tδ(ω). (1.125)t→∞ ω 2 2

22 Formalni okvir kvantne mehanikeUvr²tavaju¢i ovaj rezultat u (1.123), odmah dobijamo vjerovatno¢u prelazau jedinici vremena iz stanja |ϕ i 〉 u stanje |ϕ f 〉:|C f (t)| 2t= 2π |〈ϕ f|Ĥ′ |ϕ i 〉| 2 δ(E f − E i ). (1.126)Ovo je Fermijevo zlatno pravilo. Ovdje δ funkcija izraºava o£uvanje energije.δ funkcija nestaje iz (1.126) ako uvaºimo to da u svim prakti£nim slu£ajevimaintegriramo po kontinuumu od niºe ka vi²oj energetskoj granici.Sada je o£igledna op²ta aproksimativna ²ema za rje²avanje sistema integralnihjedna£ina (1.120). Da bismo dobili aproksimacije vi²eg reda, moramoiterirati onoliko £esto koliko je potrebno. Ova izra£unavanja su dugotrajnai zamorna; no, njihov rezultat je dovoljno jednostavan da bude predstavljenbez dokaza. U op²tem slu£aju, vjerovatno¢a prelaza u jedinici vremena zaprelaz i → f je data sa( )vjerovatno¢a prelazavrijemei→f= 2π |M fi| 2 δ(E f − E i ), (1.127)gdje je matrica prelaza M fi :M fi = 〈f|Ĥ|i〉 + ∑ I+∑ ∑III〈f|Ĥ′ |I〉〈I|Ĥ′ |i〉E i − E I + iη〈f|Ĥ′ |I〉〈I|Ĥ′ |II〉〈II|Ĥ′ |i〉(E i − E I + iη) (E i − E II + iη) + . . . . (1.128)Da bismo pojednostavili gornju formulu, skra¢eno smo ozna£ili 〈ϕ f |Ĥ′ |ϕ i 〉 ≡〈f|Ĥ′ |i〉, itd. Stanja I, II su mežustanja (posredna, intermedijarna stanja)preko kojih se odvijaju prelazi vi²eg reda. Innitezimalno mala veli£ina η,koja se pojavljuje u nazivnicima, je pozitivna i ukazuje na to kako trebapostupati sa singularitetima u izrazu za M fi .

Poglavlje 2Teorija atoma i molekula2.1 Metodi prora£una atomskih sistema2.2 Atom helijuma2.3 Varijacioni metod2.4 Metod samosaglasnog polja (Hartree-Fockovmetod)2.5 Thomas-Fermijev metod2.6 Zeemanov efekt2.7 Teorija molekula u adijabatskoj aproksimaciji2.8 Molekula vodonika

24 Teorija atoma i molekula

Poglavlje 3Teorija rasijanja3.1 Presjek rasijanja3.2 Amplituda rasijanja3.3 Bornova aproksimacija3.4 Metod parcijalnih talasa3.5 Neelasti£no rasijanje3.6 Zadaci sa pismenih ispita iz kvantne mehanikeZadatak 15.1 Na¢i u Bornovoj aproksimaciji amplitudu rasijanja i diferencijalnii totalni presjek rasijanja £estice mase m i impulsa p 0 = k 0 napotencijalu V (r) = V 0 e −κr .Zadatak 15.2 Na¢i u Bornovoj aproksimaciji amplitudu rasijanja i diferencijalnipresjek { rasijanja £estice mase m i impulsa p 0 = k 0 na potencijaluV0 za r ≤ RV (r) =0 za. Izra£unati totalni presjek rasijanja u limesu malihr > Rbrzina (qR → 0).Zadatak 15.3 Na¢i u Bornovoj aproksimaciji amplitudu rasijanja i totalnipresjek rasijanja £estice mase m na potencijalu: V (r) = α δ(r − R). Pri

26 Teorija rasijanjaizra£unavanju totalnog presjeka rasijanja razmotriti grani£ni slu£aj sporih£estica.Zadatak 15.4 Na¢i u Bornovoj aproksimaciji amplitudu rasijanja, diferencijalnii totalni presjek rasijanja £estice mase µ i impulsa p 0 = k 0 napotencijalu V (r) = V 0re −r/R . Uporediti dobijeni rezultat sa Rutherfordovomformulom.Zadatak 15.5 Na¢i u Bornovoj aproksimaciji amplitudu rasijanja, diferencijalnii totalni presjek rasijanja £estice mase m i impulsa p na ekraniranomCoulombovom potencijalu V (r) = B r e−r/λ . Analizirati grani£ni slu£ajλ → ∞. Uporediti dobijeni rezultat sa rezultatom koji se dobija u klasi£nojmehanici.Zadatak 15.5 Na¢i u Bornovoj aproksimaciji amplitudu rasijanja, diferencijalnii totalni presjek rasijanja £estice mase µ i impulsa p 0 = k 0 naGaussovom potencijalu V (r) = √ V 04πexp(− ). [Uputa: Koristiti tabli£ni integral:∫ 2 ∞r24a−∞ e−ax2 dx = (π/a) 1/2 , a > 0.]Zadatak 15.6 Na¢i u Bornovoj aproksimaciji amplitudu rasijanja, diferencijalnii totalni presjek rasijanja £estice mase µ i impulsa p 0 = k 0 napotencijalu V (r) = V 0 exp(− ).r22r0 2[Uputa: Koristiti tabli£ni integral: ∫ ∞b2e− 4a , 2 a > 0.]e −a2 x 2 cos(bx)dx = √ π0 2aZadatak 15.7 Na¢i u Bornovoj aproksimaciji amplitudu rasijanja i diferencijalnipresjek { rasijanja £estice mase m i impulsa p 0 = k 0 na potencijalu−V0 za r < rV (r) =00 za. Pokazati da je pri malim energijama (qrr > r 0 ≪ 1)0diferencijalni presjek rasijanja izotropan, tj. nezavisan od ugla rasijanja.Zadatak 15.8 Na¢i u Bornovoj aproksimaciji amplitudu rasijanja i diferencijalnii totalni presjek rasijanja £estice mase m i impulsa p 0 = k 0 napotencijalu V (r) = V 0a √ r2r exp(− ). (Uputa: koristiti relaciju sin x = Im e ix .)2 2a 2

28 Konceptualni i lozofski problemi kvantne mehanikePoglavlje 4Konceptualni i lozofski problemikvantne mehanike4.1 Determinizam4.2 Lokalnost4.3 Teorija skrivenih varijabli4.4 Bellov teorem4.5 Teorija mjerenja4.6 Schrödingerova ma£ka4.7 Subjektivne teorije4.8 Klasi£na mjerenja4.9 Copenhagenska interpretacija4.10 Ireverzibilni zapis4.11 Podijeljeni univerzum4.12 Problem realnosti