8. STABILNOST TANKIH PLOČA
8. STABILNOST TANKIH PLOČA
8. STABILNOST TANKIH PLOČA
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salatić 1<br />
<strong>8.</strong> <strong>STABILNOST</strong> <strong>TANKIH</strong> <strong>PLOČA</strong><br />
<strong>8.</strong>1 METODE ZA ODREĐIVANJE KRITIČNIH OPTEREĆENJA<br />
Za određivanje kritičnih vrednosti sila koje deluju u srednjoj ravni ploče, pri kojoj ravan ravnotežni<br />
oblik postaje nestabilan i ploča počinje da se izvija, mogu se koristiti iste metode kao i u slučaju<br />
pritisnutih štapova.<br />
Kritične vrednosti sila, koje deluju u srednjoj ravni ploče, mogu se dobiti pod pretpostavkom, da od<br />
početka ploča ima neku prvobitnu krivinu ili neko poprečno opterećenje. One vrednosti sila u srednjoj<br />
ravni, pod kojim ugibi teže da postanu beskonačno veliki, obično su kritične vrednosti opterećenja.<br />
Drugi način da se ispitaju problemi stabilnosti je da se pretpostavi da se ploča blago izvija pod<br />
dejstvom sila, koje deluju u srednjoj ravni, pa da se onda sračunaju veličine, koje treba da imaju sile,<br />
da bi održale ploču u tako blago izvijenom obliku. U tom slučaju dobija se diferencijalna jednačina<br />
elastične površine pretpostavljajući da nema poprečnog opterećenja, ��0. Ako nema zapreminskih<br />
sila, jednačina izvijanja ploče ima oblik:<br />
�� � ��� ��� �2 ��� ������ � ��� 1<br />
�<br />
��� � �� �<br />
�<br />
�� ��� �� �<br />
�<br />
�� ��� �2� �<br />
��<br />
�� � �1�<br />
����<br />
gde je sa � označena fleksiona krutost ploče:<br />
��<br />
��<br />
�<br />
12�1 � ��� Najjednostavniji slučaj se dobija, kad su sile ��,��,��� konstantne po celoj ploči. Pretpostavljajući da<br />
su dati odnosi između ovih sila, tako da je �� ���� i ��� ���� i rešavajući jednačinu (1) za date<br />
konturne uslove, nalazi se da je pretpostavljeno izvijanje ploče moguće samo za izvesne konačne<br />
vrednosti ��. Najmanja od ovih vrednosti određuje traženu kritičnu vrednost.<br />
Ako sile ��,��,��� nisu konstantne, može se pretpostaviti da izrazi za sile ��,��,��� imaju zajednički<br />
faktor �, tako da se povećanjem ovog faktora dobija postupno povećanje opterećenja. Iz ispitivanja<br />
jednačine (1), zajedno sa datim konturnim uslovima, može se zaključiti da su izvijeni oblici ravnoteže<br />
mogući samo za izvesne vrednosti faktora � i da najmanja od ovih vrednosti definiše kritično<br />
opterećenje.<br />
Takođe, može se koristiti energetska metoda za ispitivanje izvijanja ploča. Ova metoda je naročito<br />
korisna u onim slučajevima, gde se ne zna tačno rešenje jednačine (1) i gde je potrebno naći samo<br />
približnu vrednost kritične sile.<br />
U ovoj metodi, pretpostavlja se da ploča, koja je napregnuta silama koje deluju u njenoj srednjoj<br />
ravni, dobija neko malo bočno savijanje, uslovljeno datim konturnim uslovima. Tako ograničeno<br />
savijanje može se izvršiti bez istezanja srednje ravni i potrebno je jedino da se posmatra energija<br />
savijanja i odgovarajući rad izvršen od strane sila koje deluju u srednjoj ravni ploče. Ako je rad,<br />
izvršen od ovih sila, manji od deformacione energije savijanja za bilo koji mogući oblik bočnog<br />
izvijanja, ravan ravnotežni oblik je stabilan. Ako isti rad postane veći od energije savijanja za bilo koji<br />
oblik bočnog izvijanja, ploča je nestabilna i događa se izvijanje. Označavajući sa ∆�� gore spomenuti<br />
rad spoljašnjih sila, a sa ∆��� energiju savijanja, kritične vrednosti sila dobijaju se iz jednačine:<br />
∆�� �∆��� Uvodeći odgovarajuće izraze za ∆�� i ∆���, pretpostavljajući da su sile ��,��,��� date izrazima sa<br />
zajedničkim faktorom �, tako da je:<br />
�� ����� �� ����� ��� ������ dobija se jednovremeni porast ovih sila povećanjem faktora �. Onda se dobija kritična vrednost ovog<br />
faktora u obliku izraza:
2 Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salatić<br />
�<br />
� �<br />
�2�1���� ��� ��� · ��� ��� � � ��� ���� �<br />
�<br />
�� �� ��<br />
� � ��<br />
��<br />
��� ��� � ��� ��<br />
� � ��� � � ��<br />
�� �<br />
�<br />
��� � � ��<br />
�� �<br />
�<br />
�� ��<br />
�2���� · � �� ��<br />
�� ��<br />
Da bi se odredila vrednost �, mora se u svakom pojedinačnom slučaju naći izraz za �, koji<br />
zadovoljava konturne uslove i čini da je izraz (2) minimum, tj. varijacija razlomka (2) mora biti nula.<br />
Ako se brojilac označi sa ��, a imenilac sa �� i izjednači se varijacija izraza (2) sa nulom, dobija se:<br />
1<br />
���� �������0 � �<br />
Sračunavajući naznačene varijacije i pretpostavljajući da nema zapreminskih sila, dobija se jednačina<br />
(1). Na taj način energetska metoda dovodi do integracije iste jednačine.<br />
Za približni proračun kritičnih sila energetskom metodom, pretpostavlja se � u obliku reda:<br />
���, �� � ������, �� �������, �� � …<br />
Gde funkcije ����, ��,����, ��,… zadovoljavaju granične uslove za ���, �� i tako su izabrane da budu<br />
podesne za prikazivanje površine izvijene ploče. Koeficijenti reda ��,��,… moraju se tako izabrati da<br />
se izraz (2) načini minimumom. Primenjujući ovaj uslov minimuma dobijaju se sledeće jednačine:<br />
��� ��� ��� ��� �� ��� �0<br />
��� �� ��� � 0 �3�<br />
��� Iz jednačine (2) može se videti da će posle integrisanja izrazi �� i �� biti dati u obliku homogenih<br />
funkcija drugog stepena po ��,��,… Prema tome će jednačine (3) biti sistem homogenih linearnih<br />
jednačina po ��,��,… . Ove jednačine će imati rešenja za ��,��,… različita od nule, samo ako je<br />
determinanta sistema jednaka nuli. Kad se ta determinanta izjednači sa nulom, dobiće se jednačina<br />
za određivanje kritične vrednosti faktora �.<br />
<strong>8.</strong>2 JEDNAČINA IZVIJANJA PLOČE<br />
Posmatra se diferencijalni deo ploče prikazan na Slici <strong>8.</strong>1, za koji se prema opštoj teoriji savijanja<br />
tankih ploča, može formirati uslovna jednačina ravnoteže sila u vertikalnom pravcu:<br />
Slika <strong>8.</strong>1: Presečne sile tanke ploče pri savijanju<br />
�2�
Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salatić 3<br />
� ���� �� �� ����� ��� ��� �2 ��� ������ � ��� � �� �� �4�<br />
��� Presečne sile se mogu odrediti integracijom napona po visini preseka:<br />
�⁄ �<br />
�� � � ���� �<br />
��⁄ �<br />
�⁄ �<br />
��� �� � � ���� �<br />
��⁄ �<br />
�⁄ �<br />
��� ��� � � ����� � ���� ��� ���� ��⁄ �<br />
Uticaj normalnih presečnih sila prikazan je na Slici <strong>8.</strong>2. Pri tome usvajajući da je �� mala veličina,<br />
može se pretpostaviti da je:<br />
sin �� � tan �� � ��<br />
��<br />
Tada je suma projekcija normalnih sila na �-osu:<br />
��<br />
� ���� ���� �� �� � �� � � �� �<br />
��<br />
����� ��� ��� �� ���<br />
�� �� � ��� ��<br />
Slika <strong>8.</strong>2: Uticaj normalnih sila<br />
��� �� ���<br />
�� � ��� ��� ��� � � ��<br />
�<br />
�� ��<br />
� ���<br />
odnosno:<br />
� ���� �� ��� ��<br />
�� �� � ��� ��<br />
�� �� �� �<br />
�<br />
�� ��� �� �<br />
�<br />
�� � �� �� �5�<br />
��� Slika <strong>8.</strong>3: Uticaj tangencijalnih sila
4 Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salatić<br />
Uticaj tangencijalnih sila � �� i � �� prikazan je na Slici <strong>8.</strong>3 i može se napisati relacija:<br />
��<br />
� ������ ����� �� �� � �� �� � �� ��<br />
��<br />
����� � ���� ��� �� ���<br />
�� �� � ��� ���� ���<br />
��� �� ���<br />
�� � ��� ���� ��� � � ��<br />
��<br />
�� ��<br />
odnosno:<br />
� ������ �� ���� ��<br />
�� �� � ���� ��<br />
�� �� �2� �<br />
��<br />
�� ��� �� �� �6�<br />
����<br />
Sumiranjem svih sila u pravcu �-ose, jednačine (4), (5) i (6) dobija se :<br />
� ���� � � ���� � � ������ � ���� �� �� � � �� ��<br />
�� ��� ��<br />
�� �� � ��� ��<br />
�� �� �� �<br />
�<br />
�� ��� �� �<br />
�<br />
�� ��� ��<br />
��� �� ���� ��<br />
�� �� � ���� ��<br />
�� �� �2� �<br />
��<br />
�� ��� �� ��<br />
����<br />
ili sređeno:<br />
�<br />
���� � � � �� �� ��� �� �<br />
�<br />
�� ��� �2� �<br />
��<br />
�� ���� ���� �<br />
�� � ���� ��<br />
�<br />
�� �� ���� �<br />
�� � ���� ��<br />
� � 0 �7�<br />
�� ��<br />
Izrazi u zagradama jednačine (7) su jednaki nuli, jer predstavljaju leve strane jednačina ravnoteža<br />
normalnih i tangencijalnih sila u pravcu �-ose i �-ose. Zanemarenjem poprečnog opterećenja � za<br />
slučaj rešavanja problema stabilnosti dobija se konačno diferencijalna jednačina izvijanja ploče:<br />
�<br />
���� � ��� �� ��� �� �<br />
�<br />
�� ��� �2� �<br />
��<br />
�� � � 0 �8�<br />
����<br />
<strong>8.</strong>3 IZVIJANJE SLOBODNO OSLONJENE PRAVOUGAONE PLOČE RAVNOMERNO<br />
PRITISNUTE U JEDNOM PRAVCU<br />
Pretpostavlja se da je pravougaona ploča, koja<br />
je slobodno oslonjena na svim stranama, pritisnuta<br />
u svojoj srednjoj ravni (Slika <strong>8.</strong>4) silama<br />
ravnomerno raspodeljenim duž strana ��0 i<br />
���. Veličina ove sile pritiska na jedinicu<br />
dužine ivice označena je sa ��. Postepenim<br />
povećavanjem �� dolazi se do stanja, kad ravni<br />
ravnotežni oblik ploče postaje nestabilan i kad<br />
se događa izbočavanje.<br />
Primenjujući jednačinu (8) i uvažavajući da je<br />
Slika <strong>8.</strong>4:<br />
�� ��� , �� �0 i ��� �0, dobija se<br />
jednačina:<br />
�<br />
���� � �� �� � 0 �9�<br />
��� Rešenje ove jednačine traži se u obliku dvostrukog trigonometrijskog reda:<br />
čiji su uzvodi:<br />
�� ����� sin ���<br />
� �<br />
��� ���<br />
�<br />
sin ���<br />
�<br />
�10�
Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salatić 5<br />
��� ��� � ����� � ��<br />
� �<br />
� �<br />
2<br />
��� ���<br />
�� � ����� �� ��<br />
� �<br />
� �<br />
2<br />
��� ���<br />
sin ��� ���<br />
sin<br />
� �<br />
� � ��<br />
� �<br />
2 2<br />
�<br />
Ako se izrazi za izvode iskoriste u jednačini (9) sledi:<br />
��� ��� ��<br />
� �<br />
2<br />
� � ��<br />
� �<br />
2 2<br />
� � �� 1<br />
��<br />
� �2 � �<br />
2<br />
� �0<br />
a jednačina stabilnosti sledi ako je ��� �0 :<br />
�� ��<br />
� �<br />
�<br />
� � ��<br />
� �<br />
� �<br />
�<br />
� � �<br />
�<br />
1<br />
��<br />
�� � �<br />
�<br />
�0<br />
sin ��� ���<br />
sin<br />
� �<br />
iz koje se može odrediti kritična vrednost opterećenja � �:<br />
���� � ��� �<br />
��<br />
�� �<br />
�� �<br />
�<br />
� � �<br />
�<br />
Ako se uvedu oznake:<br />
�� �<br />
� �� � ��� ��� ��� � ���� �<br />
onda je kritični napon izražen preko Euler-ovog napona ��: ��� � �� � �<br />
� ����<br />
� �<br />
�<br />
odnosno:<br />
��� � ��� ·�� ��� �� �<br />
� ����<br />
� �<br />
�<br />
Minimalni kritični napon dobija se iz uslova minimuma koeficijenta ��� usvajajući da je ��1: ���� � 0 � � � �<br />
��<br />
pa je kritični napon:<br />
��� � 4�� Kritično opterećenje može se konačno prikazati u sledećem obliku za ��1 i ��1 u izrazu (11):<br />
���� � ��� �<br />
�� �<br />
�� � � �<br />
�<br />
�12�<br />
Ako je širina ploče konstantna, a postepeno se menja dužina �, faktor pred zagradom u izrazu (12)<br />
ostaje konstantan, a faktor u zagradi se menja sa promenom odnosa �⁄ �,<br />
tj. za jednu ploču date<br />
širine, kritična vrednost opterećenja je najmanja ako je ploča kvadratna. U tom slučaju je:<br />
���� � 4��� �� Za druge dimenzije ploče ovaj izraz se može napisati u obliku:<br />
���� �� �<br />
��<br />
�� �13�<br />
�� gde je ��� brojni faktor čija veličina zavisi od odnosa �⁄ �.<br />
Ovaj faktor je dat na Slici <strong>8.</strong>6 krivom<br />
linijom označenom sa ��1. �11�
6 Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salatić<br />
Slika <strong>8.</strong>5:<br />
Tako, na primer za ploču sa odnosom strana ���⁄ ��2<br />
i jednoaksijalno pritiskujuće ravnomerno<br />
opterećenje, dobija se forma izvijanja koja se sastoji od dva polutalasa (Slika <strong>8.</strong>6), čija je površina<br />
ugiba data izrazom:<br />
���, �� � ��� sin 2�� ��<br />
sin<br />
� �<br />
Slika <strong>8.</strong>6:<br />
Postoji jedna prevojna liniju koja deli ploču u polovine i svaka je polovina u potpuno istim uslovima,<br />
kao prosto oslonjena ploča dužine �⁄ 2.<br />
Da bi se sračunalo kritično opterećenje koristi se jednačina<br />
(12), zamenjujući u njoj � sa �⁄ 2.<br />
Tada je:<br />
���� � ��� �<br />
�2� �<br />
�� � 2� �<br />
�<br />
Na Slici <strong>8.</strong>5 krivom linijom ��2 dat je drugi faktor u ovom izrazu, koji zavisi od odnosa �⁄ �.<br />
Može<br />
se uočiti da se kriva linija ��2 lako dobija iz krive linije ��1, ostavljajući ordinate nepromenjene,<br />
a udvajajući apscise.<br />
Postupajući dalje na isti način i pretpostavljajući ��3, ��4 itd., dobija se serija krivih linija datih<br />
na Slici <strong>8.</strong>5. Odatle se lako može odrediti kritično opterećenje i broj polutalasa za bilo koju vrednost<br />
odnosa �⁄ �.<br />
Jedino je potrebno da se uzme odgovarajuća tačka na aspcisnoj osovini i da se izabere<br />
kriva linija sa najmanjom ordinatom za tu tačku. Uočava se da se najmanje kritično opterećenje<br />
dobija kada je koeficijent � ceo broj.
Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salatić 7<br />
<strong>8.</strong>4 IZVIJANJE SLOBODNO OSLONJENE PRAVOUGAONE PLOČE PRITISNUTE U<br />
DVA MEĐUSOBNO UPRAVNA PRAVCA<br />
Ako je pravougaona ploča (Slika <strong>8.</strong>7) sa slobodno<br />
oslonjenim ivicama, izložena dejstvu jednako<br />
podeljenih sila pritiska � � i � �, može se uzeti isti<br />
izraz za ugib � kao i u prethodnom poglavlju, pa<br />
se opet u obzir uzima samo jedan član<br />
dvostrukog reda za � kod sračunavanja vrednosti<br />
za � � i � �.<br />
<strong>8.</strong>5 IZVIJANJE SLOBODNO OSLONJENE PRAVOUGAONE PLOČE POD<br />
KOMBINOVANIM DEJSTVOM SAVIJANJA I PRITISKA<br />
Posmatramo slobodno oslonjenu pravougaonu ploču (Slika 6) duž čijih su strana ��0 i ��� podeljenje sile, koje deluju u srednjoj ravni ploče, a čiji je intenzitet dat jednačinom:<br />
�� ����1 �� �<br />
� �<br />
dvostruki trigonometrijski red:<br />
�� ����� sin ���<br />
� �<br />
��� ���<br />
�<br />
sin ���<br />
�<br />
gde je �� intenzitet sile pritiska na ivici<br />
��0, a � brojni faktor čijom se<br />
promenom dobijaju razni pojedinačni<br />
slučajevi (za ��0 dobija se slučaj<br />
ravnomerno podeljenih pritisaka dok se<br />
za ��2 dobija slučaj čistog savijanja).<br />
Za ugib izvijene ploče, slobodno<br />
oslonjene na svim stranama se uzima<br />
<strong>8.</strong>6 IZVIJANJE PRAVOUGAONE PLOČE POD DEJSTVOM SMIČUĆIH NAPONA<br />
Posmatra se slobodno oslonjena pravougaona ploča,<br />
izloženu dejstvu sila smicanja � �� (Slika <strong>8.</strong>8),<br />
ravnomerno raspodeljenih duž ivica. Da bi se<br />
sračunala kritična vrednost napona smicanja � ��, pri<br />
kojoj se dešava izvijanje ploče, ponovo se koristi<br />
metoda energije.<br />
Kada se za elastičnu površinu ploče uzme ranije<br />
korišćeni izraz u obliku dvojnog reda, tada su<br />
zadovoljeni konturni uslovi na oslonjenim ivicama.