8. STABILNOST TANKIH PLOČA

Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salatić 1 

8. STABILNOST TANKIH PLOČA 

8.1 METODE ZA ODREĐIVANJE KRITIČNIH OPTEREĆENJA 

Za određivanje kritičnih vrednosti sila koje deluju u srednjoj ravni ploče, pri kojoj ravan ravnotežni 

oblik postaje nestabilan i ploča počinje da se izvija, mogu se koristiti iste metode kao i u slučaju 

pritisnutih štapova. 

Kritične vrednosti sila, koje deluju u srednjoj ravni ploče, mogu se dobiti pod pretpostavkom, da od 

početka ploča ima neku prvobitnu krivinu ili neko poprečno opterećenje. One vrednosti sila u srednjoj 

ravni, pod kojim ugibi teže da postanu beskonačno veliki, obično su kritične vrednosti opterećenja. 

Drugi način da se ispitaju problemi stabilnosti je da se pretpostavi da se ploča blago izvija pod 

dejstvom sila, koje deluju u srednjoj ravni, pa da se onda sračunaju veličine, koje treba da imaju sile, 

da bi održale ploču u tako blago izvijenom obliku. U tom slučaju dobija se diferencijalna jednačina 

elastične površine pretpostavljajući da nema poprečnog opterećenja, ��0. Ako nema zapreminskih 

sila, jednačina izvijanja ploče ima oblik: 

�� 2 �� 1 

� 

�� 

� 

�� 

� 

�� 2� � 

�� 

�� 1� 

�� 

gde je sa � označena fleksiona krutost ploče: 

�� 

�� 

� 

12�1 � �� Najjednostavniji slučaj se dobija, kad su sile ��,��,�� konstantne po celoj ploči. Pretpostavljajući da 

su dati odnosi između ovih sila, tako da je �� i �� i rešavajući jednačinu (1) za date 

konturne uslove, nalazi se da je pretpostavljeno izvijanje ploče moguće samo za izvesne konačne 

vrednosti ��. Najmanja od ovih vrednosti određuje traženu kritičnu vrednost. 

Ako sile ��,��,�� nisu konstantne, može se pretpostaviti da izrazi za sile ��,��,�� imaju zajednički 

faktor �, tako da se povećanjem ovog faktora dobija postupno povećanje opterećenja. Iz ispitivanja 

jednačine (1), zajedno sa datim konturnim uslovima, može se zaključiti da su izvijeni oblici ravnoteže 

mogući samo za izvesne vrednosti faktora � i da najmanja od ovih vrednosti definiše kritično 

opterećenje. 

Takođe, može se koristiti energetska metoda za ispitivanje izvijanja ploča. Ova metoda je naročito 

korisna u onim slučajevima, gde se ne zna tačno rešenje jednačine (1) i gde je potrebno naći samo 

približnu vrednost kritične sile. 

U ovoj metodi, pretpostavlja se da ploča, koja je napregnuta silama koje deluju u njenoj srednjoj 

ravni, dobija neko malo bočno savijanje, uslovljeno datim konturnim uslovima. Tako ograničeno 

savijanje može se izvršiti bez istezanja srednje ravni i potrebno je jedino da se posmatra energija 

savijanja i odgovarajući rad izvršen od strane sila koje deluju u srednjoj ravni ploče. Ako je rad, 

izvršen od ovih sila, manji od deformacione energije savijanja za bilo koji mogući oblik bočnog 

izvijanja, ravan ravnotežni oblik je stabilan. Ako isti rad postane veći od energije savijanja za bilo koji 

oblik bočnog izvijanja, ploča je nestabilna i događa se izvijanje. Označavajući sa ∆�� gore spomenuti 

rad spoljašnjih sila, a sa ∆�� energiju savijanja, kritične vrednosti sila dobijaju se iz jednačine: 

∆�� ∆�� Uvodeći odgovarajuće izraze za ∆�� i ∆��, pretpostavljajući da su sile ��,��,�� date izrazima sa 

zajedničkim faktorom �, tako da je: 

�� dobija se jednovremeni porast ovih sila povećanjem faktora �. Onda se dobija kritična vrednost ovog 

faktora u obliku izraza:

2 Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salatić 

� 

� � 

�2�1�� · �� 

� 

�� 

� � �� 

�� 

�� 

� � �� 

�� 

� 

�� 

�� 

� 

�� 

�2�� · � �� 

�� 

Da bi se odredila vrednost �, mora se u svakom pojedinačnom slučaju naći izraz za �, koji 

zadovoljava konturne uslove i čini da je izraz (2) minimum, tj. varijacija razlomka (2) mora biti nula. 

Ako se brojilac označi sa ��, a imenilac sa �� i izjednači se varijacija izraza (2) sa nulom, dobija se: 

1 

�� 0 � � 

Sračunavajući naznačene varijacije i pretpostavljajući da nema zapreminskih sila, dobija se jednačina 

(1). Na taj način energetska metoda dovodi do integracije iste jednačine. 

Za približni proračun kritičnih sila energetskom metodom, pretpostavlja se � u obliku reda: 

��, �� , �� , �� … 

Gde funkcije ��, ��,��, ��,… zadovoljavaju granične uslove za ��, �� i tako su izabrane da budu 

podesne za prikazivanje površine izvijene ploče. Koeficijenti reda ��,��,… moraju se tako izabrati da 

se izraz (2) načini minimumom. Primenjujući ovaj uslov minimuma dobijaju se sledeće jednačine: 

�� 0 

�� 0 �3� 

�� Iz jednačine (2) može se videti da će posle integrisanja izrazi �� i �� biti dati u obliku homogenih 

funkcija drugog stepena po ��,��,… Prema tome će jednačine (3) biti sistem homogenih linearnih 

jednačina po ��,��,… . Ove jednačine će imati rešenja za ��,��,… različita od nule, samo ako je 

determinanta sistema jednaka nuli. Kad se ta determinanta izjednači sa nulom, dobiće se jednačina 

za određivanje kritične vrednosti faktora �. 

8.2 JEDNAČINA IZVIJANJA PLOČE 

Posmatra se diferencijalni deo ploče prikazan na Slici 8.1, za koji se prema opštoj teoriji savijanja 

tankih ploča, može formirati uslovna jednačina ravnoteže sila u vertikalnom pravcu: 

Slika 8.1: Presečne sile tanke ploče pri savijanju 

�2�


� �� 2 �� 4� 

�� Presečne sile se mogu odrediti integracijom napona po visini preseka: 

�⁄ � 

�� 

��⁄ � 

�⁄ � 

�� 

��⁄ � 

�⁄ � 

�� ⁄ � 

Uticaj normalnih presečnih sila prikazan je na Slici 8.2. Pri tome usvajajući da je �� mala veličina, 

može se pretpostaviti da je: 

sin �� tan �� 

�� 

Tada je suma projekcija normalnih sila na �-osu: 

�� 

� �� 

�� 

�� 

�� 

Slika 8.2: Uticaj normalnih sila 

�� 

�� 

� 

�� 

� �� 

odnosno: 

� �� 

�� 

�� 

� 

�� 

� 

�� 5� 

�� Slika 8.3: Uticaj tangencijalnih sila


Uticaj tangencijalnih sila � �� i � �� prikazan je na Slici 8.3 i može se napisati relacija: 

�� 

� �� 

�� 

�� 

�� 

�� 

�� 

�� 

�� 

odnosno: 

� �� 

�� 

�� 2� � 

�� 

�� 6� 

�� 

Sumiranjem svih sila u pravcu �-ose, jednačine (4), (5) i (6) dobija se : 

� �� 

�� 

�� 

�� 

� 

�� 

� 

�� 

�� 

�� 

�� 2� � 

�� 

�� 

�� 

ili sređeno: 

� 

�� 

� 

�� 2� � 

�� 

�� 

�� 

� 

�� 

�� 

� � 0 �7� 

�� 

Izrazi u zagradama jednačine (7) su jednaki nuli, jer predstavljaju leve strane jednačina ravnoteža 

normalnih i tangencijalnih sila u pravcu �-ose i �-ose. Zanemarenjem poprečnog opterećenja � za 

slučaj rešavanja problema stabilnosti dobija se konačno diferencijalna jednačina izvijanja ploče: 

� 

�� 

� 

�� 2� � 

�� 

�� 0 �8� 

�� 

8.3 IZVIJANJE SLOBODNO OSLONJENE PRAVOUGAONE PLOČE RAVNOMERNO 

PRITISNUTE U JEDNOM PRAVCU 

Pretpostavlja se da je pravougaona ploča, koja 

je slobodno oslonjena na svim stranama, pritisnuta 

u svojoj srednjoj ravni (Slika 8.4) silama 

ravnomerno raspodeljenim duž strana ��0 i 

��. Veličina ove sile pritiska na jedinicu 

dužine ivice označena je sa ��. Postepenim 

povećavanjem �� dolazi se do stanja, kad ravni 

ravnotežni oblik ploče postaje nestabilan i kad 

se događa izbočavanje. 

Primenjujući jednačinu (8) i uvažavajući da je 

Slika 8.4: 

�� , �� 0 i �� 0, dobija se 

jednačina: 

� 

�� 0 �9� 

�� Rešenje ove jednačine traži se u obliku dvostrukog trigonometrijskog reda: 

čiji su uzvodi: 

�� sin �� 

� � 

�� 

� 

sin �� 

� 

�10�


�� 

� � 

� � 

2 

�� 

�� 

� � 

� � 

2 

�� 

sin �� 

sin 

� � 

� � �� 

� � 

2 2 

� 

Ako se izrazi za izvode iskoriste u jednačini (9) sledi: 

�� 

� � 

2 

� � �� 

� � 

2 2 

� � �� 1 

�� 

� �2 � � 

2 

� �0 

a jednačina stabilnosti sledi ako je �� 0 : 

�� 

� � 

� 

� � �� 

� � 

� � 

� 

� � � 

� 

1 

�� 

�� 

� 

�0 

sin �� 

sin 

� � 

iz koje se može odrediti kritična vrednost opterećenja � �: 

�� 

�� 

�� 

�� 

� 

� � � 

� 

Ako se uvedu oznake: 

�� 

� �� 

onda je kritični napon izražen preko Euler-ovog napona ��: �� 

� �� 

� � 

� 

odnosno: 

�� ·�� 

� �� 

� � 

� 

Minimalni kritični napon dobija se iz uslova minimuma koeficijenta �� usvajajući da je ��1: �� 0 � � � � 

�� 

pa je kritični napon: 

�� 4�� Kritično opterećenje može se konačno prikazati u sledećem obliku za ��1 i ��1 u izrazu (11): 

�� 

�� 

�� 

� 

�12� 

Ako je širina ploče konstantna, a postepeno se menja dužina �, faktor pred zagradom u izrazu (12) 

ostaje konstantan, a faktor u zagradi se menja sa promenom odnosa �⁄ �, 

tj. za jednu ploču date 

širine, kritična vrednost opterećenja je najmanja ako je ploča kvadratna. U tom slučaju je: 

�� 4�� Za druge dimenzije ploče ovaj izraz se može napisati u obliku: 

�� 

�� 

�� 13� 

�� gde je �� brojni faktor čija veličina zavisi od odnosa �⁄ �. 

Ovaj faktor je dat na Slici 8.6 krivom 

linijom označenom sa ��1. �11�



Tako, na primer za ploču sa odnosom strana ��⁄ ��2 

i jednoaksijalno pritiskujuće ravnomerno 

opterećenje, dobija se forma izvijanja koja se sastoji od dva polutalasa (Slika 8.6), čija je površina 

ugiba data izrazom: 

��, �� sin 2�� 

sin 

� � 


Postoji jedna prevojna liniju koja deli ploču u polovine i svaka je polovina u potpuno istim uslovima, 

kao prosto oslonjena ploča dužine �⁄ 2. 

Da bi se sračunalo kritično opterećenje koristi se jednačina 

(12), zamenjujući u njoj � sa �⁄ 2. 

Tada je: 

�� 

�2� � 

�� 2� � 

� 

Na Slici 8.5 krivom linijom ��2 dat je drugi faktor u ovom izrazu, koji zavisi od odnosa �⁄ �. 

Može 

se uočiti da se kriva linija ��2 lako dobija iz krive linije ��1, ostavljajući ordinate nepromenjene, 

a udvajajući apscise. 

Postupajući dalje na isti način i pretpostavljajući ��3, ��4 itd., dobija se serija krivih linija datih 

na Slici 8.5. Odatle se lako može odrediti kritično opterećenje i broj polutalasa za bilo koju vrednost 

odnosa �⁄ �. 

Jedino je potrebno da se uzme odgovarajuća tačka na aspcisnoj osovini i da se izabere 

kriva linija sa najmanjom ordinatom za tu tačku. Uočava se da se najmanje kritično opterećenje 

dobija kada je koeficijent � ceo broj.


8.4 IZVIJANJE SLOBODNO OSLONJENE PRAVOUGAONE PLOČE PRITISNUTE U 

DVA MEĐUSOBNO UPRAVNA PRAVCA 

Ako je pravougaona ploča (Slika 8.7) sa slobodno 

oslonjenim ivicama, izložena dejstvu jednako 

podeljenih sila pritiska � � i � �, može se uzeti isti 

izraz za ugib � kao i u prethodnom poglavlju, pa 

se opet u obzir uzima samo jedan član 

dvostrukog reda za � kod sračunavanja vrednosti 

za � � i � �. 

8.5 IZVIJANJE SLOBODNO OSLONJENE PRAVOUGAONE PLOČE POD 

KOMBINOVANIM DEJSTVOM SAVIJANJA I PRITISKA 

Posmatramo slobodno oslonjenu pravougaonu ploču (Slika 6) duž čijih su strana ��0 i �� podeljenje sile, koje deluju u srednjoj ravni ploče, a čiji je intenzitet dat jednačinom: 

�� 1 �� 

� � 

dvostruki trigonometrijski red: 

�� sin �� 

� � 

�� 

� 

sin �� 

� 

gde je �� intenzitet sile pritiska na ivici 

��0, a � brojni faktor čijom se 

promenom dobijaju razni pojedinačni 

slučajevi (za ��0 dobija se slučaj 

ravnomerno podeljenih pritisaka dok se 

za ��2 dobija slučaj čistog savijanja). 

Za ugib izvijene ploče, slobodno 

oslonjene na svim stranama se uzima 

8.6 IZVIJANJE PRAVOUGAONE PLOČE POD DEJSTVOM SMIČUĆIH NAPONA 

Posmatra se slobodno oslonjena pravougaona ploča, 

izloženu dejstvu sila smicanja � �� (Slika 8.8), 

ravnomerno raspodeljenih duž ivica. Da bi se 

sračunala kritična vrednost napona smicanja � ��, pri 

kojoj se dešava izvijanje ploče, ponovo se koristi 

metoda energije. 

Kada se za elastičnu površinu ploče uzme ranije 

korišćeni izraz u obliku dvojnog reda, tada su 

zadovoljeni konturni uslovi na oslonjenim ivicama.

8. STABILNOST TANKIH PLOČA

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?