Výpočet nejistot metodou Monte carlo

schéma metody GUFINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 3

vzorce v metodě GUF standardní nejistoty:u 2 (x i )= 1n(n−1)u 2 (x i )=a 2 /3,u 2 (x i )=a 2 /6, ...∑i (q i−q) 2 , citlivostní koeficienty:c i =∂x ∂fi.u 2 (y)= ∑ i c2 iu 2 (x i ).(∑ ∑ ( ) ) 2+1 ∂ 2 f ∂f ∂ 3 fj i 2 ∂x i ∂x j ∂x i ∂x iu∂x 2 (xj2 i )u 2 (x j )INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 4

vzorce v metodě GUF standardní nejistoty:u 2 (x i )= 1n(n−1)u 2 (x i )=a 2 /3,u 2 (x i )=a 2 /6, ...∑i (q i−q) 2 , citlivostní koeficienty:c i =∂x ∂fi.u 2 (y)= ∑ i c2 iu 2 (x i ).(∑ ∑ ( ) ) 2+1 ∂ 2 f ∂f ∂ 3 fj i 2 ∂x i ∂x j ∂x i ∂x iu∂x 2 (xj2 i )u 2 (x j ) korelované vstupní veličiny:2 ∑ i∑j∂f∂x i∂f∂x ju(x i ,x j )INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 4

Metoda Monte Carlo třída algorimtů pro simulaci systémůINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 5

Metoda Monte Carlo třída algorimtů pro simulaci systémů opakované náhodné vzorkování pro simulaci náhodnýchdějůINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 5

Metoda Monte Carlo třída algorimtů pro simulaci systémů opakované náhodné vzorkování pro simulaci náhodnýchdějů využití:◮ řešení diferenciálních rovnicINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 5

Metoda Monte Carlo třída algorimtů pro simulaci systémů opakované náhodné vzorkování pro simulaci náhodnýchdějů využití:◮ řešení diferenciálních rovnic◮ počítání určitých integrálůINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 5

Metoda Monte Carlo třída algorimtů pro simulaci systémů opakované náhodné vzorkování pro simulaci náhodnýchdějů využití:◮ řešení diferenciálních rovnic◮ počítání určitých integrálů◮ simulace experimentů, převážně:INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 5

Metoda Monte Carlo třída algorimtů pro simulaci systémů opakované náhodné vzorkování pro simulaci náhodnýchdějů využití:◮ řešení diferenciálních rovnic◮ počítání určitých integrálů◮ simulace experimentů, převážně: štěpné reakceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 5

Metoda Monte Carlo třída algorimtů pro simulaci systémů opakované náhodné vzorkování pro simulaci náhodnýchdějů využití:◮ řešení diferenciálních rovnic◮ počítání určitých integrálů◮ simulace experimentů, převážně: štěpné reakce difuze plynůINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 5

Metoda Monte Carlo třída algorimtů pro simulaci systémů opakované náhodné vzorkování pro simulaci náhodnýchdějů využití:◮ řešení diferenciálních rovnic◮ počítání určitých integrálů◮ simulace experimentů, převážně: štěpné reakce difuze plynů proudění tekutinINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 5

Metoda Monte Carlo třída algorimtů pro simulaci systémů opakované náhodné vzorkování pro simulaci náhodnýchdějů využití:◮ řešení diferenciálních rovnic◮ počítání určitých integrálů◮ simulace experimentů, převážně: štěpné reakce difuze plynů proudění tekutin◮ výpočet nejistotINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 5

historie MMC vyvinuli John von Neumann, Stanislaw Ulam a NicholasMetropolis 1940 v Los Alamos během vývoje atomovébombyINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 6

historie MMC vyvinuli John von Neumann, Stanislaw Ulam a NicholasMetropolis 1940 v Los Alamos během vývoje atomovébomby Ulam měl myšlenku používání náhodných číselINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 6

historie MMC vyvinuli John von Neumann, Stanislaw Ulam a NicholasMetropolis 1940 v Los Alamos během vývoje atomovébomby Ulam měl myšlenku používání náhodných čísel von Neumann použil generování náhodných čísel místoseznamu náhodných číselINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 6

historie MMC vyvinuli John von Neumann, Stanislaw Ulam a NicholasMetropolis 1940 v Los Alamos během vývoje atomovébomby Ulam měl myšlenku používání náhodných čísel von Neumann použil generování náhodných čísel místoseznamu náhodných čísel Metropolis vypracoval algorithmyINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 6

historie MMC vyvinuli John von Neumann, Stanislaw Ulam a NicholasMetropolis 1940 v Los Alamos během vývoje atomovébomby Ulam měl myšlenku používání náhodných čísel von Neumann použil generování náhodných čísel místoseznamu náhodných čísel Metropolis vypracoval algorithmy pojmenováno po městě Monte Carlo, kde Ulamův strýcčasto prohrálval v kasinuINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 6

Monte Carlo, MonakoAutor fotografie: Joseph PlotzINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 7

Příklad použití MMCVýpočet Ludolfova čísla:π=3,14159...1-1-0.50.5000.51Obsah kruhu: S 1 =πr 2Obsah čtverce: S 2 =r 2Počet bodů: NPočet bodů v kruhu:M-0.5-1S 1S 2= πr2r 2 =M N ⇒π=M NINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 8

Průběh výpočtuπ10.810:0.60.40.2000.20.40.60.81INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 9

Průběh výpočtuπ110.80.810:0.60.4100:0.60.40.20.2000.20.40.60.81000.20.40.60.81INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 9

Průběh výpočtuπ110.80.810:0.60.4100:0.60.40.20.20100.20.40.60.81000.20.40.60.810.81000:0.60.40.2000.20.40.60.81INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 9

Průběh výpočtuπ110.80.810:0.60.4100:0.60.40.20.20100.20.40.60.810100.20.40.60.810.80.81000:0.60.410000:0.60.40.20.2000.20.40.60.81000.20.40.60.81INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 9

Výsledek výpočtuπMMC3.23.132.92.82.72.62.52.42.3101001000100001000001e+06Zvýšením řádu opakování získáme obvykle jednu cifruπ.(Moderní iterační metody přidají 5 ciferπkaždýmvýpočetním krokem.)INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 10

Čísla musí být náhodná10.5-1-0.5000.51π≠ 100100 =1 – p. 11-0.5-1INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

Proč ne pravidelné rozložení čísel?Hra lodě:hrací pole:hrací pole:INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 12

Proč ne pravidelné rozložení čísel?Hra lodě:pravidená střelba:náhodná střelba:INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 12

Proč ne pravidelné rozložení čísel?Hra lodě:žádný zásahčtyři zásahy!INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 12

Nejistoty metodou Monte CarloPostup: vytvoření matematického modelu dějeINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 13

Nejistoty metodou Monte CarloPostup: vytvoření matematického modelu děje určení hustot pravděpodobnosti vstupních veličinINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 13

Nejistoty metodou Monte CarloPostup: vytvoření matematického modelu děje určení hustot pravděpodobnosti vstupních veličin provedení dostatečného počtu simulacíINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 13

Nejistoty metodou Monte CarloPostup: vytvoření matematického modelu děje určení hustot pravděpodobnosti vstupních veličin provedení dostatečného počtu simulací zpracování výpočetních hodnot stochastickými metodamiINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 13

Nejistoty metodou Monte CarloPostup: vytvoření matematického modelu děje určení hustot pravděpodobnosti vstupních veličin provedení dostatečného počtu simulací zpracování výpočetních hodnot stochastickými metodami určení nejpravděpodobnější hodnoty a nejistotyINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 13

Jednoduchý příkladmatematický model:Y =A+BINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 14

Jednoduchý příkladmatematický model:Y =A+Bhodnoty:A=B=0.5INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 14

Jednoduchý příkladmatematický model:Y =A+Bhodnoty:A=B=0.5nejistoty:u(A)=u(B)=0.5, normální rozděleníINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 14

Jednoduchý příkladmatematický model:Y =A+Bhodnoty:A=B=0.5nejistoty:u(A)=u(B)=0.5, normální rozděleníY =1+100,500,5INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 14

Jednoduchý příklad – výpočet1, A 1=0,8B 1 =0,5⇒Y =1,3Histogram:01INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 15

Jednoduchý příklad – výpočet1, A 1=0,8B 1 =0,5⇒Y =1,32, A 2=0,34B 2 =0,1 ⇒Y =0,54 Histogram:01INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 16

Jednoduchý příklad – výpočet1, A 1=0,8B 1 =0,5⇒Y =1,3Histogram:2, A 2=0,34⇒Y =0,54B 2 =0,13, A 3=0,07B 3 =1,23 ⇒Y =1,301INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 17

Jednoduchý příklad – výpočet1, A 1=0,8B 1 =0,5⇒Y =1,3Histogram:2, A 2=0,34⇒Y =0,54B 2 =0,13, A 3=0,07⇒Y =1,3B 3 =1,23...10 6 , A 10 6=0,110B 10 6=0,42 ⇒Y 10 6=0,521INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 18

Jednoduchý příklad – výpočet1, A 1=0,8B 1 =0,5⇒Y =1,3Histogram:2, A 2=0,34⇒Y =0,54B 2 =0,13, A 3=0,07⇒Y =1,3B 3 =1,23...10 6 , A 10 6=0,110B 10 6=0,42 ⇒Y 10 6=0,521INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 19

Určení nejistotyNejistota: pravá hodnotaY se nachází v daném intervalu snejistotoup.Určení nejistoty odpovídá nalezení plochy pod křivkouodpovídajícípzcelkové plochy křivky.INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 20

Určení nejistotyNejistota: pravá hodnotaY se nachází v daném intervalu snejistotoup.Určení nejistoty odpovídá nalezení plochy pod křivkouodpovídajícípzcelkové plochy křivky.68,27%plochy15,87%plochy15,87%plochy-u +uINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 20

Určení nejistotyNejistota: pravá hodnotaY se nachází v daném intervalu snejistotoup.Určení nejistoty odpovídá nalezení plochy pod křivkouodpovídajícípzcelkové plochy křivky.95,45%plochy2,28%plochy2,28%plochy-U +UINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 20

schéma metody Monte CarloINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 21

GUF vs MMCx 1 , u(x 1 )x 2 , u(x 2 )x 3 , u(x 3 )GUFY = f(X )y, u(y)g X 1(ξ 1 )MMCg X 2(ξ 2 )Y = f(X )g Y (η)g X 3(ξ 3 )INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 22

výhody a nevýhody MMCLze počítat i s kompikovanými rozdělenímia komplexními čísly.INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 23

výhody a nevýhody MMCLze počítat i s kompikovanými rozdělenímia komplexními čísly.Je třeba mít generátor náhodných čísel avhodný software.INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 23

výhody a nevýhody MMCLze počítat i s kompikovanými rozdělenímia komplexními čísly.Není třeba derivovat.Je třeba mít generátor náhodných čísel avhodný software.INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 23

výhody a nevýhody MMCLze počítat i s kompikovanými rozdělenímia komplexními čísly.Není třeba derivovat.Je třeba mít generátor náhodných čísel avhodný software.Nelze počítat na papíře.INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 23

výhody a nevýhody MMCLze počítat i s kompikovanými rozdělenímia komplexními čísly.Není třeba derivovat.Je třeba mít generátor náhodných čísel avhodný software.Není třeba odhadovat a počítat stupněvolnosti.Nelze počítat na papíře.INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 23

složitý příklad – ukázka chyby GUFGuide to the Expression of Uncertainty in Measurements,Annex H, příklad koncových měrek:INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 24

složitý příklad – ukázka chyby GUFGuide to the Expression of Uncertainty in Measurements,Annex Hpříklad koncových měrekGUF:δL=(838±62)nm,k=2, t-rozdělení,p=95,45%INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 25

složitý příklad – ukázka chyby GUFGuide to the Expression of Uncertainty in Measurements,Annex Hpříklad koncových měrekGUF:δL=(838±62)nm,k=2, t-rozdělení,p=95,45%MMC:δL=(838±67)nm,p=95,45%,53×10 4 opakováníINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 25

kdy použít MMC? když vstupní veličiy mají "divoká rozdělení"INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 26

kdy použít MMC? když vstupní veličiy mají "divoká rozdělení" když citlivostní koeficienty jsou nulovéINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 26

kdy použít MMC? když vstupní veličiy mají "divoká rozdělení" když citlivostní koeficienty jsou nulové když zvítězí lenost derivovatINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 26

Centrální limitní větaVelké množství libovolných vstupních rozdělení dá výslednénormální rozdělení.INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 27

software pro MMCObecné programy:Matlab ($), Octave, R, ...INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 28

software pro MMCObecné programy:Matlab ($), Octave, R, ...Specializované programy:Gum Workbench Pro, Qualisyst QMSys GUM Professinal,OpenBugs.INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 28

software pro MMCObecné programy:Matlab ($), Octave, R, ...Specializované programy:Gum Workbench Pro, Qualisyst QMSys GUM Professinal,OpenBugs.Nevhodné programy:Excel 2000, 2003, skriptovací jazyk VBA v Excelu 2007,(Excel 2010?)INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 28

Děkujiza pozornostINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ– p. 29