Stæ 503 Seinni hluti Kaflar 4–6 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

66 KAFLI 4. HAGNÝTING HEILDUNARÞegar ferill fallsinsy =f(x) liggur að hluta til ofan viðx-ás og að hluta til neðanvið x-ás og finna á flatamál svæðisins á milli ferils ogx-áss þarf að finnax-hnitpunktanna þar sem ferillinn sker ásinn.a• • •x 1 x 2 x 3bÁ myndinni hér að ofan eru x-hnit skurðpunktanna þar sem ferillinn fer yfirx-ásinn kölluð x 1 , x 2 og x 3 . Heildarflatarmál svæðisins sem afmarkast af ferlifallsinsf(x) ogx-ás á bilinu[a,b] er:A=∫ x1a∫ x2∫ x3∫ b−f(x)dx+ f(x)dx+ −f(x)dx+ f(x)dxx 1 x 2 x 3=− [ F(x) ] x 1a +[ F(x) ] x 2x 1− [ F(x) ] x 3x 2+ [ F(x) ] bx 3Dæmi 4.1.1. Reiknum flatarmál svæðisins sem ferill fallsinsf(x)=2(1−x 2 ) ogx-ás afmarka.Lausn: Þar sem ekkert bil [a,b] er tiltekið þá ráðast heildunarmörk af skurðpunktumferils viðx-ás. Skurðpunktarnir eru fundnir með því að leysa jöfnunasvof(x)=0eða 2(1−x 2 )=02(1−x)(1+x)=0svo x=−1 eða x= 1.Þegar ferill fallsins er teiknaður sést að svæðið er ofan viðx-ás. Flatarmálið er þvíheildi fallsinsf(x) á bilinu[−1,1].−1• •1f(x)=2(1−x 2 )∫ 1 ∫ 1f(x)dx= 2(1−x 2 )dx−1 −1[ )] 1= 2(x− x33 −1= 2(1−1/3)−2(−1+1/3)= 4/3+4/3=8/3