Stæ 503 Seinni hluti Kaflar 4–6 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

108 KAFLI 6. DIFFURJÖFNURUmritun jöfnu: Deilum beggja vegna jafnaðarmerkis meðx:y ′ − 2 x y=x2Þá erP(x)=− 2 x ogQ(x)=x2 .Heildunarþáttur fundinn: Heildunarþáttur er∫P(x)dxµ(x)=e∫=e −2x dx =e −2ln(x) =e ln(x−2) =x −2 .Lausn diffurjöfnu reiknuð:Samkvæmt jöfnu (6.7) í reglu 6.3.1 er lausniny=µ(x)·1 ∫µ(x)Q(x)dx= 1 ∫ {}}{µ(x)x −2 x −2·∫=x 2 1dx=x 2 (x+k)=x 3 +kx 2Notum nú byrjunargildið til að finnak:Q(x){}}{x 2 dxy(4)=2svo 4 3 +4 2 k=2svo k= −318Sérlausnin sem leitað er að er þvíy=x 3 − 31 8 x2 .6.3.1 ÆfingDæmi 1. Finnið almenna lausn eftirfarandi jafna. Finnið einnig sérlausn þar semþað á við.(a)y ′ + 1 x y=x3 −3. (b)y ′ + 2 x y=x2 +2.(c)x 2 y ′ +3xy= sin(2x)(d)y ′ −xy=xe x2 ,y(0)=5(e)y ′ −tan(x)y= 3e −sin(x) ,y(0)=4Dæmi 2. Leysið diffurjöfnunax 2 y ′ +(1−2x)y=x 2 .Finnið svo sérlausnina sem uppfylliry(1)=0.