Stæ 503 Seinni hluti Kaflar 4–6 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

6.3. LÍNULEGAR DIFFURJÖFNUR AF FYRSTA STIGI 107svoP(x)= 1 x ogQ(x)=e2x x .Heildunarþáttur fundinn:µ(x)=e∫P(x)dx=e∫ 1x dx =e ln(x) =x, (heildunarfasta og algildi sleppt).Lausn diffurjöfnu reiknuð: Við beitum reglu 6.3.1 og reiknum lausnina samkvæmtjöfnu (6.7)y=µ(x)·1 ∫µ(x)Q(x)dxQ(x)∫ {}}{µ(x){}}{ e 2xx ·x dx= 1 x= 1 x=x( 1 ) 12 e2x +k= e2x +2k2x∫e 2x dxDæmi 6.3.2. Finnum almenna lausn diffurjöfnunnarxy ′ −xy=−x 2Lausn:Umritun jöfnu: Deilum beggja vegna jafnaðarmerkis meðx:Þá erP(x)=−1 ogQ(x)=−x.y ′ −y=−xHeildunarþáttur fundinn: Heildunarþáttur erµ(x)=e∫P(x)dx=e∫−1dx=e −x (heildunarfasta sleppt).Lausn diffurjöfnu reiknuð: Samkvæmt jöfnu (6.7) í reglu 6.3.1 er almenn lausny=µ(x)·1 ∫µ(x)Q(x)dx= 1 ∫−xe −x dxe −x=e x·(xe −x +e −x +k ) (hlutheildun)=x+1+ke xDæmi 6.3.3. Finnum sérlausn diffurjöfnunnarLausn: Fyrst er almenn lausn fundin.xy ′ −2y=x 3 , y(4)=2