Stæ 503 Seinni hluti Kaflar 4–6 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

106 KAFLI 6. DIFFURJÖFNURer reiknað. Áhrifa fastans gætir ekki í jöfnu (6.7) þegar lausn diffurjöfnunnar erreiknuð.Í öðru lagi þá má sleppa algildi logra í útkomu óákveðna heildisins∫P(x)dx.Áhrifa algildis gætir heldur ekki í jöfnu (6.7).Tökum sem dæmiP(x)=1/x. Reiknum tvo heildunarþætti,µ 1 (x) þar sem hvorkiheildunarfasta né algildi er sleppt og µ 2 (x) þar sem heildunarfasta og algildi ersleppt. Hér er ∫ ∫ 1P(x)dx= dx= ln|x|+kxsvo heildunarþátturinnµ 1 (x) erµ 1 (x)=e ln|x|+k =e ln|x|·e k =c|x|þar sem fastinne k hefur verið táknaður meðc. Ef heildunarfasta og algildi er slepptfæst heildunarþátturinnµ 2 (x)=e ln(x) =x.Nú gildir eftirfarandi:∫1µ 1 (x)Q(x)dx=µ 1 (x)·c|x|·1 ∫c|x|Q(x)dx=c|x|·c ∫|x|Q(x)dx=|x|·1 ∫|x|Q(x)dx=±x·1 ∫±xQ(x)dx=±x·±1 ∫xQ(x)dx =x·1 ∫xQ(x)dx= 1 ∫µ 2 (x)Q(x)dxµ 2 (x)·Þá er ljóst að heildunarþættirnir tveir,µ 1 (x) ogµ 2 (x) leiða til sömu lausnar; hægrihlið jöfnu (6.7) er sú sama hvort sem notaður er heildunarþátturinnµ 1 (x), þar semhvorki fasta né algildi var sleppt, eða heildunarþátturinnµ 2 (x) þar sem heildunarfastaog algildi var sleppt.Dæmi 6.3.1. Finnum almenna lausn diffurjöfnunnarxy ′ +y=e 2xá bilinu]0,∞[.Lausn: Umritun jöfnu: Deilt beggja vegna jafnaðarmerkis meðx. þá fæsty ′ + 1 x y=e2x x