Stæ 503 Seinni hluti Kaflar 4–6 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

6.3. LÍNULEGAR DIFFURJÖFNUR AF FYRSTA STIGI 1056.3 Línulegar diffurjöfnur af fyrsta stigiSkilgreining 6.3.1. Diffurjafna á forminua(x)·y ′ +b(x)·y=c(x) (6.4)þar sem a(x), b(x) og c(x) eru einhver föll, kallast fyrsta stigs línulegdiffurjafna. Efc(x)=0fyrir öllx þá er jafnan sögð vera óhliðruð, annars erjafnan hliðruðJöfnu (6.4) þarf að umrita á formiðy ′ +P(x)y=Q(x) (6.5)svo unnt sé að leysa hana. Stuðullinn viðy ′ er þá 1. Lausn jöfnu (6.5) fæst síðanmeð eftirfarandi reglu:Setning 6.3.1. Látumy ′ +P(x)y=Q(x) (6.6)vera fyrsta stigs diffurjöfnu þar semP(x) ogQ(x) er samfelld föll á opnu biliI. Almenn lausn jöfnunnar á bilinuI ery=µ(x)·1 ∫µ(x)Q(x)dx (6.7)þar semµ(x)=e ∫ P(x)dx er kallaður heildunarþáttur.Sönnun. Margföldum báðar hliðar gefnu diffurjöfnunnar með heildunarþættinumµ(x):µ(x)·y ′ +µ(x)P(x)y=µ(x)·Q(x)Þessa jöfnu má rita á forminu(µ(x)y) ′=µ(x)·Q(x)sem jafngildir þvi að∫µ(x)y= µ(x)·Q(x)dxsvo y=µ(x)·1 ∫µ(x)·Q(x)dx.Athugasemd 9. Nú skal bent á tvö atriði varðandi heildunarþáttinnµ(x):Í fyrsta lagi þá má sleppa heildunarfastanumk þegar óákveðna heildið∫P(x)dx.