Stæ 503 Seinni hluti Kaflar 4–6 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

6.2. DIFFURJÖFNUR MEÐ AÐSKILJANLEGAR BREYTUR 1036.2 Diffurjöfnur með aðskiljanlegar breyturSkilgreining 6.2.1. Fyrsta stigs diffurjafna er sögð hafa aðskiljanlegar breyturef hægt er að rita jöfnuna á forminudydx=f(x)·g(y) (6.1)Jöfnu (6.1) má umrita á formið1dy=f(x)dx, g(y)≠0 (6.2)g(y)þessi umritun kallast að aðskilja breytistærðir. Síðan er heildað beggja vegna jafnaðarmerkistil að finna lausn diffurjöfnunnar:∫ ∫1g(y) dy= f(x)dx.Ef stofnfall 1/g(y) er táknað meðH(y) og stofnfallf(x) er táknað meðF(x) máskrifa lausnina á forminuH(y)=F(x)+k (6.3)Þegar lausnin er rituð á þessu formi er talað um fólgið form lausnar. Jafna (6.3) ersíðan leyst fyriry ef hægt er.Athugasemd 8. Núllstöðvar fallsinsg(y) í diffurjöfnu (6.1) eru láréttar línur semeinnig eru lausnir jöfnunnar.Dæmi 6.2.1. Leysum diffurjöfnuna dydx = −xyy(3)=4.Lausn: Jafnan er umrituð á form jöfnu (6.2):og finnum sérlausn sem uppfyllirydy=−xdxSíðan er heildað beggja vegna jafnaðarmerkis:∫ ∫ydy=− xdxy 2 =−x 2 +k=k−x 2Lausnarformið y 2 = k−x 2 er fólgið form. Við getum leyst fyrir y og fáum þáy =± √ k−x 2 . Sérlausn sem uppfyllir skilyrðiðy(3)=4er jákvæða lausnin. Viðsetjum 3 inn fyrirx og 4 fyriry og þá fæst:√k−3 2 = 4, k=25.Sérlausnin er þvíy= √ 25−x 2 .