Stæ 503 Seinni hluti Kaflar 4–6 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

102 KAFLI 6. DIFFURJÖFNURLausn diffurjöfnu er annarsvegar sérlausn og hinsvegar almenn lausn. Meðsérlausn er átt við einhverja eina tiltekna lausn jöfnunnar en með almennrilausn er átt við lausn sem felur allar mögulegar lausnir í sér.Dæmi 6.1.1. Diffurjafnanhefur almenna lausny ′ (x)=f(x).∫y= f(x)dx=F(x)+kþar semker ótiltekinn fasti. Ef fastanumker gefið ákveðið gildi, til dæmisk=3,þá fæst sérlausn diffurjöfnunnar sem ery=F(x)+3.Setning 6.1.1. Almenn lausn diffurjöfnunnarerdydx =f(x)∫y= f(x)dx=F(x)+k.6.1.1 ÆfingDæmi 1. Sýnið að falliðy er lausn á diffurjöfnunni.(a) 10y ′ +7y= 0 , y= 5e −0.7x .(b)y ′ +2y=e 3x , y= 2e −2x +0.2e 3x .(c)xy ′ −3y=x 3 , y=x 3 ln(x)+10x 3 .(d)(x 2 +4)y ′ +3xy=x , y= 1 3 + 163 (x2 +4) −3/2 .(e)y ′ −2y= sin(x)+cos(x) , y=Ce 2x −0.2sin(x)−0.6cos(x).Dæmi 2. Finnið almenna lausn á gefnu diffurjöfnunni. Finnið einnig sérlausn íliðum (c) og (d) sem uppfyllir gefna skilyrðið.(a)y ′ = 1+sin(2x). (b)y ′ = 6x+3x 2 +x .(c)y ′ =x 3/2 , y(1)=1. (d)y ′ =2x(x−1)(x+1) , y(2)=4.(e)y ′ =xcos(x 2 ).(f)y ′ = 2x 2 cos(2x).