Stæ 503 Seinni hluti Kaflar 4–6 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

Kafli 6Diffurjöfnur6.1 InngangurDiffurjafna er jafna sem lýsir sambandi óþekkts falls við eigin afleiðu(r).Diffurjöfnur eru mikilvægar t.d. í verkfræði, eðlisfræði og hagfræði þar semreynt er að lýsa sambandi ástands (falls) og breytingar ástandsins (afleiðu).Þetta kemur vel í ljós í aflfræði þar sem hreyfingu hlutar er lýst meðstaðsetningu sem falli af tíma og hraða sem falli af tíma. LögmálNewtons, sem lýsa sambandi staðsetningar, hraða og hröðun hlutar ítengslum við hina ýmsu krafta er verka á hlutinn, eru sett fram semdiffurjöfnur þar sem staðsetning er óþekkt fall af tíma. Diffurjafna óþekktsfalls af einni breytistærð kallast venjuleg diffurjafna.Stig diffurjöfnu er hæsta afleiða óþekkta fallsins í jöfnunni.(i) y ′ +2y= cos(x) er dæmi um fyrsta stigs diffurjöfnu.(ii) xy ′′ +(x 2 +1)y ′ +3y=(x 4 +2x)ln(x) er dæmi um annars stigs diffurjöfnu.Lausn diffurjöfnu er sérhvert það fall sem uppfyllir diffurjöfnuna.(i) Með reikningi má sannreyna aðy=e 2x er lausn á diffurjöfnunniy ′ −2y= 0.því að séy ′ = 2e 2x ogy=e 2x sett inn í jöfnuna fæsty ′ −2y= 2e 2x −2e 2x = 0.(ii) Það má sannreyna aðy=x+1+2e x er lausn á diffurjöfnunniy ′ =y−x.101