Stæ 503 Seinni hluti Kaflar 4–6 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

96 KAFLI 5. RUNUR OG RAÐIRSamkvæmt sömu reglu er:a 15 =a 1 +14d= 120+14·(−7)svo a 15 = 22.Setning 5.2.2. Summunfyrstu liða mismunarunu má skrifa á eftirfarandi tvovegu:⎧nn·a1+a, n∈Z⎪⎨+2S n =⎪⎩ n· 2a 1+(n−1)d, n∈Z +2Sönnun. Þessi regla er sönnuð með aðferð sem eignuð er þýska stærðfræðingnumGauss. SummanS n er skrifuð tvisvar; fyrst frá fyrsta lið tiln-ta liðs og svo öfugt,frán-ta lið til þess fyrsta:S n =a 1 +(a 1 +d)+(a 1 +2d)+···+ ( a 1 +(n−1)d )S n =a n +(a n −d)+(a n −2d)+···+ ( a n −(n−1)d )Nú er lagt saman beggja vegna jafnaðarmerkis:og því fæst2S n =(a 1 +a n )+(a 1 +a n )+(a 1 +a n )+···+(a 1 +a n )=n(a 1 +a n )S n =n·a1+a n2Samkvæmt reglu 5.2.1 era n =a 1 +(n−1)d og því má einnig rita summunaS n áeftirfarandi formi:S n =n·a1+a n2=n·a1+[a 1 +(n−1)d]2=n· 2a 1+(n−1)d2Dæmi 5.2.9. Í leikhúsi eru 20 sætaraðir. Í fyrstu röð eru 17 sæti og í hverri röð þará eftir er fjöldi sæta tveimur fleiri en í röðinni á undan.(a) Hvað eru mörg sæti í 20. sætaröðinni?(b) Hvað eru sætin mörg alls í leikhúsinu?