Stæ 503 Seinni hluti Kaflar 4–6 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

90 KAFLI 5. RUNUR OG RAÐIR(2)P(n) ⇒P(n+1)Gerum ráð fyrir aðddx (xn )=nx n−1 (þrepunarforsenda)Viljum sýna aðd (xn+1 ) =[n+1]x [n+1]−1dx=(n+1)x nEnd (xn+1 ) = ddx dx (xn·x))= ddx (xn ) ·x+x n ddx (x)= nx n−1 ·x+x n·1, skv. þrepunarforsendu=nx n +x n=(n+1)x n5.1.4 ÆfingDæmi 1. Sannið eftirfarandi með þrepun:n∑(a) (3i−2)= 1 2 n(3n−1), n∈Z+ . (b)(c)(e)i=1n∑i=1n∑j=2i 3 = n2 (n+1) 2, n∈Z + (d)41j 2 −j = 1− 1 n , n∈Z+ ,n≥2.(f)n∑(4k−3)=n(2n−1), n∈Z + .k=1n∑r k = 1−rn+11−r , n∈Z,n≥0.r ≠ 1k=0n∑(2k−1) 2 = 1 3 n(4n2 −1), n∈Z + .k=1Dæmi 2. Sannið jöfnu (5.4) í dæmi 5.1.6 með þrepun.5.2 Runur og raðirRunurSkilgreining 5.2.1. Ef sérhverri náttúrlegri töluner úthlutað rauntölua n þámyndar raðaða mengið{a 1 ,a 2 ,a 3 ,...,a n ,...} sem táknað er með(a n )svokallaða rauntalnarunu. Stök rununnar kallast liðir rununnar. Þeir erutölusettirFyrsti liður rununnar era 1 , annar liður rununnar era 2 , þriðji liður rununnar era 3og svo framvegis.n-ti liður rununnar era n .