Stæ 503 Seinni hluti Kaflar 4–6 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

5.1. SUMMUTÁKNIÐ, ÞREPUN 89(2)P(n) ⇒P(n+1)Gerum ráð fyrir aðn∑Viljum sýna aðEnk=1n+1∑k=1n+1∑k=1k= n(n+1)2k= [n+1]([n+1]+1)2= (n+1)(n+2)2n∑k= k +(n+1)k=1= n(n+1)2= n(n+1)+2(n+1)2= n2 +3n+22= (n+1)(n+2)2(þrepunarforsenda)+(n+1), skv. þrepunarforsenduDæmi 5.1.9. Sannið með þrepun að eftirfarandi jafna gildir:P(n) :ddx (xn )=nx n−1 , n∈Z + .Sönnun. Fyrst er sýnt að jafnan er sönn fyrirn=1. Reiknað er út úr hægri hlið(HH) og vinstri hlið (VH) og borið saman:(1)P(1)d (VH: x1 ) = ddx dx x= 1HH: 1·x 1−1 = 1·x 0 = 1Jafnan er því sönn fyrirn=1.