Stæ 503 Seinni hluti Kaflar 4–6 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

88 KAFLI 5. RUNUR OG RAÐIRDæmi 5.1.7. Sönnum jöfnu (5.1) með þrepun, þ.e. sönnum aðn∑P(n) : (2k−1)=n 2 , n∈Z +k=1Sönnun. Fyrst er sýnt að jafnan er sönn fyrir n = 1. Reiknað er út úr hægri hlið(HH) og vinstri hlið (VH) og borið saman:(1)P(1)VH:Jafnan er því sönn fyrirn=1.(2)P(n) ⇒P(n+1)HH: 1 2 = 11∑(2k−1)=(2·1−1)=1k=1Gerum ráð fyrir aðn∑(2k−1)=n 2 (þrepunarforsenda)k=1Viljum sýna aðEnn+1∑(2k−1)=(n+1) 2k=1n+1∑(2k−1)=k=1n∑(2k−1) +(2·(n+1)−1)k=1= n 2 +(2·(n+1)−1), skv. þrepunarforsendu=n 2 +2n+1=(n+1) 2Dæmi 5.1.8. Notum þrepun til að sanna eftirfarandi:n∑P(n) : k= n(n+1) , n∈Z + (5.5)2k=1Sönnun. Fyrst er sýnt að jafnan er sönn fyrir n = 1. Reiknað er út úr hægri hlið(HH) og vinstri hlið (VH) og borið saman:(1)P(1)Jafnan er því sönn fyrirn=1.1(1+1)HH: = 121∑VH: k=1k=1