Stæ 503 Seinni hluti Kaflar 4–6 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

•••(12(12(12•(12(12(12(12(12(125.1. SUMMUTÁKNIÐ, ÞREPUN 87Dæmi 5.1.6. (12) 1 ( 1= 1− 12)) 1+) 2 (12= 1− 2)) 1+) 2+) 3 (= 1− 1 32)) 1+) 2+) 3+) 4 (= 1− 1 42)Þetta bendir til þess að:( 12) 1 ( ) 1 2 ( ) 1 3 ( ) 1 n ( ) 1 n+ + +···+ = 1− , n∈Z + (5.4)2 2 2 2Þrepasönnun er sérstök aðferð sönnunar sem notuð er til þess að sýna fram á aðtiltekin fullyrðing, til dæmis jafna (5.4) hér að ofan, sé sönn fyrir allar náttúrlegartölur. Aðferðin er eftirfarandi:Aðferð þrepunar. Gerum ráð fyrir aðP(n) sé fullyrðing um heiltölunan. Efhægt er að sýna að eftirfarandi gildir:(1)P(n 1 ) er sönn.(2) EfP(n) er sönn fyrir einhverja heiltölun≥n 1 þá erP(n+1) einnig sönn.Þá má álykta aðP(n) sé sönn fyrir allar heiltölurn≥n 1 .Þrepasönnun má líkja við ferð uppóendanlegan stiga.n 1nn+1(1) Fyrst er sýnt hvernig komast megi upp ífyrsta þrep stigans.(2) Svo er sýnt að sama hvar maður er staddurí stiganum þá getur maður stigið upp í næstaþrep.Oftast ern 1 = 1 en þó eru dæmi um fullyrðingarP(n) sem eru réttar fyrirn≥2,n≥3 eða hærra. Þá ern 1 = 2,n 1 = 3 eða hærra.Athugasemd 3. Forsendan í lið (2):Gerum ráð fyrir aðP(n) sé sönn fyrir einhverja heiltölunkallast þrepunarforsenda. Eins og kemur fram í eftirfarandi dæmum þá er þrepunarforsendanalltaf tiltekin í öðru skrefi sönnunarinnar.