Stæ 503 Seinni hluti Kaflar 4–6 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

4.2. RÚMMÁL SNÚÐA 77Um sérhvertx á bilinu[a,b] gildir semsagt aðV ′ (x)=π ( f(x) ) 2. Falliðy=V(x)er því stofnfall fallsinsy=π ( f(x) ) 2og því erV(x)=F(x)+k (4.2)þar semF(x) er eitthvert stofnfall fyrirπ ( f(x) ) 2. Ef við setjumainn fyrirx fæst:eðaV(a)=F(a)+k0=F(a)+k (vegna þess aðV(a)=0)Þar sem 0=F(a)+k þá hlýturk=−F(a) . Jöfnu (4.2) má því skrifa á forminuV(x)=F(x)−F(a)=∫ xaπ ( f(x) ) 2dx (4.3)Rúmmál snúðsins á bilinu [a,b] er V(b) eins og sést á mynd á blaðsíðu 75.Samkvæmt jöfnu (4.3) erV(b)=F(b)−F(a). Því fæst:Rúmmál snúðsins sem myndast við að ferli samfellds falls y = f(x) ≥ 0 á bili[a,b] er snúið einn hring umx-ás er:V =π∫ ba(f(x)) 2dx (4.4)Dæmi 4.2.1. Reiknum rúmmál snúðsins sem fram kemur þegar ferli fallsinsy= 1+x 2 er snúið umx-ás á bilinu[−1,1].Lausn:Samkvæmt jöfnu (4.4) er rúmmál snúðsins∫ 1−1V =π (1+x 2 ) 2 dx∫ 1=π (1+2x 2 +x 4 )dx−1[=π x+ 2 3 x3 + 1 ] 15 x5 −1=π(1+ 2 3·13 + 1 )5·15−π((−1)+ 2 3·(−1)3 + 1 )5·(−1)5=π·5615