Stæ 503 Seinni hluti Kaflar 4–6 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

••76 KAFLI 4. HAGNÝTING HEILDUNARf(x)y=f(x)f(x 0 )abÁ myndinni hér til hliðar er ferill fallsinsy = f(x) í stærri mælikvarða. Rúmmálsnúðsins á myndinni erV(x)−V(x 0 ) þvíþað er mismunur rúmmála tveggja snúða:Snúðsins sem ferill fallsins f(x) og x-ásafmarka á bilinu [a,x] og snúðsins semferill fallsinsf(x) ogx-ás afmarka á bilinu[a,x0 ].x 0xSnúðurinn hefur breiddina(x−x 0 ). Hann er stærri en sívalningur með hæð(x−x 0 )og radíusf(x 0 ) og minna en sívalningur með hæð(x−x 0 ) og radíusf(x). Þar semrúmmál sívalnings með radíusr og hæðherπr 2 h fæst tvöfalda ójafnanπ ( f(x 0 ) ) 2·(x−x0 )≤V(x)−V(x 0 )≤π ( f(x) ) 2·(x−x0 ).Þar sem(x−x 0 ) er jákvæð stærð er þetta jafngilt tvöföldu ójöfnunniπ ( f(x 0 ) ) 2≤V(x)−V(x 0 )x−x 0≤π ( f(x) ) 2. (4.1)Þegarxstefnir áx 0 þá stefnir ( f(x) ) 2á(f(x0 ) ) 2vegna þess aðf (og þar meðf 2 )er samfellt fall. KvótinnV(x)−V(x 0 )x−x 0er klemmdur á milli π ( f(x 0 ) ) 2og π(f(x)) 2. Hann hlýtur því líka að stefna áπ ( f(x 0 ) ) 2.Athugasemd 1. Hér á undan var gert ráð fyrir að x > x 0 . Sýna má að tvöfaldaójafnan (4.1) gildir einnig efx