Stæ 503 Seinni hluti Kaflar 4–6 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

Stæ 503Seinni hluti Kaflar 4–6Menntaskólinn við HamrahlíðHaust 2012

EfnisyfirlitEfnisyfirlit 24 Hagnýting heildunar 654.1 Flatarmál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.1.1 Svæði ákvarðað af einum ferli ogx-ás . . . . . . . . . . . . . . . . 654.1.2 Svæði ákvarðað af tveimur ferlum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.1.3 Æfing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.2 Rúmmál snúða . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.2.1 Snúður ákvarðast af einum ferli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.2.2 Snúður ákvarðast af tveimur ferlum . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.2.3 Æfing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805 Runur og raðir 835.1 Summutáknið, þrepun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.1.1 Summutáknið . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.1.2 Æfing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.1.3 Þrepun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.1.4 Æfing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.2 Runur og raðir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Runur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Raðir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.2.1 Æfing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.2.2 Mismuna- og kvótarunur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Mismunarunur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Kvótarunur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.2.3 Æfing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986 Diffurjöfnur 1016.1 Inngangur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.1.1 Æfing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.2 Diffurjöfnur með aðskiljanlegar breytur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.2.1 Æfing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.3 Línulegar diffurjöfnur af fyrsta stigi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.3.1 Æfing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082

64 EFNISYFIRLITSvör við æfingumÆfing 4.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Æfing 4.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Æfing 5.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Æfing 5.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Æfing 5.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Æfing 6.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Æfing 6.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Æfing 6.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .iivviviviiviiiviiiix

Kafli 4Hagnýting heildunar4.1 Flatarmál4.1.1 Svæði ákvarðað af einum ferli ogx-ásÍ kafla 2 var sýnt að ef ferill falls y = f(x) liggur ofan við x-ás þá má reiknaflatarmál svæðisins sem ferillinn og x-ás afmarka á bili [a,b] með því að reiknaákveðna heildið af fallinuf(x) á bilinu[a,b].y=f(x)AAy=f(x)ababA= ∫ ba f(x)dx=[ F(x) ] ba =F(b)−F(a)Ef ferill fallsins y = f(x) liggur fyrir neðan x-ás þá er ferill fallsins y = −f(x)fyrir ofan ásinn. Flatarmál svæðisins semx-ás og ferillf(x) afmarka á bili[a,b]er jafnt flatarmáli svæðisins semx-ás og ferilly=−f(x) afmarka.abay=f(x)by=f(x)A= ∫ ba −f(x)dx=−[ F(x) ] ba =−( F(b)−F(a) )65

66 KAFLI 4. HAGNÝTING HEILDUNARÞegar ferill fallsinsy =f(x) liggur að hluta til ofan viðx-ás og að hluta til neðanvið x-ás og finna á flatamál svæðisins á milli ferils ogx-áss þarf að finnax-hnitpunktanna þar sem ferillinn sker ásinn.a• • •x 1 x 2 x 3bÁ myndinni hér að ofan eru x-hnit skurðpunktanna þar sem ferillinn fer yfirx-ásinn kölluð x 1 , x 2 og x 3 . Heildarflatarmál svæðisins sem afmarkast af ferlifallsinsf(x) ogx-ás á bilinu[a,b] er:A=∫ x1a∫ x2∫ x3∫ b−f(x)dx+ f(x)dx+ −f(x)dx+ f(x)dxx 1 x 2 x 3=− [ F(x) ] x 1a +[ F(x) ] x 2x 1− [ F(x) ] x 3x 2+ [ F(x) ] bx 3Dæmi 4.1.1. Reiknum flatarmál svæðisins sem ferill fallsinsf(x)=2(1−x 2 ) ogx-ás afmarka.Lausn: Þar sem ekkert bil [a,b] er tiltekið þá ráðast heildunarmörk af skurðpunktumferils viðx-ás. Skurðpunktarnir eru fundnir með því að leysa jöfnunasvof(x)=0eða 2(1−x 2 )=02(1−x)(1+x)=0svo x=−1 eða x= 1.Þegar ferill fallsins er teiknaður sést að svæðið er ofan viðx-ás. Flatarmálið er þvíheildi fallsinsf(x) á bilinu[−1,1].−1• •1f(x)=2(1−x 2 )∫ 1 ∫ 1f(x)dx= 2(1−x 2 )dx−1 −1[ )] 1= 2(x− x33 −1= 2(1−1/3)−2(−1+1/3)= 4/3+4/3=8/3

4.1. FLATARMÁL 67Dæmi 4.1.2. Reiknum heildarflatarmál svæðisins sem ferill fallsinsf(x)=(x+1)sin(πx) ogx-ás afmarka á bilinu[−1,2].-1• 0 • •1 2•f(x)=(x+1)sin(πx)Lausn: Svæðið sem ferill f(x) og x-ás afmarka á bilinu [−1,2] er að hluta tilfyrir ofanx-ás og að hluta til fyrir neðanx-ás. Þess vegna er ekki hægt að reiknaflatarmál svæðisins með einu heildi. Tveir hlutar svæðisins eru fyrir neðanx-ásinnog einn hluti fyrir ofan x-ásinn; alls 3 hlutar. Heildarflatarmálið er því summaþriggja heilda:A=∫ 0 ∫ 1 ∫ 2−f(x)dx+ f(x)dx+ −f(x)dx−1 0 1Stofnfall fallsinsf(x) finnst með hlutheildun:∫(x+1)sin(πx)dx=(x+1)·−1π ·cos(πx)− ∫1·−1π cos(πx)dxHeildarflatarmál svæðisins er því:=− (x+1)cos(πx)π[ sin(πx)−π(x+1)cos(πx)A=−= 1 π + 3 π + 5 ππ 2+ 1 π · 1π ·sin(πx)= sin(πx)−π(x+1)cos(πx)π 2] 0−1[ ] 1 sin(πx)−π(x+1)cos(πx)+π 2 0[ ] 2 sin(πx)−π(x+1)cos(πx)−π 2 1= 9 π

•••4.1. FLATARMÁL 69Lausn: Heildið vinstra megin jafnaðarmerkis erflatarmál svæðis sem ferill f og x-ás afmarka ábilinu [−2,0]. Heildið hægra megin er flatarmálsvæðis sem ferillf ogx-ás afmarka á bilinu[0,2].Flatarmál þessara svæða eru auðreiknuð; 4 og 1.Jafnan verður því(−2,3)(0,1) (2,1)Þá erk=4.4=k·1−2 1 24.1.2 Svæði ákvarðað af tveimur ferlumSetning 4.1.1. Ef fölliny=f(x) ogy=g(x) eru samfelld á bili[a,b] ogg(x)≤f(x) fyrir öllx∈[a,b]þá er flatarmál svæðisins milli ferlanna á bilinu[a,b]A=∫ ba(f(x)−g(x))dx.Sönnun. Ef ferlar beggja falla eru ofan við x-ás þá er flatarmál svæðisins á milliferlanna mismunurinnA=A f −A g eins og sýnt er á myndinni hér að neðan.A ff(x)g(x)Af(x)A gg(x)abababA=A f −A g =∫ ba∫ bf(x)dx− g(x)dx=a∫ ba(f(x)−g(x))dxEf svæðið milli ferlanna er ekki allt ofan við x-ásinn þá er báðum ferlum hliðraðupp með því að leggja fasta jákvæða tölukviðf(x) ogg(x).f(x)+kAf(x)bAg(x)+kag(x)ab

g, neðri ferill•70 KAFLI 4. HAGNÝTING HEILDUNARFlatarmálið milli ferlanna er þáA=∫ ba((f(x)+k)−(g(x)+k)dx=∫ ba(f(x)−g(x))dxÞegar svæði er afmarkað af ferlum tveggja fallaf(x) ogg(x) þar semg(x)≤f(x)þá er ferill fallsinsf(x) kallaður efri ferill svæðisins og ferill fallsinsg(x) kallaðurneðri ferill svæðisins. Mismunurinnf(x)−g(x)=„Efri ferill−Neðri ferill “er heildaður fráatilbtil að ákvarða flatarmál svæðisins sem ferlarnir afmarka.Af , efri ferillSvæðið afmarkast að ofan af efri ferli,y = f(x) og að neðan af neðri ferli,y=g(x).A=∫ ba( Efri ferill−Neðri ferill ) dx=∫ ba(f(x)−g(x))dxabDæmi 4.1.5. Finnum flatarmál svæðisins sem ferlar fallanna f(x) = 2x ogg(x)=x 2 −4x afmarka.Lausn: Þegar ferlar fallanna eru teiknaðir í hnitakerfið sést að fleygboginng(x) = x 2 − 4x myndar neðri feril og línan f(x) = 2x er efri ferill. Ekkert erminnst á bil[a,b] sem heilda á yfir svo heildunarmörkin ráðast af skurðpunktumferlanna sem eru(0,0) og(6,12); heildað er yfir bilið[0,6].f(x)=2xAg(x)=x 2 − 4x(6,12)A====∫ 60∫ 60∫ 60(f(x)−g(x))dx([2x]−[x 2 −4x] ) dx(6x−x 2 )] 6 [3x 2 − x33 0= 3·36− 633 = 36

•4.1. FLATARMÁL 71Athugum hvernig reikna á flatarmál skyggða svæðisins á meðfylgjandi mynd.y=f(x)y=g(x)f efriferill• •gefriferillf efri ferilla x 1 x 2 bA=∫ x1aFlatarmálið er sem summa heilda:∫( ) x2∫( ) b( )f(x)−g(x) dx+ g(x)−f(x) dx+ f(x)−g(x) dxx 1 x 2Dæmi 4.1.6. Finnum flatarmál skyggða svæðisins sem föllin f(x) = x + 1 ogg(x)=x 2 −1 afmarka á bilinu[−2,2].Lausn: Ferlarnir eru teiknaðir í hnitakerfi til að sjá hvort þeir skerist og hvaða feriller efri ferill. Ferlarnir skerast í (−1,0) og (2,3). Fallið f er neðri ferill á bilinu[−2,−1] en efri ferill á bilinu[−1,2]. Flatarmál skyggða svæðisins erg(x)f(x)•(2,3)A=∫ −1−2(g(x)−f(x))dx∫ 2( )+ f(x)−g(x) dx−1=∫ −1−2([x 2 −1]−[x+1] ) dx∫ 2(+ [x+1]−[x 2 −1] ) dx−1−2 −1 2=∫ −1−2[ x3=(x 2 −x−2 ) dx+3 −x2 2 −2x ] −1−2∫ 2−1(2+x−x2 ) dx] 2+[2x+ x22 −x3 3 −1= 11 6 + 9 2 = 19 34.1.3 ÆfingDæmi 1. Teiknið feril gefna fallsins.fallsins ogx-ás afmarka.Finnið flatarmál svæðisins sem ferill(a)f(x)=x 3 á bilinu[0,3]. (b)f(x)=4−x 2 .(c)f(x)=x 3 −4x á bilinu[−2,0].(d)f(x)=x 3 −4x á bilinu[2,4].

•••4.1. FLATARMÁL 73Dæmi 6. Skoðum feril fallsinsf(x)=x 3 −x 2 −4x+4.∫ 2(a) Reiknið heildið f(x)dx.−2(b) Er gildi heildisins jafnt heildarflatarmáliskyggða svæðisins? Rökstyðjið svarið.−21 2Dæmi 7. Gefið er falliðy= ln ( tan(x) ) 0

74 KAFLI 4. HAGNÝTING HEILDUNARDæmi 10. Myndin sýnir feril fallsinsf(x)= √ x og snertil ferilsins í punkti meðx=a.P(a,f(a))•(a) Finnið jöfnu snertils í punktinumP.(b) Finnið flatarmál skyggða svæðisins.

•••••4.2. RÚMMÁL SNÚÐA 754.2 Rúmmál snúða4.2.1 Snúður ákvarðast af einum ferliGerum ráð fyrir falliðy=f(x) sé samfellt og jákvætt á bili[a,b]. Ferill fallsins ogogx-ás afmarka svæði. Ef svæðinu er snúið einn hring umx-ás mun það mynda3-víðan hlut, svokallaðan snúð, meðx-ásinn sem samhverfuás.y=f(x)abSetning 4.2.1. Rúmmál snúðsins sem fæst við að snúa svæðinu, sem afmarkastafx-ás og ferli jákvæðs samfellds fallsy =f(x) á bili[a,b], einn hring umx-ás er( ) 2dxV =π f(x)∫ baSönnun. Gerum ráð fyrir aðy =f(x)≥0, samfellt og vaxandi fall á bilinu[a,b].LátumV(x) tákna rúmmál snúðsins sem fæst með því að snúa svæðinu milli ferilsf og x-áss á bilinu [a,x] þar sem a ≤ x ≤ b. Eins og sjá má á meðfylgjandimyndum verðurV(x) því stærra semx er stærra.V(x) er því fall afx.y=f(x)y=f(x)y=f(x)bb•V(x)V(x)axaxV(b)ax=b

••76 KAFLI 4. HAGNÝTING HEILDUNARf(x)y=f(x)f(x 0 )abÁ myndinni hér til hliðar er ferill fallsinsy = f(x) í stærri mælikvarða. Rúmmálsnúðsins á myndinni erV(x)−V(x 0 ) þvíþað er mismunur rúmmála tveggja snúða:Snúðsins sem ferill fallsins f(x) og x-ásafmarka á bilinu [a,x] og snúðsins semferill fallsinsf(x) ogx-ás afmarka á bilinu[a,x0 ].x 0xSnúðurinn hefur breiddina(x−x 0 ). Hann er stærri en sívalningur með hæð(x−x 0 )og radíusf(x 0 ) og minna en sívalningur með hæð(x−x 0 ) og radíusf(x). Þar semrúmmál sívalnings með radíusr og hæðherπr 2 h fæst tvöfalda ójafnanπ ( f(x 0 ) ) 2·(x−x0 )≤V(x)−V(x 0 )≤π ( f(x) ) 2·(x−x0 ).Þar sem(x−x 0 ) er jákvæð stærð er þetta jafngilt tvöföldu ójöfnunniπ ( f(x 0 ) ) 2≤V(x)−V(x 0 )x−x 0≤π ( f(x) ) 2. (4.1)Þegarxstefnir áx 0 þá stefnir ( f(x) ) 2á(f(x0 ) ) 2vegna þess aðf (og þar meðf 2 )er samfellt fall. KvótinnV(x)−V(x 0 )x−x 0er klemmdur á milli π ( f(x 0 ) ) 2og π(f(x)) 2. Hann hlýtur því líka að stefna áπ ( f(x 0 ) ) 2.Athugasemd 1. Hér á undan var gert ráð fyrir að x > x 0 . Sýna má að tvöfaldaójafnan (4.1) gildir einnig efx

4.2. RÚMMÁL SNÚÐA 77Um sérhvertx á bilinu[a,b] gildir semsagt aðV ′ (x)=π ( f(x) ) 2. Falliðy=V(x)er því stofnfall fallsinsy=π ( f(x) ) 2og því erV(x)=F(x)+k (4.2)þar semF(x) er eitthvert stofnfall fyrirπ ( f(x) ) 2. Ef við setjumainn fyrirx fæst:eðaV(a)=F(a)+k0=F(a)+k (vegna þess aðV(a)=0)Þar sem 0=F(a)+k þá hlýturk=−F(a) . Jöfnu (4.2) má því skrifa á forminuV(x)=F(x)−F(a)=∫ xaπ ( f(x) ) 2dx (4.3)Rúmmál snúðsins á bilinu [a,b] er V(b) eins og sést á mynd á blaðsíðu 75.Samkvæmt jöfnu (4.3) erV(b)=F(b)−F(a). Því fæst:Rúmmál snúðsins sem myndast við að ferli samfellds falls y = f(x) ≥ 0 á bili[a,b] er snúið einn hring umx-ás er:V =π∫ ba(f(x)) 2dx (4.4)Dæmi 4.2.1. Reiknum rúmmál snúðsins sem fram kemur þegar ferli fallsinsy= 1+x 2 er snúið umx-ás á bilinu[−1,1].Lausn:Samkvæmt jöfnu (4.4) er rúmmál snúðsins∫ 1−1V =π (1+x 2 ) 2 dx∫ 1=π (1+2x 2 +x 4 )dx−1[=π x+ 2 3 x3 + 1 ] 15 x5 −1=π(1+ 2 3·13 + 1 )5·15−π((−1)+ 2 3·(−1)3 + 1 )5·(−1)5=π·5615

78 KAFLI 4. HAGNÝTING HEILDUNARDæmi 4.2.2. Reiknum rúmmál snúðsins sem fram kemur þegar ferli fallsinsy= √ x er snúið umx-ás á bilinu[0,2].Lausn:Samkvæmt jöfnu (4.4) er rúmmál snúðsinsV =π=π∫ 20∫ 20(√x) 2dxxdx[ ] 1 2=π2 x2 0( 1=π2·22 − 1 )2·02= 2πSetning 4.2.2 (Rúmmál kúlu). Rúmmál kúlu með radíusR erV = 4 3 πR3 .Sönnun. Kúla með radíus R myndast þegar hálfhring með radíus R er snúið umx-ás.Jafna hálfhringsins erx 2 +y 2 =R 2 , y≥ 0. Þegar jafnan er leyst fyriry fæst:y= √ R 2 −x 2 −R≤x≤RHálfhringurinn er því ferill fallsinsf(x)= √ R 2 −x 2 , −R≤x≤R.

4.2. RÚMMÁL SNÚÐA 79Samkvæmt jöfnu (4.4) er rúmmál kúlunnar∫ R−R(√V =π R 2 −x 2) 2dx∫ R=π (R 2 −x 2 )dx−R[=π R 2 x− 1 ] R3 x3 −R=π(R 2·R− 1 )3·R3 −π(R 2·(−R)− 1 )3·(−R)3= 4 3 πR34.2.2 Snúður ákvarðast af tveimur ferlumÞegar svæði, sem snúið er um x-ás, ákvarðast af ferlum tveggja falla,y = f(x)og y=g(x), og báðir ferlarnir liggja sömu megin við snúningsás, þá er rúmmálsnúðsins sem myndast við snúninginn mismunur rúmmála þeirra snúða sem framkoma þegar ferlum fallannaf ogg er snúið um ásinn.y=f(x)y=g(x)ababSnúðurinn sem ferill fallsins f(x) myndar hefur stærri radíus en snúðurinn semferill fallsinsg(x) myndar. Rúmmál snúðsins sem myndast við snúning svæðisinsmilli ferlanna er þvíV =π∫ ba(f(x)) 2dx−π∫ ba(g(x)) 2dxeðaV =π∫ ba((f(x)) 2− (g(x)) 2 )dx (4.5)

80 KAFLI 4. HAGNÝTING HEILDUNARDæmi 4.2.3. Reiknum rúmmál snúðsins sem myndast þegar svæðinu, sem ferlarniry= √ x ogy=x 2 afmarka, er snúið einn hring umx-ás.Lausn:Þegar ferlarnir tveir eru teiknaðir sést aðy= √ x myndar stærri snúðinn.y=x 2 y= √ x1Samkvæmt jöfnu (4.5) er rúmmál snúðsinsV =π∫ 10((√x) 2− (x2 ) 2)dx∫ 1=π (x−x 4 )dx0[ 1=π2 x2 − 1 ] 15 x5 0( 1=π2 5)− 1= 3π104.2.3 ÆfingDæmi 1. Í hverjum lið hér á eftir afmarka tveir ferlar svæði. Finnið rúmmál snúðsinssem fram kemur þegar umræddu svæði er snúið hring umx-ásinn.(a)y=x 2 ogx-ás á bilinu[0,3].(b)y= 1−x 2 ogx-ás.(c)y=x 2 +1 ogy=x+3. (d)y= 6−x 2 ogy= 2.(e)y=x 2 ogy= 8−x 2 .

••4.2. RÚMMÁL SNÚÐA 81Dæmi 2. Finnið rúmmál snúðsins sem fram kemur þegar svæðinu sem afmarkastaf gefna ferlinum ogx-ás er snúið umx-ásinn á bilinu[2,4].(a)f(x)= 1 2 x+1. (b)f(x)=x2 +1. (c)f(x)=xe x .(d)f(x)= √ x. (e)f(x)=e x +2e −x . (f)f(x)=sinDæmi 3.( πx4).Á myndinni sést ferill jöfnunnary 2 =x(5−x) 2(a) Finnið flatarmál skyggða svæðisins.(b) Finnið rúmmál snúðsins sem myndastþegar svæðinu er snúið umx-ás.Dæmi 4.ABC 2Á myndinni sjást ferlar fallannaf(x)= 9ln(x) og g(x)=xln(x).xC (a) Ákvarðið hvort fallið f eða g myndar1ferilinnC 1 og hvort myndar ferilinnC 2 .(b) Finnið hnit punktannaAogB.(c) Finnið flatarmál skyggða svæðisins.(d) Finnið rúmmál snúðsins sem myndastþegar svæðinu er snúið umx-ás.

Kafli 5Runur og raðir5.1 Summutáknið, þrepun5.1.1 SummutákniðÍ stærðfræði kemur sú staða oft upp að leggja þarf saman og finna summumikils fjölda talna. Summutáknið gerir mögulegt að skammstafa slíka samlagningu.Þannig ern∑k=1skammstöfun áa 1 +a 2 +a 3 +a 4 +···+a n , summuntalna. Í skammstöfuninnisést eftirfarandi:summutáknvísirn∑a kendira kk=1byrjunliðir• summutákn gefur til kynna að skammstöfunin táknar samlagningu.• vísir er notaður til að tölusetja liði summunnar. Vísirinn tekur heiltölugildi.• byrjun er fyrsta gildi vísis. Oftast er byrjunargildið 1 eða 0 en getur veriðhvaða heiltala sem er.• endir er lokagildi vísis. Vísirinn tekur öll heiltölugildi frá og með byrjunargilditil og með lokagildi.• liðir summunnar eru oftast tilteknir með formúlu sem framkallar liðina jafnóðum og vísirinn hækkar.a k er liður númerkísummunni.83

84 KAFLI 5. RUNUR OG RAÐIRÓlíkir bókstafir notaðir til að tákna vísi:Vísi summu má tákna með mismunandi bókstöfum og því eru eftirfarandi summurjafnarn∑ n∑ n∑ n∑a k = a j = a q = a i ... og svo framvegis.k=1 j=1 q=1 i=1Jaðargildi summutáknsins:(i) Með summutákninu má tákna „summu“ einnar tölu. Ef byrjunargildi vísis erþað sama og lokagildi vísis þá hefur summan aðeins einn lið.3∑2 k = 2 3 ,k=30∑2j= 2·0=0,j=050∑i=501i = 1 50(ii) Ef byrjunargildi vísis er hærra en lokagildi þá er summan skilgreind sem 0.2∑2 k = 0,k=47∑(2j+1)=0,j=1119∑i=201i = 0Dæmi 5.1.1. Reiknum summurnar5∑(a) (2k+1)k=1Lausn: (a) Hér er fyrsta gildi vísisins k = 1. Fyrsti liður summunnar verður því(2·1+1). Síðan er gildi vísisins hækkað um 1 í hvert sinn sem nýr liður summunnarer framkallaður uns hæsta og síðasta gildi vísisins er náð,k=5. Summan verðurþví5∑(2k+1)=(2·1+1)+(2·2+1)+(2·3+1)+(2·4+1)+(2·5+1)k=1= 3+5+7+9+11= 35(b) Hér er fyrsta gildi vísisinsi=0sem framkallar fyrsta lið summunnar 2 0 . Nýirliðir eru svo framkallaðir, koll af kolli, uns vísirinn hefur náð sínu hæsta og síðastagildi,i=7. Summan er(b)7∑i=07∑2 i = 2 0 +2 1 +2 2 +2 3 +2 4 +2 5 +2 6 +2 7i=0= 1+2+4+8+16+32+64+128= 2552 i

5.1. SUMMUTÁKNIÐ, ÞREPUN 85Dæmi 5.1.2. Skrifum eftirfarandi summur með summutákni.(a) 1+3+5+7+···+51Lausn: Hér eru lagðar saman oddatölur frá 1 til 51. a k = 2k−1 er oddatala fyrirallar heiltölurkog summuna má því skrifa sem1+3+5+7+···+51=26∑k=1(2k−1)Athugið aða k = 2k+1 er líka oddatala og summuna má því einnig skrifa sem1+3+5+7+···+51=(b) 2+4+6+8+···+100.25∑k=0(2k+1)Lausn: Hér eru lagðar saman sléttar tölur frá 2 upp í 100. a k = 2k er slétt talafyrir allar heiltölurkog summuna má því skrifa sem2+4+6+8+···+100=50∑k=12kAthugasemd 2. Ef lagðir eru samann+1 liðir,a 1 ,a 2 ,a 3 ,...,a n ,a n+1 þá má skrifan+1∑k=1a k ===n∑a k +a n+1k=1n−1∑k=1n−2∑k=1=···q∑= a k +k=1a k +(a n +a n+1 )a k +(a n−1 +a n +a n+1 )n∑k=q+1a kef 1≤q≤n5.1.2 ÆfingDæmi 1. Reiknið summurnar3∑(a) i 34∑(b) (j 2 +1)5∑(c)(d)i=16∑(5r−2)(e)j=26∑n(n+1)r=4n=3k=3(f)k=3k 35∑(k+1)(k+2)

86 KAFLI 5. RUNUR OG RAÐIRDæmi 2. Skammstafið eftirfarandi summur með summutákni.(a) 1+4+9+16 (b) 3+5+7+9+11+13(c) 3+6+11+18 (d) 0+2+6+12+20+30+42(e) 4+5+6+7+8+9 (f) 2+6+12+20+30+42+56Dæmi 3. Skrifið án summutákns. Sýnið fyrstu þrjá og síðustu tvo liði summunnar.n∑n∑n+1∑(a) k(k+3)(b) k2 k1(c)k(k+1)k=15.1.3 Þrepunk=1Mengi heiltalna,{...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}, er táknað meðZ. Jákvæði hluti þessamengis,{1,2,3,...}, er táknaður meðZ + .k=1Dæmi 5.1.3. Mynstrið1 = 1 21 + 3 = 2 21 + 3 + 5 = 3 21 + 3 + 5 + 7 = 4 2sýnir að fyrsta oddatalan og summur fyrstu tveggja, fyrstu þriggja og fyrstufjögurra oddatalna eru ferningar. Giska má á eftirfarandi formúlu:1+3+5+···+(2n−1)=n 2 , n∈Z + (5.1)Með öðrum orðum að summa fyrstunoddatalnanna sé ferningurinnn 2 .Dæmi 5.1.4. Lítum á stærðina 4n 3 − 18n 2 + 32n−15 og reiknum gildið fyrirn=1,2,3,4.n 1 2 3 44n 3 −18n 2 +32n−15 3 9 27 81Svo virðist sem stærðin 4n 3 −18n 2 +32n−15 sé veldi af þremur. Þetta bendir tilþess að:4n 3 −18n 2 +32n−15=3 n , n∈Z + . (5.2)Dæmi 5.1.5. Athugum eftirfarandi afleiður:( ) 1 ′= −1 ( ) 1 ′′x x 2, = 1·2 ( ) 1 ′′′x x 3 , = −1·2·3x x 4 ,( 1x) (4)= 1·2·3·4Þetta bendir til þess að:( ) 1 (n)= (−1)n·1·2·3·····nx x n+1 , n∈Z + . (5.3)x 5

•••(12(12(12•(12(12(12(12(12(125.1. SUMMUTÁKNIÐ, ÞREPUN 87Dæmi 5.1.6. (12) 1 ( 1= 1− 12)) 1+) 2 (12= 1− 2)) 1+) 2+) 3 (= 1− 1 32)) 1+) 2+) 3+) 4 (= 1− 1 42)Þetta bendir til þess að:( 12) 1 ( ) 1 2 ( ) 1 3 ( ) 1 n ( ) 1 n+ + +···+ = 1− , n∈Z + (5.4)2 2 2 2Þrepasönnun er sérstök aðferð sönnunar sem notuð er til þess að sýna fram á aðtiltekin fullyrðing, til dæmis jafna (5.4) hér að ofan, sé sönn fyrir allar náttúrlegartölur. Aðferðin er eftirfarandi:Aðferð þrepunar. Gerum ráð fyrir aðP(n) sé fullyrðing um heiltölunan. Efhægt er að sýna að eftirfarandi gildir:(1)P(n 1 ) er sönn.(2) EfP(n) er sönn fyrir einhverja heiltölun≥n 1 þá erP(n+1) einnig sönn.Þá má álykta aðP(n) sé sönn fyrir allar heiltölurn≥n 1 .Þrepasönnun má líkja við ferð uppóendanlegan stiga.n 1nn+1(1) Fyrst er sýnt hvernig komast megi upp ífyrsta þrep stigans.(2) Svo er sýnt að sama hvar maður er staddurí stiganum þá getur maður stigið upp í næstaþrep.Oftast ern 1 = 1 en þó eru dæmi um fullyrðingarP(n) sem eru réttar fyrirn≥2,n≥3 eða hærra. Þá ern 1 = 2,n 1 = 3 eða hærra.Athugasemd 3. Forsendan í lið (2):Gerum ráð fyrir aðP(n) sé sönn fyrir einhverja heiltölunkallast þrepunarforsenda. Eins og kemur fram í eftirfarandi dæmum þá er þrepunarforsendanalltaf tiltekin í öðru skrefi sönnunarinnar.

88 KAFLI 5. RUNUR OG RAÐIRDæmi 5.1.7. Sönnum jöfnu (5.1) með þrepun, þ.e. sönnum aðn∑P(n) : (2k−1)=n 2 , n∈Z +k=1Sönnun. Fyrst er sýnt að jafnan er sönn fyrir n = 1. Reiknað er út úr hægri hlið(HH) og vinstri hlið (VH) og borið saman:(1)P(1)VH:Jafnan er því sönn fyrirn=1.(2)P(n) ⇒P(n+1)HH: 1 2 = 11∑(2k−1)=(2·1−1)=1k=1Gerum ráð fyrir aðn∑(2k−1)=n 2 (þrepunarforsenda)k=1Viljum sýna aðEnn+1∑(2k−1)=(n+1) 2k=1n+1∑(2k−1)=k=1n∑(2k−1) +(2·(n+1)−1)k=1= n 2 +(2·(n+1)−1), skv. þrepunarforsendu=n 2 +2n+1=(n+1) 2Dæmi 5.1.8. Notum þrepun til að sanna eftirfarandi:n∑P(n) : k= n(n+1) , n∈Z + (5.5)2k=1Sönnun. Fyrst er sýnt að jafnan er sönn fyrir n = 1. Reiknað er út úr hægri hlið(HH) og vinstri hlið (VH) og borið saman:(1)P(1)Jafnan er því sönn fyrirn=1.1(1+1)HH: = 121∑VH: k=1k=1

5.1. SUMMUTÁKNIÐ, ÞREPUN 89(2)P(n) ⇒P(n+1)Gerum ráð fyrir aðn∑Viljum sýna aðEnk=1n+1∑k=1n+1∑k=1k= n(n+1)2k= [n+1]([n+1]+1)2= (n+1)(n+2)2n∑k= k +(n+1)k=1= n(n+1)2= n(n+1)+2(n+1)2= n2 +3n+22= (n+1)(n+2)2(þrepunarforsenda)+(n+1), skv. þrepunarforsenduDæmi 5.1.9. Sannið með þrepun að eftirfarandi jafna gildir:P(n) :ddx (xn )=nx n−1 , n∈Z + .Sönnun. Fyrst er sýnt að jafnan er sönn fyrirn=1. Reiknað er út úr hægri hlið(HH) og vinstri hlið (VH) og borið saman:(1)P(1)d (VH: x1 ) = ddx dx x= 1HH: 1·x 1−1 = 1·x 0 = 1Jafnan er því sönn fyrirn=1.

90 KAFLI 5. RUNUR OG RAÐIR(2)P(n) ⇒P(n+1)Gerum ráð fyrir aðddx (xn )=nx n−1 (þrepunarforsenda)Viljum sýna aðd (xn+1 ) =[n+1]x [n+1]−1dx=(n+1)x nEnd (xn+1 ) = ddx dx (xn·x))= ddx (xn ) ·x+x n ddx (x)= nx n−1 ·x+x n·1, skv. þrepunarforsendu=nx n +x n=(n+1)x n5.1.4 ÆfingDæmi 1. Sannið eftirfarandi með þrepun:n∑(a) (3i−2)= 1 2 n(3n−1), n∈Z+ . (b)(c)(e)i=1n∑i=1n∑j=2i 3 = n2 (n+1) 2, n∈Z + (d)41j 2 −j = 1− 1 n , n∈Z+ ,n≥2.(f)n∑(4k−3)=n(2n−1), n∈Z + .k=1n∑r k = 1−rn+11−r , n∈Z,n≥0.r ≠ 1k=0n∑(2k−1) 2 = 1 3 n(4n2 −1), n∈Z + .k=1Dæmi 2. Sannið jöfnu (5.4) í dæmi 5.1.6 með þrepun.5.2 Runur og raðirRunurSkilgreining 5.2.1. Ef sérhverri náttúrlegri töluner úthlutað rauntölua n þámyndar raðaða mengið{a 1 ,a 2 ,a 3 ,...,a n ,...} sem táknað er með(a n )svokallaða rauntalnarunu. Stök rununnar kallast liðir rununnar. Þeir erutölusettirFyrsti liður rununnar era 1 , annar liður rununnar era 2 , þriðji liður rununnar era 3og svo framvegis.n-ti liður rununnar era n .

5.2. RUNUR OG RAÐIR 91Athugasemd 4. Algengt er að nota aðra bókstafi, t.d. s n , x n , u n í stað a n til aðtákna liði runu.Athugasemd 5. Í sumum tilfellum er hentugt að tala um endanlega runu. Meðendanlegri rauntalnarunu er átt við endanlegt raðað mengi rauntalna{a 1 ,a 2 ,a 3 ,···,a n }Til aðgreiningar frá endanlegum runum þá er runan sem nefnd er í skilgreiningu5.2.1 oft sögð vera óendanleg. Í þessum kafla mun hugtakið runa alltaf veranotað um óendanlegar runur nema annað sé skýrt tekið fram.Dæmi 5.2.1. Algengustu dæmin um runur eru þannig að tiltekin jafna segir til ummeð hvaða hættin-ti liður rununnar er fundinn. Jafnana n = 1 n , n∈Z+skilgreinir því rununa1, 1 2 , 1 3 ,···, 1 n ,···.Dæmi 5.2.2. Stundum eru tvær eða fleiri formúlur notaðar til að skilgreina rununa.a 2n−1 = 1, a 2n = 2n 2 , n∈Z +Níu fyrstu liðir rununnar eru1,2,1,8,1,18,1,32,1.Dæmi 5.2.3. Algeng aðferð til að skilgreina runur er að útskýra hvernig reikna skuliliðina út frá gefinni byrjun, svokallaðri rakningarformúlu.a 1 =a 2 = 1, a n+1 =a n +a n−1fyrirn∈Z + ogn≥2.Í þessu tilfelli ákveður rakningarformúlan mjög þekkta runu talna, svokallaðaFibonacci runu † . Nokkrir fyrstu liðir rununnar eru:1,1,2,3,5,8,13,21,34,...† Fibonacci, einnig þekktur sem Leonardo frá Pisa ( 1175-1250), notaði þessa runu við rannsókná fjölda kanína.

92 KAFLI 5. RUNUR OG RAÐIRDæmi 5.2.4. Finnum fimm fyrstu liði rununnar sem er skilgreind á eftirfarandihátt:(a)a n = 2n−1(b)x n = (−1)n−1n(c)u n = 2n −1(d)s2 n n = (−1)n−1 nn+1Lausn:(a) 1,3,5,7,9,... (b) 1,− 1 2 , 1 3 ,−1 4 , 1 5 ,...(c) 1 2 , 3 4 , 7 8 , 1516 , 3132 ,... (d) 1 2 ,−2 3 , 3 4 ,−4 5 , 5 6 ,...Dæmi 5.2.5. Ákvörðumn-ta lið hverrar runu.(a) 1, 1 4 , 1 9 , 1,... (b) 3, 6, 9, 12,...16(c) 1,− 1 3 , 1 5 ,−1 ,... (d) 5, 9, 13, 17,...7Lausn: (a) Nefnarar liðanna í þessari runu eru ferningar. Liðina má rita á forminuÞá má álykta aðn-ti liðurinn séa n = 1 n 2 .1 1 1 11 2, 2 2, 3 2, 4 2,···(b) Liðirnir eru allir margfeldi af þremur. Liðina má rita á forminusvon-ti liðurinn era n = 3·n.3·1, 3·2, 3·3, 3·4,...(c) Nefnarar gefnu liðanna eru oddatölur í vaxandi röð og formerki er til skiptis+og−.n-ti liðurinn er þvía n = (−1)n−12n−1(d) Í þessari runu er bilið milli samliggjandi liða fjórir; frá og með öðrum lið er hverliður 4 stærri en liðurinn á undan. Liðina má rita svona4·1+1, 4·2+1, 4·3+1, 4·4+1,...Því má álykta aðn-ti liðurinn séa n = 4·n+1.

5.2. RUNUR OG RAÐIR 93Dæmi 5.2.6. Finnum fimm fyrstu liði rununnar sem skilgreind er með eftirfarandirakningarformúlu:(a) a 1 =−2a n = 1−2a n−1 , n≥2Lausn: (a)a 2 = 1−2a 1 = 1−2(−2)=5a 3 = 1−2a 2 = 1−2(5)=−9(b) a 1 = 1a 2 = 3a n = a n−2+a n−12a 4 = 1−2a 3 = 1−2(−9)=19a 5 = 1−2a 4 = 1−2(19)=−37(b)a 3 = a 1+a 22a 4 = a 2+a 32= 1+32= 3+22= 2= 5 2a 5 = a 3+a 42= 2+ 5 22= 9 4RaðirSkilgreining 5.2.2. Efa 1 ,a 2 ,a 3 ,...,a n er endanleg runa þá er summana 1 +a 2 +a 3 +···+a nkölluð endanleg röð eða einfaldlega röð.Röðina 1 +a 2 +a 3 +···+a ner oft skammstöfuð með summutákninu á eftirfarandi hátt:n∑a 1 +a 2 +a 3 +···+a n =Þegar unnið er með raðir þá er áhersla lögð á hlutsummur. Hlutsummur raðarinnarn∑a k =a 1 +a 2 +a 3 +···+a nk=1eru:fyrsta hlutsumma: S 1 =a 1 ,önnur hlutsumma: S 2 =a 1 +a 2 ,þriðja hlutsumma: S 3 =a 1 +a 2 +a 3 ,.n∑n-ta hlutsumma: S n = a k .k=0k=1a k

94 KAFLI 5. RUNUR OG RAÐIR5.2.1 ÆfingDæmi 1. Finnið fyrstu þrjá liði rununnar sem hefur þannn-ta lið sem tiltekinn er:(a)a n = 2n(12 n−1(b)a n =3n+1 n 2 (c)a n =+13)Dæmi 2. Skrifið niður næstu þrjá liði rununnar sem byrjar svona:(a) 1, 1 3 , 1 9 , 1 27 , 181 ,... (b) 1, 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 ,...Dæmi 3. Finniðn-ta lið rununnar sem byrjar svona:(a) 1, 1 3 , 1 5 , 1 7 ,... (b) 1 3 , 1 6 , 1 9 , 1 12 ,...Dæmi 4. Eftirfarandi runur eru skilgreindar með rakningarformúlum. Finnið fimmfyrstu liði hverrar runu(a)a 1 = 2, a n = 2 3 a n−1, n≥2.(b)a 1 = 1, a 2 = 1, a n =a n−1 +a n−2 , n≥3.(c)a 1 = 2, a n = √ 2+a n−1 , n≥2.5.2.2 Mismuna- og kvótarunurMimunarunur og kvótarunur eru tveir mikilvægir flokkar runa.MismunarunurSkilgreining 5.2.3. Runa (a n ) kallast mismunaruna ef mismunur samliggjandiliða er ávallt fasti. Þetta þýðir að jafnana n+1 =a n +d (5.6)gildir fyrir ölln∈Z + . Talandkallast mismunur rununnar.Setning 5.2.1. Ef(a n ) er mismunaruna með mismundþá gildir eftirfarandi:a n =a 1 +(n−1)d, n∈Z +Sönnun. Þessi regla er sönnuð með þrepun. Fyrst er sýnt að jafnan er rétt fyrirn=1. Reiknað er út úr hægri hlið (HH) og vinstri hlið (VH) og borið saman:(1)P(1)HH:a 1 +(1−1)d=a 1 +0·d=a 1 .VH: a 1 .

5.2. RUNUR OG RAÐIR 95Jafnan er því rétt fyrirn=1.(2)P(n) ⇒P(n+1)Gerum ráð fyrir aða n =a 1 +(n−1)d (þrepunarforsenda)Viljum sýna aða n+1 =a 1 +([n+1]−1)d=a 1 +ndEn a n+1 = a n +d= a 1 +(n−1)d +d, skv. þrepunarforsendu=a 1 +nd−d+d=a n +ndAthugasemd 6. Efs ogt eru jákvæðar heilar tölur þá gildir eftirfarandi:a s =a t +(s−t)dDæmi 5.2.7. (a) Runan1,2,3,4,...er mismunaruna með mismund=1.(b) Runan1,3,5,7,...er mismunaruna með mismund=2. Hér ern-ta oddatalana n = 1+(n−1)·2, n∈Z + .(c) Runan2,4,6,8,...er mismunaruna með mismund=2. Hér ern-ta slétta talana n = 2+(n−1)·2 n∈Z + .Dæmi 5.2.8. Í mismunarunu er a 1 = 120 og a 10 = 57. Finnum mismuninn ogfimmtánda lið rununnar,a 15 .Lausn: Samkvæmt reglu 5.2.1 gildira 10 =a 1 +9d svo 57=120+9d og því d=−7.

96 KAFLI 5. RUNUR OG RAÐIRSamkvæmt sömu reglu er:a 15 =a 1 +14d= 120+14·(−7)svo a 15 = 22.Setning 5.2.2. Summunfyrstu liða mismunarunu má skrifa á eftirfarandi tvovegu:⎧nn·a1+a, n∈Z⎪⎨+2S n =⎪⎩ n· 2a 1+(n−1)d, n∈Z +2Sönnun. Þessi regla er sönnuð með aðferð sem eignuð er þýska stærðfræðingnumGauss. SummanS n er skrifuð tvisvar; fyrst frá fyrsta lið tiln-ta liðs og svo öfugt,frán-ta lið til þess fyrsta:S n =a 1 +(a 1 +d)+(a 1 +2d)+···+ ( a 1 +(n−1)d )S n =a n +(a n −d)+(a n −2d)+···+ ( a n −(n−1)d )Nú er lagt saman beggja vegna jafnaðarmerkis:og því fæst2S n =(a 1 +a n )+(a 1 +a n )+(a 1 +a n )+···+(a 1 +a n )=n(a 1 +a n )S n =n·a1+a n2Samkvæmt reglu 5.2.1 era n =a 1 +(n−1)d og því má einnig rita summunaS n áeftirfarandi formi:S n =n·a1+a n2=n·a1+[a 1 +(n−1)d]2=n· 2a 1+(n−1)d2Dæmi 5.2.9. Í leikhúsi eru 20 sætaraðir. Í fyrstu röð eru 17 sæti og í hverri röð þará eftir er fjöldi sæta tveimur fleiri en í röðinni á undan.(a) Hvað eru mörg sæti í 20. sætaröðinni?(b) Hvað eru sætin mörg alls í leikhúsinu?

5.2. RUNUR OG RAÐIR 97Lausn:(a) Fjöldi sæta í röð myndar mismunarunu17,19,21,23,...með mismund=2. Fyrsti liður rununnar era 1 = 17 og því verður fjöldi sæta í röðna n =a 1 +(n−1)d eða a n = 17+(n−1)·2Sér í lagi er fjöldi sæta í 20. röða 20 = 17+19·2=55.(b) Heildarfjöldi sæta í leikhúsinu erS 20 = 20·a1+a 202= 20· 17+552= 720KvótarunurSkilgreining 5.2.4. Runa(a n ) kallast kvótaruna ef kvóti (hlutfall) samliggjandiliða er ávallt fasti. Þetta þýðir að jafnangildir fyrir ölln∈Z + . Talanqkallast kvóti rununnar.a n+1 =a n·q (5.7)Setning 5.2.3. Ef(a n ) er kvótaruna með kvótaq þá gildir eftirfarandi:a n =a 1·q n−1 , n∈Z +Sönnun. Verkefni.Athugasemd 7. Efs ogt eru jákvæðar heilar tölur þá gildir eftirfarandi:a s =a t·q s−tDæmi 5.2.10. Runan12 , 1 4 , 1 8 , 116 ,···er kvótaruna með fyrsta liða 1 = 1 2 og kvóta 1 .n-ti liður rununnar er2a n =a 1·q n−1 =2·1 ( 1 n−12)Eftirfarandi regla gildir um hlutsummur kvótarunu:

98 KAFLI 5. RUNUR OG RAÐIRSetning 5.2.4. Summanfyrstu liða kvótarunu er gefin með jöfnunni⎧⎪⎨ a 1· 1−qn efq≠1S n = 1−q⎪⎩ n·a 1 efq=1Sönnun. Ef kvótinn erq=1 þá er summanfyrstu liða kvótarununnarS n =a 1 +a 2 +a 3 +···+a n=a 1 +a 1·1+a 1·1 2 +···+a 1·1 n−1=a 1 +a 1 +a 1 +···+a 1 n jafnir liðir=n·a 1Ef kvótinnq≠1 þá má ritaS n =a 1 +a 2 +a 3 +···+a nNú er margfaldað beggja vegna jafnaðarmerkis meðq:=a 1 +a 1 q+a 1 q 2 +···+a 1 q n−1 . (a)S n q=a 1 q+a 1 q 2 +a 1 q 3···+a 1 q n(b)Með því að draga jöfnu (b) frá jöfnu (a) fæst:S n −S n q=a 1 −a 1 q nS n (1−q)=a 1 (1−q n )svoS n =a 11−q n1−qþar semq≠15.2.3 ÆfingDæmi 1. Í mismunarunu era 20 = 32 ogd=3. Finniða 1 .Dæmi 2. Í kvótarunu era 8 = 729512 ogq= 3 2 . Finniða 1.Dæmi 3. Í mismunarunu era 32 = 48 oga 17 = 18. Finniða 1 ogd.Dæmi 4. Finnið fyrstu fimm liði mismunarununnarx 1 ,x 2 ,x 3 ,...þar semx 15 = 19 ogx 28 =− 1 2 .Dæmi 5. Í kvótarunu era 3 =− 4 9 oga 6= 32243 . Finniða 1 ogq.

5.2. RUNUR OG RAÐIR 99Dæmi 6. Finnið fimm fyrstu liði kvótarununnart 1 ,t 2 ,t 3 ,...þar sem sjötti liðurinn ert 6 = 0.32 og ellefti liðurinn ert 11 = 0.0001024.Dæmi 7. Finnið tuttugasta lið rununnar 9,15,21,27,33,....Dæmi 8. Hversu marga liði rununnar 2,2.3,2.6,2.9,... þarf að leggja saman til aðsumman verði stærri en 100?Dæmi 9. Gefin er kvótaröð(a) Finnið kvóta raðarinnar,q.(b) Finnið 15. lið raðarinnar.405+270+180+···Dæmi 10. Í mismunarunu er 15. liðurinna 15 = 92 og 3. liðurinn era 3 = 56.(a) Ákvarðið(i) mismun rununnar,d(ii) fyrsta lið rununnar,a 1 .(b) FinniðS 12 .Dæmi 11. Kvótaruna er þannig að fjórði liður era 4 = 135 og a 9a 4= 3 5 .(a) Finnið(i) kvóta rununnar,q(ii) fyrsta lið rununnar,a 1 .(b) Finnið töluraogbíQef gefið er aðS 10 =a(b−1),Dæmi 12. Gefin er runa(a n ) meða n = 1−9n,n∈N.(a) Finniða 1 ,a 2 oga 3 .(b) Finnið10∑k=1(1−9k).Dæmi 13. n-ti liður runu(a n ) era n = 2 3·3n , n∈NReiknið summuna20∑23·3n .k=1

100 KAFLI 5. RUNUR OG RAÐIRDæmi 14. Fyrstu þrír samliggjandi liðir mismunarunu eruk−2, 2k+1 og 4k+2(a) Finnið gildið ák.(b) Finnið(i) a 10(ii) S 10Dæmi 15. Fyrstu þrír liðir kvótarunu eru√3+1, x, og√3−1, þar semx> 0.Finniðx.Dæmi 16. Reiknið summuna12 +1+2+22 +···+2 10Dæmi 17. Kvótaruna er þannig að sérhver liður er summa tveggja næstu liða, þ.e.a k =a k+1 +a k+2 .Kvóti rununnar er jákvæður. Ákvarðið gildi hans.Dæmi 18. Í mismunarunu gildir aða p =q oga q =p.(a) Finnið mismuninnd.(b) Tákniða 1 meðp ogq.Dæmi 19. Reiknið1+2+3+4+···+101+ 1 2 + 1 4 + 1 8 +···+ 1512Dæmi 20. Finnið tölux þannig að 2+x, 6+x og 13+x mynda þrjá samliggjandiliði kvótarunu.

Kafli 6Diffurjöfnur6.1 InngangurDiffurjafna er jafna sem lýsir sambandi óþekkts falls við eigin afleiðu(r).Diffurjöfnur eru mikilvægar t.d. í verkfræði, eðlisfræði og hagfræði þar semreynt er að lýsa sambandi ástands (falls) og breytingar ástandsins (afleiðu).Þetta kemur vel í ljós í aflfræði þar sem hreyfingu hlutar er lýst meðstaðsetningu sem falli af tíma og hraða sem falli af tíma. LögmálNewtons, sem lýsa sambandi staðsetningar, hraða og hröðun hlutar ítengslum við hina ýmsu krafta er verka á hlutinn, eru sett fram semdiffurjöfnur þar sem staðsetning er óþekkt fall af tíma. Diffurjafna óþekktsfalls af einni breytistærð kallast venjuleg diffurjafna.Stig diffurjöfnu er hæsta afleiða óþekkta fallsins í jöfnunni.(i) y ′ +2y= cos(x) er dæmi um fyrsta stigs diffurjöfnu.(ii) xy ′′ +(x 2 +1)y ′ +3y=(x 4 +2x)ln(x) er dæmi um annars stigs diffurjöfnu.Lausn diffurjöfnu er sérhvert það fall sem uppfyllir diffurjöfnuna.(i) Með reikningi má sannreyna aðy=e 2x er lausn á diffurjöfnunniy ′ −2y= 0.því að séy ′ = 2e 2x ogy=e 2x sett inn í jöfnuna fæsty ′ −2y= 2e 2x −2e 2x = 0.(ii) Það má sannreyna aðy=x+1+2e x er lausn á diffurjöfnunniy ′ =y−x.101

102 KAFLI 6. DIFFURJÖFNURLausn diffurjöfnu er annarsvegar sérlausn og hinsvegar almenn lausn. Meðsérlausn er átt við einhverja eina tiltekna lausn jöfnunnar en með almennrilausn er átt við lausn sem felur allar mögulegar lausnir í sér.Dæmi 6.1.1. Diffurjafnanhefur almenna lausny ′ (x)=f(x).∫y= f(x)dx=F(x)+kþar semker ótiltekinn fasti. Ef fastanumker gefið ákveðið gildi, til dæmisk=3,þá fæst sérlausn diffurjöfnunnar sem ery=F(x)+3.Setning 6.1.1. Almenn lausn diffurjöfnunnarerdydx =f(x)∫y= f(x)dx=F(x)+k.6.1.1 ÆfingDæmi 1. Sýnið að falliðy er lausn á diffurjöfnunni.(a) 10y ′ +7y= 0 , y= 5e −0.7x .(b)y ′ +2y=e 3x , y= 2e −2x +0.2e 3x .(c)xy ′ −3y=x 3 , y=x 3 ln(x)+10x 3 .(d)(x 2 +4)y ′ +3xy=x , y= 1 3 + 163 (x2 +4) −3/2 .(e)y ′ −2y= sin(x)+cos(x) , y=Ce 2x −0.2sin(x)−0.6cos(x).Dæmi 2. Finnið almenna lausn á gefnu diffurjöfnunni. Finnið einnig sérlausn íliðum (c) og (d) sem uppfyllir gefna skilyrðið.(a)y ′ = 1+sin(2x). (b)y ′ = 6x+3x 2 +x .(c)y ′ =x 3/2 , y(1)=1. (d)y ′ =2x(x−1)(x+1) , y(2)=4.(e)y ′ =xcos(x 2 ).(f)y ′ = 2x 2 cos(2x).

6.2. DIFFURJÖFNUR MEÐ AÐSKILJANLEGAR BREYTUR 1036.2 Diffurjöfnur með aðskiljanlegar breyturSkilgreining 6.2.1. Fyrsta stigs diffurjafna er sögð hafa aðskiljanlegar breyturef hægt er að rita jöfnuna á forminudydx=f(x)·g(y) (6.1)Jöfnu (6.1) má umrita á formið1dy=f(x)dx, g(y)≠0 (6.2)g(y)þessi umritun kallast að aðskilja breytistærðir. Síðan er heildað beggja vegna jafnaðarmerkistil að finna lausn diffurjöfnunnar:∫ ∫1g(y) dy= f(x)dx.Ef stofnfall 1/g(y) er táknað meðH(y) og stofnfallf(x) er táknað meðF(x) máskrifa lausnina á forminuH(y)=F(x)+k (6.3)Þegar lausnin er rituð á þessu formi er talað um fólgið form lausnar. Jafna (6.3) ersíðan leyst fyriry ef hægt er.Athugasemd 8. Núllstöðvar fallsinsg(y) í diffurjöfnu (6.1) eru láréttar línur semeinnig eru lausnir jöfnunnar.Dæmi 6.2.1. Leysum diffurjöfnuna dydx = −xyy(3)=4.Lausn: Jafnan er umrituð á form jöfnu (6.2):og finnum sérlausn sem uppfyllirydy=−xdxSíðan er heildað beggja vegna jafnaðarmerkis:∫ ∫ydy=− xdxy 2 =−x 2 +k=k−x 2Lausnarformið y 2 = k−x 2 er fólgið form. Við getum leyst fyrir y og fáum þáy =± √ k−x 2 . Sérlausn sem uppfyllir skilyrðiðy(3)=4er jákvæða lausnin. Viðsetjum 3 inn fyrirx og 4 fyriry og þá fæst:√k−3 2 = 4, k=25.Sérlausnin er þvíy= √ 25−x 2 .

104 KAFLI 6. DIFFURJÖFNURDæmi 6.2.2. Leysum diffurjöfnuna dydx =y2 .Lausn: Umritum jöfnuna á formið1y 2dy=dx.Heildum svo beggja vegna jafnaðarmerkis:∫ ∫ 1y 2dy= dxsvosvo−1y=x+k svoy= −1x+kNúllstöð fallsinsg(y)=y 2 ,y= 0 er einnig lausn.6.2.1 ÆfingDæmi 1. Leysið eftirfarandi diffurjöfnur.(a) dydx = y dy. (b)x+1 dx =x(y+1).(c) dydx = xy+1Dæmi 2. Leysið diffurjöfnunadydx = 3−y1+2x(d) dydx =xsinx e yFinnið svo sérlausnina sem fer í gegnum punktinn(1,2).Dæmi 3. Leysið diffurjöfnunae −xdydx =(1−y)2Finnið svo sérlausnina sem fer í gegnum punktinn(0,0).Dæmi 4. Leysið diffurjöfnunax 2dydx =y−xyFinnið svo sérlausnina sem fer í gegnum punktinn(1,1).

6.3. LÍNULEGAR DIFFURJÖFNUR AF FYRSTA STIGI 1056.3 Línulegar diffurjöfnur af fyrsta stigiSkilgreining 6.3.1. Diffurjafna á forminua(x)·y ′ +b(x)·y=c(x) (6.4)þar sem a(x), b(x) og c(x) eru einhver föll, kallast fyrsta stigs línulegdiffurjafna. Efc(x)=0fyrir öllx þá er jafnan sögð vera óhliðruð, annars erjafnan hliðruðJöfnu (6.4) þarf að umrita á formiðy ′ +P(x)y=Q(x) (6.5)svo unnt sé að leysa hana. Stuðullinn viðy ′ er þá 1. Lausn jöfnu (6.5) fæst síðanmeð eftirfarandi reglu:Setning 6.3.1. Látumy ′ +P(x)y=Q(x) (6.6)vera fyrsta stigs diffurjöfnu þar semP(x) ogQ(x) er samfelld föll á opnu biliI. Almenn lausn jöfnunnar á bilinuI ery=µ(x)·1 ∫µ(x)Q(x)dx (6.7)þar semµ(x)=e ∫ P(x)dx er kallaður heildunarþáttur.Sönnun. Margföldum báðar hliðar gefnu diffurjöfnunnar með heildunarþættinumµ(x):µ(x)·y ′ +µ(x)P(x)y=µ(x)·Q(x)Þessa jöfnu má rita á forminu(µ(x)y) ′=µ(x)·Q(x)sem jafngildir þvi að∫µ(x)y= µ(x)·Q(x)dxsvo y=µ(x)·1 ∫µ(x)·Q(x)dx.Athugasemd 9. Nú skal bent á tvö atriði varðandi heildunarþáttinnµ(x):Í fyrsta lagi þá má sleppa heildunarfastanumk þegar óákveðna heildið∫P(x)dx.

106 KAFLI 6. DIFFURJÖFNURer reiknað. Áhrifa fastans gætir ekki í jöfnu (6.7) þegar lausn diffurjöfnunnar erreiknuð.Í öðru lagi þá má sleppa algildi logra í útkomu óákveðna heildisins∫P(x)dx.Áhrifa algildis gætir heldur ekki í jöfnu (6.7).Tökum sem dæmiP(x)=1/x. Reiknum tvo heildunarþætti,µ 1 (x) þar sem hvorkiheildunarfasta né algildi er sleppt og µ 2 (x) þar sem heildunarfasta og algildi ersleppt. Hér er ∫ ∫ 1P(x)dx= dx= ln|x|+kxsvo heildunarþátturinnµ 1 (x) erµ 1 (x)=e ln|x|+k =e ln|x|·e k =c|x|þar sem fastinne k hefur verið táknaður meðc. Ef heildunarfasta og algildi er slepptfæst heildunarþátturinnµ 2 (x)=e ln(x) =x.Nú gildir eftirfarandi:∫1µ 1 (x)Q(x)dx=µ 1 (x)·c|x|·1 ∫c|x|Q(x)dx=c|x|·c ∫|x|Q(x)dx=|x|·1 ∫|x|Q(x)dx=±x·1 ∫±xQ(x)dx=±x·±1 ∫xQ(x)dx =x·1 ∫xQ(x)dx= 1 ∫µ 2 (x)Q(x)dxµ 2 (x)·Þá er ljóst að heildunarþættirnir tveir,µ 1 (x) ogµ 2 (x) leiða til sömu lausnar; hægrihlið jöfnu (6.7) er sú sama hvort sem notaður er heildunarþátturinnµ 1 (x), þar semhvorki fasta né algildi var sleppt, eða heildunarþátturinnµ 2 (x) þar sem heildunarfastaog algildi var sleppt.Dæmi 6.3.1. Finnum almenna lausn diffurjöfnunnarxy ′ +y=e 2xá bilinu]0,∞[.Lausn: Umritun jöfnu: Deilt beggja vegna jafnaðarmerkis meðx. þá fæsty ′ + 1 x y=e2x x

6.3. LÍNULEGAR DIFFURJÖFNUR AF FYRSTA STIGI 107svoP(x)= 1 x ogQ(x)=e2x x .Heildunarþáttur fundinn:µ(x)=e∫P(x)dx=e∫ 1x dx =e ln(x) =x, (heildunarfasta og algildi sleppt).Lausn diffurjöfnu reiknuð: Við beitum reglu 6.3.1 og reiknum lausnina samkvæmtjöfnu (6.7)y=µ(x)·1 ∫µ(x)Q(x)dxQ(x)∫ {}}{µ(x){}}{ e 2xx ·x dx= 1 x= 1 x=x( 1 ) 12 e2x +k= e2x +2k2x∫e 2x dxDæmi 6.3.2. Finnum almenna lausn diffurjöfnunnarxy ′ −xy=−x 2Lausn:Umritun jöfnu: Deilum beggja vegna jafnaðarmerkis meðx:Þá erP(x)=−1 ogQ(x)=−x.y ′ −y=−xHeildunarþáttur fundinn: Heildunarþáttur erµ(x)=e∫P(x)dx=e∫−1dx=e −x (heildunarfasta sleppt).Lausn diffurjöfnu reiknuð: Samkvæmt jöfnu (6.7) í reglu 6.3.1 er almenn lausny=µ(x)·1 ∫µ(x)Q(x)dx= 1 ∫−xe −x dxe −x=e x·(xe −x +e −x +k ) (hlutheildun)=x+1+ke xDæmi 6.3.3. Finnum sérlausn diffurjöfnunnarLausn: Fyrst er almenn lausn fundin.xy ′ −2y=x 3 , y(4)=2

108 KAFLI 6. DIFFURJÖFNURUmritun jöfnu: Deilum beggja vegna jafnaðarmerkis meðx:y ′ − 2 x y=x2Þá erP(x)=− 2 x ogQ(x)=x2 .Heildunarþáttur fundinn: Heildunarþáttur er∫P(x)dxµ(x)=e∫=e −2x dx =e −2ln(x) =e ln(x−2) =x −2 .Lausn diffurjöfnu reiknuð:Samkvæmt jöfnu (6.7) í reglu 6.3.1 er lausniny=µ(x)·1 ∫µ(x)Q(x)dx= 1 ∫ {}}{µ(x)x −2 x −2·∫=x 2 1dx=x 2 (x+k)=x 3 +kx 2Notum nú byrjunargildið til að finnak:Q(x){}}{x 2 dxy(4)=2svo 4 3 +4 2 k=2svo k= −318Sérlausnin sem leitað er að er þvíy=x 3 − 31 8 x2 .6.3.1 ÆfingDæmi 1. Finnið almenna lausn eftirfarandi jafna. Finnið einnig sérlausn þar semþað á við.(a)y ′ + 1 x y=x3 −3. (b)y ′ + 2 x y=x2 +2.(c)x 2 y ′ +3xy= sin(2x)(d)y ′ −xy=xe x2 ,y(0)=5(e)y ′ −tan(x)y= 3e −sin(x) ,y(0)=4Dæmi 2. Leysið diffurjöfnunax 2 y ′ +(1−2x)y=x 2 .Finnið svo sérlausnina sem uppfylliry(1)=0.

Svör við æfingumÆfing 4.1.3Dæmi 1.28(a)A= ∫ 30 x3 dx= 81 4(b)4A= ∫ 2−2 (4−x2 )dx= 32 3−1(c)1 2 33−3(d)40−2−11 2A= ∫ 0−2 (x3 −4x)dx= 4A= ∫ 42 (x3 −4x)dx= 36−3 −2Dæmi 2.−1(b)1 2 3 4(a)240A= ∫ 21 (e2x −1)dx−1A= ∫ 10 (ex +1)dx=e 11 2= e4 −e 22−1i

iiSVÖR VIÐ ÆFINGUM(c)2−1 1/2(d)−1 A= ∫ 11−1 dx= 3ln(3)32−x−5A= ∫ 1/2−1 − (3x−1 +1 )dx= 6ln(2)− 3 2Dæmi 3.A= ∫ 1−2 ([2−x2 ]−[x])dx= 9/2(b)(a)−3−2−11−3−2 −1 1 2A= ∫ 2−2 ([x+2]−[x2 +x−2])dx= 32/3(c)1 4A= ∫ 2 332 ([4−x]−[2/(x−1)])dx= 3/2−2ln(2)

ÆFING 4.1.3iiiDæmi 4.(a)(4,2)•(b)(4,2)•1 2 3 4 5 6Flatarmálið er1 2 3 4 5 6A=∫ 40√xdx+ þríhyrningur= 163 + 1 2 2·2=22/3Dæmi 5. (a) Fleygboginn hefur botnpunkt(2,−3) og því er jafna hans á forminuy=a(x−2) 2 −3Þar sem fleygboginn skery-ás íy= 3 fæst gildið áa=3/2.Flatarmál skyggða svæðisins er tvöfalt flatarmál svæðisins sem ákvarðast af bilinu[0,2] en á því bili er jafna algildisfallsinsy= 3− 3 2 xFlatarmálið má því rita semA=2∫ 20(lína−fleygbogi)dx= 2∫ 20(3− 3 [ ]) 32 x− 2 (x−2)2 −3 dx==∫ 20∫ 20(6−3x−3(x−2) 2 +6)dx(9x−3x 2 )dxÞá era=−3,b=9ogc= 0.(b) Flatarmálið er∫ 2 [ ] 9 2(9x−3x 2 )dx=0 2 x2 −x 3 = 100Dæmi 6. (a) Gildi heildis er 32/3.(b) Nei. Flatarmál skyggða svæðisins er∫ 1 ∫ 2f(x)dx− f(x)dx−2 1en heildið í lið (a) er summan∫ 1 ∫ 2f(x)dx+ f(x)dx−2 1

ivSVÖR VIÐ ÆFINGUMDæmi 7. (a) Til að jafnan gildi þarfa=2.(b) Flatarmál skyggða svæðisins er ln(3)/2.Dæmi 8. (a) Jafna snertils ery=f(2)+f ′ (2)(x−2)= 2+2(x−2)= 2x−2(b)Snertill skerx-ás í 1. Reiknum flatarmálið sem mismun•P(2,2)A=∫ 20= 8 3 −1(x 2 −2x+2dx− þríhyrningur1= 5 3Dæmi 9. (a) Jafna snertils ery=f(a)+f ′ (a)(x−a)=a 3 + 3 2 a(x−a2 )= √ a+ 3 2 ax− 3 2 a3= 3 2 ax− 1 2 a3(b)Snertill skerx-ás ía 2 /3. Reiknum flatarmálið sem mismuna 2 /3a 2•P(a 2 ,a 3 )A=∫ a 20x 3/2 dx− þríhyrningur= 2 5 a5 − 1 2·23 a2·a 3= a515

••ÆFING 4.2.3vDæmi 10. (a) Jafna snertils ery=f(a)+f ′ (a)(x−a)= √ a+ 12 √ a (x−a)= √ a+ 12 √ a x− 1 √a2= 12 √ a x+ 1 √a2(b)√ a/2P(a,f(a))aSnertill skery-ás í √ a/2. Reiknum flatarmálið sem mismun∫ a√A=trapisa− xdx0= 2·a·(√ 1 a+ √ [ ] 2 aa/2)−3 x3/2 0= 3 4 a3/2 − 2 3 a3/2= 1 12 a3/2Æfing 4.2.3Dæmi 1.(a)Rúmmálið er3V =π∫ 30[x 2 ] 2 dx=π 24353(b)−1 1Rúmmálið er(c)V =π∫ 1[1−x 2 ] 2 dx=π 16−1 15−1 1Rúmmálið er−1 2V =π∫ 2−1([x+3] 2 −[1+x 2 ] 2) dx=π 1175−1 2

viSVÖR VIÐ ÆFINGUM(d)π 3845(e)π 5123Dæmi 2.(a)π 383 . (b)π3566 15( 25e8(c)π4)− 5e44(d) 6πDæmi 3.(a) 40√ 53(b)π 62512(e)π e8 −e 4 +16+4e −4 −4e −82(f)πDæmi 4.(a)f er kúrfanC 2 ogg er kúrfanC 1 .(b)A=(1,0) ogB=(3,3ln(3))(c) 9ln2 (3)− 9ln(3) +2( 2 2 )2864(d)π27 −48ln(3)−36ln2 (3)Æfing 5.1.2Dæmi 1.(a) 36 (b) 32 (c) 216(d) 69 (e) 104 (f) 92Dæmi 2.4∑(a)(d)k=1k 26∑(k 2 +k) (e)6∑(b) (2k+1)k=1k=0k=16∑(k+3)(c)(f)4∑(2+k 2 )k=17∑(k 2 +k)k=1Dæmi 3.(a) 1·4+2·5+3·8+···+(n−1)·(n+2)+n·(n+3)(b) 1·2 1 +2·2 2 +3·2 3 +···+(n−1)·2 n−1 +n·2 n1(c)1·2 + 12·3 + 13·4 +···+ 1n·(n+1) + 1(n+1)·(n+2)Æfing 5.2.1Dæmi 1. (a) 2/4,4/7,6/10. (b) 1/2,1/5,1/10. (c) 1,2/3,4/9.Dæmi 2. (a) 1/243,1/729,1/2187. (b) 1/32,1/64,1/128.

ÆFING 5.2.3viiDæmi 3. (a)a n =12n−1 . (b)a n= 13n .Dæmi 4. (a) 2,4/3,8/9,16/27,32/81. (b) 1,1,2,3,5. (c) 2,2,2,2,2.Æfing 5.2.3Dæmi 1. a 1 =−25Dæmi 2. a 1 = 1 12Dæmi 3. a 1 =−14, d=2.Dæmi 4. d=− 3 2 ,x 1= 40. Fyrstu fimm liðir eru:40,38.5,37,35.5,34.Dæmi 5. a 1 =−1, q=− 2 3Dæmi 6. q= 1 5 ,t 1= 1000. Fyrstu fimm liðir eru:1000,200,40,8,8/5.Dæmi 7. 123Dæmi 8. 21Dæmi 9.(a) 2/3 (b) 405·(2/3) 14 = 8192059049Dæmi 10.(a)(i) 3, (ii) 50 (b) 798Dæmi 11.(a)(i) 3, (ii) 5 (b)a= 5 2 ,b= 310 .Dæmi 12.(a)a 1 =−8,a 2 =−17,a 3 =−26 (b) -485Dæmi 13. 3 20 −1.

viiiSVÖR VIÐ ÆFINGUMDæmi 14.(a) 2 (b)(i) 45 (ii) 225Dæmi 15.√ 2Dæmi 16.2 11 −1/2Dæmi 17.q= −1+√ 52Dæmi 18.(a)d=−1 , (b)a 1 =p+q−1Dæmi 19.Teljari er 10·112= 55 og nefnari er 1· 1−(1/2)10= 10231−(1/2)512. Brotið er256093Dæmi 20.x= 10/3Æfing 6.1.1Dæmi 2.(a)y=x− 1 2 cos(2x)+k (b)y= 3ln|x2 +x|+k(c)y= 1 5 (2x5/2 +3) (d)y= ln∣ (x+1)(x−1)∣3∣+4(e)y= 1 2 sin(x2 )+k(f)y=x 2 sin(2x)+xcos(2x)− 1 2 sin(2x)+k.Æfing 6.2.1Dæmi 1.(a)y=k(x+1).(b)y=ke x2 /2 −1.(c)y=−1± √ x 2 +k(d)y= ln ( sin(x)−xcos(x)+k )

ÆFING 6.3.1ixDæmi 2. Fólgin lausn er ln|y−3|=− 1 2 ln|1+2x|+k.Sérlausn finnst með þvi að veljax= 1 ogy= 2:Ef leyst er fyriry fæst:ln|1|=− 1 2 ln|3|+k svo k=ln√ 3y= 3±√3|2x+1|Til að uppfylla skilyrði sérlausnar er−valinn.√3Sérlausn:y= 3−2x+1 .Dæmi 3. Fólgin lausn er11−y =ex +kSérlausn:y= 1−e −xDæmi 4. Fólgin lausn er ln|y|=− 1 x −ln|x|+kSérlausn:y=x−1 e 1−x−1Æfing 6.3.1Dæmi 1.(a)y= 2x5 −15x 2 +k10x(b)y= 3x5 +10x 3 +k15x 2(c)y= sin(2x)−2xcos(2x)+k4x 3(d)y=e x2 +ke x2 /2Sérlausn:y=e x2 +4e x2 /2(e)y= k−3e−sin(x)cos(x)Sérlausn:y= 7−3e−sin(x)cos(x)Dæmi 2.y=x 2 +kx 2 e x−1 Sérlausn:y=x 2 (1−e x−1 −1 )