Elementy analizy tensorowej - Uniwersytet Jagielloński

1.7. Wymiar przestrzeni 35arctg x = − arctg(−x), arcctg x = π−arcctg(−x) oraz arcctg x = arctg 1/x(słuszną dla x > 0), dostajemy ostateczne postaci odwzorowania f −1 w Uwyrażone jednolicie za pomocą funkcji arctg: r = + √ x 2 + y 2 orazkwadrant I : ϕ = arctg y ∣ ∣∣x , kwadrant II : ϕ = π − arctg y∣∣,xkwadrant III : ϕ = arctg y ∣ ∣∣x − π, kwadrant IV : ϕ = − arctg y∣∣.xWzory te są zgodne na granicznych półosiach.1.7. Wymiar przestrzeni 15Wymiarem przestrzeni R n nazywamy liczbę współrzędnych dowolnego jejpunktu; oczywiście jest ona równa n. Tym samym wymiar przestrzeni liniowejjest liczbą wektorów bazowych; stosuje się to również do nieskończeniewymiarowychprzestrzeni funkcyjnych, np. do przestrzeni Hilberta. W większościdziałów matematyki i w naukach ścisłych rozpatruje się przestrzenie, którychwymiar równy jest liczbie współrzędnych koniecznych do jednoznacznego zidentyfikowaniakażdego z ich punktów. Są to rozmaitości różniczkowe. Jednakpojęcie wymiaru nie ogranicza się do tej klasy przestrzeni i można je wprowadzićw szerokiej klasie przestrzeni topologicznych, aczkolwiek nie dla przestrzeninajogólniejszych. Wymiar jest pojęciem topologicznym (jest niezmiennikiemprzekształceń topologicznych) i jako taki jest jednym z najważniejszych pojęćw matematyce. W tej książce zajmujemy się tylko rozmaitościami różniczkowymii ograniczamy do minimum stosowanie topologii, toteż podanie topologicznejdefinicji wymiaru jest zarówno zbędne, jak i niemożliwe. Jednak nawetw przypadku rozmaitości pewne wiadomości z teorii wymiaru pozwalają zrozumiećlepiej te przestrzenie, więc w tym miejscu podamy kilka najprostszychinformacji.Dla przestrzeni R n wymiar topologiczny pokrywa się z liczbą współrzędnych16 , czyli dimR n = n. Jest to twierdzenie udowodnione w 1911 r. przezwspomnianego już matematyka holenderskiego Luitzena Brouwera, któregodowód nie jest łatwy. Nie jest bowiem oczywiste, że do identyfikacji punktuw R n potrzebujemy n liczb. Wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie Cantoraprostej R 1 na płaszczyznę R 2 , wykazujące równoliczność obu zbiorów, możebyć użyte do numeracji punktów płaszczyzny, która w tym sensie ma wymiar15 Informacje zawarte w tym podrozdziale nie są potrzebne w dalszym wykładzie.16 Poza topologią ogólną, gdzie problem wymiaru jest złożony, wymiar prostych przestrzenitopologicznych, takich jak rozmaitości różniczkowe, oznacza się symbolem „dim”, z łacińskiegodimensio — odmierzanie, rozciągłość, dimetiri — odmierzać, oraz z angielskiego dimension —wymiar.