Elementy analizy tensorowej - Uniwersytet Jagielloński
Elementy analizy tensorowej - Uniwersytet Jagielloński Elementy analizy tensorowej - Uniwersytet Jagielloński
34 1. Preliminariama postać F I ,(r,ϕ) = F I (x,y) =(+ √ x 2 + y 2 ,arctg y ). (1.2)xJeżeli punkt (x,y) leży w kwadrancie I, to punkt (−x, −y) należy do kwadrantuIII i odwzorowanie F I nie jest różnowartościowe w obu kwadrantach,F I (−x, −y) = F I (x,y). Odwzorowania f −1 nie można zatem wyrazić w całymobszarze U za pomocą F I ; w każdym kwadrancie f −1 dane jest innym wzorem.Aby je znaleźć, wygodnie jest rozpatrywać półpłaszczyzny z uwzględnieniemrozdzielającej je półosi — są to spójne zbiory otwarte.Kwadrant I i IV. x > 0, y/x = tg ϕ ∈ (−∞, ∞). Kąt ϕ ∈ (−π/2,+π/2)i jest to cały zakres głównej wartości funkcji arctg. Zatem w tym obszarze f −1dane jest tym samym wzorem (1.2), tyle że kąt ϕ ma inny zakres.Kwadrant I i II. y > 0, więc bierzemy iloraz x/y = ctg ϕ ∈ (−∞,+∞).Kąt ϕ zmienia się od 0 do π i jest to cały zakres główny wartości funkcjiarcctg. W tym obszarzer = √ x 2 + y 2 , ϕ = arcctg x y . (1.3)Kwadrant III i IV. y < 0, wybieramy zatem x/y = ctg ϕ ∈ (−∞,+∞).Kąt ϕ ∈ (−π,0) i jest to zakres główny wartości funkcji arcctg przesuniętyw dół o π, czyli ϕ = arcctg x/y − π.Dziedzina V odwzorowania f jest przedstawiona na rys. 1.4. W kwadrantachI i IV transformacja f −1 dana jest dwoma wzorami. Stosując tożsamościRysunek 1.4
1.7. Wymiar przestrzeni 35arctg x = − arctg(−x), arcctg x = π−arcctg(−x) oraz arcctg x = arctg 1/x(słuszną dla x > 0), dostajemy ostateczne postaci odwzorowania f −1 w Uwyrażone jednolicie za pomocą funkcji arctg: r = + √ x 2 + y 2 orazkwadrant I : ϕ = arctg y ∣ ∣∣x , kwadrant II : ϕ = π − arctg y∣∣,xkwadrant III : ϕ = arctg y ∣ ∣∣x − π, kwadrant IV : ϕ = − arctg y∣∣.xWzory te są zgodne na granicznych półosiach.1.7. Wymiar przestrzeni 15Wymiarem przestrzeni R n nazywamy liczbę współrzędnych dowolnego jejpunktu; oczywiście jest ona równa n. Tym samym wymiar przestrzeni liniowejjest liczbą wektorów bazowych; stosuje się to również do nieskończeniewymiarowychprzestrzeni funkcyjnych, np. do przestrzeni Hilberta. W większościdziałów matematyki i w naukach ścisłych rozpatruje się przestrzenie, którychwymiar równy jest liczbie współrzędnych koniecznych do jednoznacznego zidentyfikowaniakażdego z ich punktów. Są to rozmaitości różniczkowe. Jednakpojęcie wymiaru nie ogranicza się do tej klasy przestrzeni i można je wprowadzićw szerokiej klasie przestrzeni topologicznych, aczkolwiek nie dla przestrzeninajogólniejszych. Wymiar jest pojęciem topologicznym (jest niezmiennikiemprzekształceń topologicznych) i jako taki jest jednym z najważniejszych pojęćw matematyce. W tej książce zajmujemy się tylko rozmaitościami różniczkowymii ograniczamy do minimum stosowanie topologii, toteż podanie topologicznejdefinicji wymiaru jest zarówno zbędne, jak i niemożliwe. Jednak nawetw przypadku rozmaitości pewne wiadomości z teorii wymiaru pozwalają zrozumiećlepiej te przestrzenie, więc w tym miejscu podamy kilka najprostszychinformacji.Dla przestrzeni R n wymiar topologiczny pokrywa się z liczbą współrzędnych16 , czyli dimR n = n. Jest to twierdzenie udowodnione w 1911 r. przezwspomnianego już matematyka holenderskiego Luitzena Brouwera, któregodowód nie jest łatwy. Nie jest bowiem oczywiste, że do identyfikacji punktuw R n potrzebujemy n liczb. Wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie Cantoraprostej R 1 na płaszczyznę R 2 , wykazujące równoliczność obu zbiorów, możebyć użyte do numeracji punktów płaszczyzny, która w tym sensie ma wymiar15 Informacje zawarte w tym podrozdziale nie są potrzebne w dalszym wykładzie.16 Poza topologią ogólną, gdzie problem wymiaru jest złożony, wymiar prostych przestrzenitopologicznych, takich jak rozmaitości różniczkowe, oznacza się symbolem „dim”, z łacińskiegodimensio — odmierzanie, rozciągłość, dimetiri — odmierzać, oraz z angielskiego dimension —wymiar.
- Page 1 and 2: Spis treściPrzedmowa . . . . . . .
- Page 3 and 4: Spis treści 75.9.2. Interpretacja
- Page 5 and 6: PrzedmowaPodręcznik ten jest znacz
- Page 7: Przedmowa 11dersa, która zupełnie
- Page 10 and 11: 14 1. Preliminariami (wektorami) s
- Page 12 and 13: 16 1. Preliminariamy go wektorem st
- Page 14 and 15: 18 1. Preliminaria• Wektorowa prz
- Page 16 and 17: 20 1. PreliminariaRzeczywisty trój
- Page 18 and 19: 22 1. PreliminariaZnak „+” nie
- Page 20 and 21: 24 1. Preliminaria1.5. Odwzorowania
- Page 22 and 23: 26 1. Preliminaria( ) ( )∂f ∂fi
- Page 24 and 25: 28 1. Preliminaria(x −y2y xktóre
- Page 26 and 27: 30 1. Preliminariamorficznym obraze
- Page 28 and 29: 32 1. Preliminariatryczną, np. w R
- Page 32 and 33: 36 1. Preliminaria1. Dalej, krzywa
- Page 34: 38 1. PreliminariaA ijl B klm C pm
34 1. Preliminariama postać F I ,(r,ϕ) = F I (x,y) =(+ √ x 2 + y 2 ,arctg y ). (1.2)xJeżeli punkt (x,y) leży w kwadrancie I, to punkt (−x, −y) należy do kwadrantuIII i odwzorowanie F I nie jest różnowartościowe w obu kwadrantach,F I (−x, −y) = F I (x,y). Odwzorowania f −1 nie można zatem wyrazić w całymobszarze U za pomocą F I ; w każdym kwadrancie f −1 dane jest innym wzorem.Aby je znaleźć, wygodnie jest rozpatrywać półpłaszczyzny z uwzględnieniemrozdzielającej je półosi — są to spójne zbiory otwarte.Kwadrant I i IV. x > 0, y/x = tg ϕ ∈ (−∞, ∞). Kąt ϕ ∈ (−π/2,+π/2)i jest to cały zakres głównej wartości funkcji arctg. Zatem w tym obszarze f −1dane jest tym samym wzorem (1.2), tyle że kąt ϕ ma inny zakres.Kwadrant I i II. y > 0, więc bierzemy iloraz x/y = ctg ϕ ∈ (−∞,+∞).Kąt ϕ zmienia się od 0 do π i jest to cały zakres główny wartości funkcjiarcctg. W tym obszarzer = √ x 2 + y 2 , ϕ = arcctg x y . (1.3)Kwadrant III i IV. y < 0, wybieramy zatem x/y = ctg ϕ ∈ (−∞,+∞).Kąt ϕ ∈ (−π,0) i jest to zakres główny wartości funkcji arcctg przesuniętyw dół o π, czyli ϕ = arcctg x/y − π.Dziedzina V odwzorowania f jest przedstawiona na rys. 1.4. W kwadrantachI i IV transformacja f −1 dana jest dwoma wzorami. Stosując tożsamościRysunek 1.4
Change language