Elementy analizy tensorowej - Uniwersytet Jagielloński

32 1. Preliminariatryczną, np. w R 3 najczęstszą transformacją jest przejście do współrzędnychsferycznych:x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ,gdzie r 0, 0 θ π i 0 ϕ < 2π (zgodnie z konwencją przyjętą w fizyce,kąt θ = 0 na dodatniej półosi Oz, w literaturze matematycznej częstodefiniuje się kąt biegunowy jako θ ′ = π/2 − θ). Poniżej omawiamy dokładnietransformację do współrzędnych biegunowych na płaszczyźnie.Jeżeli na U ⊂ R n mamy gładką funkcję rzeczywistą g : U → R 1 , topo transformacji współrzędnych na U zastępujemy ją funkcją określoną naV := f −1 (U); jest nią funkcja złożona g ◦ f : V → R 1 . Jeżeli x = f(x ′ ), to(g ◦ f)(x ′ ) = g(f 1 (x ′ ),f 2 (x ′ ),... ,f n (x ′ )).Często pisze się skrótowo g(x ′ ), ale w celu uniknięcia pomyłek należy pamiętać,że x ′ są współrzędnymi krzywoliniowymi. Podobnie dokonujemy zamianyzmiennych x → x ′ w każdej współrzędnej odwzorowania g : R n → R m dladowolnego wymiaru m 1. Jeżeli g : R n → R m jest odwzorowaniem gładkimna U ⊂ R n , to po zmianie współrzędnych odwzorowanie złożone g ◦ f jestgładkie na zbiorze f −1 (U).Uwaga 1.3. W niektórych podręcznikach 14 podana jest uproszczona definicjatransformacji współrzędnych, wprowadzana w przestrzeni R n . W R n rozpatrujesię dwa obszary: D x ze współrzędnymi (x 1 ,... ,x n ) i D z ze współrzędnymi(z 1 ,...,z n na). Jeżeli istnieje dyfeomorfizm ϕ : D x → D z , czyli x i = f i (z k ) orazz k = (f −1 ) k (x i ), oraz jeżeli obszary te się pokrywają, D x = D z := D, to dyfeomorfizmϕ : D → naD jest przekształceniem obszaru D i jest transformacjąwspółrzędnych (x i ) ↔ (z k ).Ta intuicyjnie jasna definicja budzi wątpliwości. Jeżeli (x i ) i (z k ) są współrzędnymikartezjańskimi w R n , to nie jest jasne, co to znaczy, że D x = D z .Jeżeli obszar D := D x = D z zdefiniujemy geometrycznie, np. jako kulę jednostkowąo środku w punkcie 0, to nie jest jasne, co to znaczy, że w tym obszarzesą dwa różne układy współrzędnych — zakłada się to, co należy zdefiniować.W praktyce, gdy obszar D ⊂ R n jest określony geometrycznie, każdy dyfeomorfizmD na D można uznać za transformację współrzędnych. Ale niena odwrót: jak zobaczymy poniżej, dla współrzędnych biegunowych (r,ϕ) naR 2 mamy dyfeomorfizm pasa r > 0, −π < ϕ < +π na płaszczyźnie kartezjańskiej(r,ϕ) na płaszczyznę (x,y) z usuniętą ujemną półosią Ox. Ogólnie,w definicji rozmaitości różniczkowej transformacja współrzędnych będzie zwykledyfeomorfizmem różnych obszarów w R n .14 Na przykład B. Dubrovin, A. Fomenko, S. Novikov, Modern Geometry — Methods and Applications,Springer, New York 1992, p. 4.1.