Elementy analizy tensorowej - Uniwersytet Jagielloński

1.6. Transformacje współrzędnych 29DEFINICJA 1.7. Niech U, V będą zbiorami otwartymi w R n i niechf : U → naV będzie różnowartościowe. Jeżeli f jest klasy C k , k 1, na U,a odwzorowanie odwrotne f −1 jest klasy C k na V = f(U), to f nazywamydyfeomorfizmem klasy C k zbioru U na V .Zachodzi twierdzenie: kula otwarta w R n jest dyfeomorficzna z całą przestrzeniąR n . Rzeczywiście, niech K n (0,1) będzie n–wymiarową kulą otwartąo środku w punkcie (wektorze) 0 i promieniu 1, x = (x 1 ,... ,x n ) ∈ K n orazy = (y 1 ,... ,y n ) ∈ R n . Szukany dyfeomorfizm jest zadany np. przezy =x√ , x = y√ ,1 − |x|2 1 + |y|2gdzie |x| 2 = ∑ ni=1 (xi ) 2 < 1 oraz |y| 2 = ∑ ni=1 (yi ) 2 .Dyfeomorfizm jest oczywiście homeomorfizmem, lecz nie na odwrót: f i f −1nie muszą być różniczkowalne. Nawet jeżeli homeomorfizm f jest różniczkowalny,to odwzorowanie f −1 nie musi być różniczkowalne. Twierdzenie o funkcjiodwrotnej wymaga, by jakobian J f nie znikał nigdzie na U. Z przykładu 1.3wynika, że homeomorfizm R 1 na R 1 , y = x 3 , jest klasy C ∞ , a mimo to odwzorowanieodwrotne nie jest różniczkowalne w y = 0.1.6. Transformacje współrzędnychDowolny punkt x ∈ R n jest utożsamiony z ciągiem swoich współrzędnychkartezjańskich 13 x 1 ,...,x n , natomiast punkt p ∈ E n ma sens geometrycznyi jego współrzędne afiniczne zależą od wyboru punktu początkowegoO oraz bazy w stowarzyszonej przestrzeni liniowej V n . Wybór bazy w V noznacza, że wektor v = ∑ i xi E i zostaje utożsamiony z punktem–wektoremx = (x i ) ∈ R n , a punkt p = O + v = O + x w E n jest reprezentowany przezpunkt x w R n . Zmiana bazy w V n powoduje, że teraz v = ∑ i x′i E ′ i i punkt pjest reprezentowany przez x ′ = (x ′i ); jest to ortogonalna transformacja współrzędnychafinicznych. Możemy wyjść poza transformacje liniowe i współrzędneafiniczne, zastępując je dowolnymi współrzędnymi. W danym obszarze w E nwprowadzamy krzywoliniowy układ współrzędnych, czyli dokonujemy dowolnejtransformacji współrzędnych; jest to jedna z najczęstszych operacji matematycznychw geometrii, fizyce i technice. Transformacja ta oznacza, że obszarw E n , reprezentowany przez pewien obszar w stowarzyszonej przestrzeni R n ,po transformacji jest reprezentowany przez inny obszar w R n , będący dyfeo-13 Geometrycznie, przez układ współrzędnych kartezjańskich rozumiemy tu, zgodnie z rozpowszechnionymzwyczajem, układ prostoliniowy prostokątny. Natomiast podręcznik M. Starka Geometriaanalityczna, PWN, Warszawa 1967, s. 57, nazwą „współrzędne kartezjańskie” obejmujewszystkie układy prostoliniowe, czyli zarówno prostokątne, jak i ukośnokątne.